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基本
89
例題
52 関数の極限 (4)
・・・
はさみうちの原理
00000
[3x]
x
次の極限値を求めよ。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。
(1) lim
(2) lim (3*+5*)
1
x18
0.82 項目 基本 21
指針
極限が直接求めにくい場合は、 はさみうちの原理 (p.82 ①の2) の利用を考える。
(1) n≦x<n+1 ( は整数) のとき [x] = n すなわち [x]≦x<[x]+1
よって [3x]≦3x<[3x]+1 この式を利用してf(x) [3x]≦g(x)
x
(ただしlimf(x) = limg(x)) となるf(x), g(x) を作り出す。 なお、記号 [ ]はガ
ウス記号である。
x→∞
(2)底が最大の項5" でくくり出すと(+5 (1/2)^1^(1/2)+1}*
1
=
=
(1/3) の極限と {(12/3) +1} の極限を同時に考えていくのは複雑である。そこで.
はさみうちの原理を利用する。x→∞ であるから, x1 すなわち 01/12 <1と考
えてよい。
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
(1) 不等式 [3x]≦3x<[3x]+1が成り立つ。
x
解答
x>0 のとき,各辺をxで割ると
[3x]
[3x] 1
≤3<
+
x
x
x
[3x] 1
1
ここで,3<
+ から
[3x]
3-
x
x
x
x
よって 3-1[3x] ≤3
x
x
lim (3-1) =3であるから
[3x]
lim
=3
x→∞ x
はさみうちの原理
f(x)Sh(x)g(x) T
limf(x) = limg(x)=α
X-1
ならば limh(x)=α
888
2章 関数の極限
x-x
(2) (3*+5*)*=[5*{( 3 )*+1}}*=5{(3)*+1}*
x→∞であるから,x>10<<1と考えてよい。
x
底が最大の項5でく
くり出す。
このとき{(1)+1}°<{(号)+1F <{(12) +1(*) 4>1のとき,a<b
すなわち
1<{(1)+1}*<(1) +1
ならば A°<A
lim
x→∞
{(1/2)+1} =1であるから
1であるから
(2) +1-1
lim
+1>1であるか
ら, (*) が成り立つ。
x→∞
よって lim("+5) -lim5{(2x)+1} =5・1=5
x→∞
練習 次の極限値を求めよ。 ただし,[]はガウス記号を表す。
052
x+[2x]
(1) lim
x→∞
x+1
(/)+(2)72
(2) lim{(3)*+(3)*}*
p.95 EX 37、
