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重要 例題 68 高次不等式の解法
次の不等式を解け。 ただし, α は正の定数とする。
x-(a+1)x2+(a−2)x+2a≦0
指針▷まず,不等式の左辺を因数分解する。 因数定理を利用してもよいが,この問題では、
次の文字αについて整理する方が早い。
(x-ar)(x-B)(x-x)≧0の形に変形したら、後は各因数x-α, x-px-yの符号を割
て, (x-a)(x-β) (x-y) の符号を判定する。
なお,α,ß, yに文字が含まれるときは,α, B, yの大小関係に注意する。・・････
解答
不等式の左辺をα について整理すると
(x²-x²-2x)-(x²-x-2) a ≤0
x(x+1)(x-2)-(x+1)(x-2)a≦0
(x+1)(x-2)(x-a) ≤0
0<a<2のときx-lax2+
a=2のとき
x≦-1, x=2
2 <a のとき
x≤-1, 2≤x≤a
よって
[1] 0<a<2
右の表から, 解は x≦-1, a≦x≦2
[2] a=2のとき
x-a
不等式は (x+1)(x-2)=0となり,x-2
(x-2)^2≧0であるから
f(x)
x-2=0 または x+1≧0
(20)+(1-8) (D-1)+(ーー)
α<β<yのとき
(x-a)(x-β)(x-x)≧0の解は
(x-a)(x-β) (x-x) ≧0の解は
x
x+1
a≤x≤ß, r≤x
xha, Baxy
[1] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
x
(01
検討 3 次不等式を3次関数のグラフで考える
3次関数y=f(x)のグラフについては,第6章の微分法のところで
詳しく学習するが、グラフの概形は右の図のようになる。
このグラフから
4x²-x²-2x
x-2
x-a
f(x)
=x(x-x-2)
=x(x+1)(x-2)
ゆえに, 解は x≤-1, x=2(x+1+0+(1+6)S-A+brys
[3] 2<αのとき
右の表から,解は x-1,2≦x≦a
[1]~[3] から 求める解は
-
0
0
0
00000
...
a ...
2 ….
+ + + + +
0 + ++
[3] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
... -1...
20
-
0
+ 0 -
+
H
+
28. 11.03
- 0 +
0 +
22 +0|0
+
+
FIT
-
B 1
a
+
+
0+
0 +
2
