練習 3で割ると2余り, 5で割ると1余り, 11で割ると5余る自然数nのうちで, 1000 を超えない最
129 大のものを求めよ。
nはx, y, zを整数として,次のように表される。
n=3x+2, n=5y+1, n=11z+5
TEr
3x+2=5y+1から
x=3, y=2 は,①の整数解の1つであるから
3(x-3)-5(y-2)=0 すなわち 3(x-3)=5(y-2)
3と5は互いに素であるから, kを整数として, x-3=5k と表
される。よって
次に,3x+2=11z+5 にx=5k+3 を代入して
3(5k+3)+2=11z+5
ス=6, k=4 は,②の整数解の1つであるから
11(2-6)-15(k-4)=0 すなわち 11(z-6)=15(k-4)
11と 15 は互いに素であるから,1を整数として, zー6=15/と
3x-5y=-1
そ3-3-5-2=-1
x=5k+3(Rは整数)
そこのとき y=3k+2
ゆえに 11z-15k=6
2
そ11-6-15-4=6
そk-4=11/ として
k=11/+4を
n=3x+2=3(5k+3)+2
表される。
よって
ス=15/+6(Z は整数)
に代入してもよい。
n=11(15/+6)+5=1657+71
n=11z+5 に代入して
1657+71<1000 すなわち 165/l<929 を満たす最大の整数1は,
1=5 である。このとき
n=165-5+71=896