基本例題 50 命題の真偽と集合
x は実数とする。 集合を利用して,次の命題の真偽を調べよ。
(1) 0≦x≦1 ならば |x|<1
指針▷ 不等式が関係した命題の真偽については, 集合を利用して考えるとよい。
条件 p, g を満たすもの全体の集合をそれぞれP, Qとすると
「ｶ⇒gが真」 → PCQを示す。
「⇒gが偽」→Qからはみ出るPの要素があることを示す。
また,実数の集合を扱うときは, 数直線 を利用すると考えやすい。
CHART 命題の真偽と集合
すなわち, x=1はpを満たすが,
g を満たしていない。
よって, pg は偽
(2) p|x-1|<2から
g|x|<3から
(2) |x-1|<2 ならば|x|<3
p.86 基
解答
与えられた命題を, pg の形で表し、条件 g を満たすx
全体の集合をそれぞれP, Qとする。
(1) P={x|0≦x≦1}
Q={x|-1<x<1}
g|x|<1 から
x=1はPに属するがQには属
さない。
① 真なら証明 PCQ
②
なら反例
よって、 右の図から PCQ
すなわち x∈PならばxEQ
となり, pを満たすxはg も満
たす。
よって, pg は真
P={x|-1<x<3}
Q={x|-3<x<3}
Q
Q
0
PCQ
はみ出る
<c>0のとき
|x|<cc<
|x|>c⇒>x<-
x=1が反例。
<|x-a<b<b>0)
⇔-b<x-a<b
⇔a-b<x<a+
