もつよ
3 次関数の極大値と極小値の差
重要 例題 209
関数f(x)=x-6x²+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、 定数αの
値を求めよ。
指針 前ページの例題と同じ方針で進める。 x =αで極大値, x=βで極小値をとるとすると
極大値と極小値の差が 4
f(α)f(B)=4
f(a),f(B) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) -f (B) を α-B, α+B, aβ で表し,
更に(β)=(a+B)-4αβ を利用することで, α+β, αβ のみで表すことができる。
解答
f'(x)=3x2-12x+3a
f(x) は極大値と極小値をとるから, 2次方程式f'(x) = 0 すな
わち3x²-12x+3a=0
① は異なる2つの実数解 α, B
(α<B) をもつ。 よって, ① の判別式をDとすると
D>0
D=(-6)-3-(3a)=9(4-α)であるから
したがって
a<4
f(x)のxの係数が正であるから, f(x) は x=α で極大,x=β
で極小となる。
......
......
4-a>0
f(a)-f(B)=(a³-8³)-6(a²-B²)+3a(a-B)
=(a-β){(u²+αβ+β2) -6(a+β)+3a}
= (a-B){(a+B)²-aß-6(a+B)+3a}
① で, 解と係数の関係より α+β=4, aß=a
よって (a-β)²=(a+β)2-4aβ=4²-4・a=4 (4-α)
α<βより,α-B <0であるから α-β=2√4-α
ゆえに
f(α)-f(B)=-2√4-α (4-a-6.4+3a)
=-2√4-a{-2 (4-α)}
= 4( √4-a)³
f(α)f(B) =4であるから 4(√4-a)=4
すなわち
(√4-a)³=1
ゆえに, 4-α=1から a=3
よって
√√√4-a=1
これは②を満たす。
基本208
a
今回は差を考えるので,
α<βと定める。
HAN
...
B
0 +
f'(x) + 0
f(x) 極大極小
325
3次関数が極値をもつとき
極大値>極小値
② から 4-a>0
よって √4-α> 0
14-a=(√4-a)²
負
6
√4-α=1 の両辺を2乗し
て解く。
