数2二項定理の範囲です 全体的に考え方が分かりませんでした。 この問題はmodを使う方が記述は短く済むでしょうか。そうなら、そちらで解き方を教えて欲しいです。場合分けの仕方もよく分からなかったです。

正の整数nでn"+1 が3で割り切れるものをすべて求めよ。 7 【類 一橋大 (p.21 EXS 練習

下線部の式はどうやってできたんですか？

平面上に,原点 0, 点A(1, 0), 点B(0, 1) を頂点とする△OABがある。 136 第3章 図形と方程式 標問 62 線分の通過領域 辺OA上の動点Pと,辺OB上の動点Qは, 線分PQが△OABの面積を2 等分するように動く、線分PQが通る点の全体からなる領域を図示せよ。 (一橋大) 「業 Sこ 通過領域を求める問題をさらに追求 解法のプロセス しておきましょう。 今度は線分の通 > 精講 線分の通過領域 過領域です 独Aュ +

新高１です 私は将来の夢や志望校が決まっておらず、親には「志望校が決まってないなら高卒で働く気か」と怒鳴られます 私は将来安定した職業につきたいと思っていますがやりたい職業も興味を持つ職業もありません 何となく国家資格は取りたいと思っています ただ、母親が小学校の先生をして... Read More

黄色のマーカー部分の計算がよくわかりません 教えてください

指針>の左側の数の数列 1, 3,5, 基本例題110(等差) × (等比) 型の数列の和 54 次の数列の和を求めよ。 1·1, 3-3, 5-3, ご類一橋大) p.538 基本事項5 2n-1 の右側の数の数列 1,3,3 そって、この例題の数列は(等差数列)×(等比数列)型 となっている。 初項1,公差2の 等差数列 初項1,公比3の 等比数列 基本 108 37ー1 三代入。 これは等比数列ではないが 等比数列と似た形。 等比数列の和を求める方法(S-rS を作る。 p.527 解説参照)をまねる。 14 の因数が3 CHART(等差)× (等比) 型の数列の和 S-rSを作る 解答 求める和をSとすると S=1·1+3-3+5·3°+ +(2n-1)·37-1 両辺に3を掛けると 1-3+3-3°+…+(2n-3)·3"-1+(2n-1)·3" 43の指数が同じ項を,上下 にそろえて書くとわかりや 3S= 『辺々を引くと -2S=1+ 2·3+2·3°+ +2·37-1 三する。 すい。 ー(2n-1)-3" は初項3, 公比 3,項 数n-1の等比数列の和。 最初と最後 3(3-1-1) 3-1 =1+2· - (2n-1)·3" =1+3"-3-(2n-1)·3" =(2-2n)-3"-2 S=(n-1)-3"+1 用される。 ゆえに 1 (検討 上の解答の. が等比数列の和となる理由 数列(an} が公差 dの等差数列で, rキ1とする。 このとき,数列 {anrカー1} の初項から第れ項までの和Sは S=a+azr+asr+…+antm-! a.r+a:r+…+an-irm-1 +anrm 土/4, ±/n-I, 0の両辺をヶ倍して 0-2から ここで rS= (1-r)S=a+(a2-a))r+(as-a2)r+·+(an-anーl)r-anr 42-a」=as-az=…=an-an-1=d は, dr+dr°+…+dr"-1 すなわち d(r+r+…+rリー!) となり, は等比数列の よって、 和となる。 習次の数列の和を求めよ。 110| (1) 1-1, 2.5, 3-5', n·57-1 (3) 1, 4x, 7x°, (3n-2)x"ー1 章4種々の数列

青チャートの数IIの式と証明の質問です。黄色線の所がよく分かりません。何でnを3で割った時のことを考えているんですか？n^n +1を3で割るんじゃないんですか？

練習 正の整数nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 07 nを3で割ったときの商をqとすると,nは 39, 3q+1, 3q+2 のいずれかで表される。 [1] n=3qのとき,q21であり n"+1=(3q)°+1=3(399-!.g)+1 3q-122, 3q23であるから,34-!.g9は整数である。 よって,n"+1は3で割り切れない。 [2] n=3q+1のとき, q20であり n"+1 =(3q+1)9+1 +1 =39+1Co(3q)**+3g+1Ci(3q)"+…+3g+1Caq3q+ 3q+1 =3×(整数)+2 1章 【類 一橋大) 練習 そ3 で割った余りは0か 1か2である。 そn"+1=3×(整数)+1 そ二項定理を利用。 の各項は |3×(整数)の形。 39+1 そ よって, n"+1 は3で割り切れない。 [3] n=3q+2のとき, q20であり n"+1 =(3q+2)+?+1 =g+Co(3g) そ二項定理を利用。 39+2 +39+2C(3g)*+*.2+ +sg+2Caq+1 3q*24+1 の各項は 3×(整数)の形。 そ +34+2C39+2*29+2+1 =3×(整数)+2°9+2+1 ここで 299+2+1 =(3-1)9+2+1 =30+2Co399+2+ 30+2C13°9+1(-1)+· +3g+2Cag+2(-1) の M そもう一度二項定理。 39+1 の各項は 3×(整数)の形。 そ 39+2 +1 =3×(整数)+(-1)*-1 (-1)+1の値について調べると (i) qが偶数,すなわち q=2k(kは0以上の整数)のとき 39+2 偶数 を利用 1(-1)*数=-1 するために,偶奇に分け 39+2 6k+2 る。 このとき,O, のから, n"+1 は3で割り切れない。 (i) qが奇数,すなわちq=2k+1 (kは0以上の整数)のと き 39+2 6k+5 そ6k+5 は奇数。 このとき, O, のから, n"+1 は3で割り切れる。 [1]~[3] から, n"+1が3で割り切れるのは, n=3(2k+1)+2=6k+5(k は0以上の整数)のときである。 そ[3] (i)のときのみ。 [式と証明]

この問題なのですが、解答の解き方だとk=3k+2が成り立つ→2^kを7で割った余りが4になる証明をしているように見えるのですが、違うのでしょうか？(もしあっているなら、なぜそれでも証明できるのか。間違っているのなら、どういう解釈をすれば良いのか。について教えて欲しいです！)

(qはkを3で割ったときの商)のいずれかで表されることに注目し, k=3q+2の場合 kを自然数とする。 2* を7で割った余りが4であるとき, んを3で割った余り、 指針> 2*=71+4 (1は自然数) とおいてもうまくいかない。ここでは, 重要 例題 7 整数の問題への二項定理の利用 2であることを示せ。 重要6 【類千葉大) kが 3q, 3q+1, 3q+2 13で割った余りが0, 1, 2 け 2*を7で割った余りが4となることを示す方針で進める。 19えは,た=3q のときは, 2*=29=89であり. 89=(7+1)'として ニニ項定理 を利用する。 2* を7で割ったときの余りを求めることができる。 解答 43で割った余りは0か1分 2である。 をを3で割った商をqとすると, kは 3q, 3q+1, 3q+2 のいずれかで表される。 [1] k=3qのとき, q21であるから A イk=3, 6, 9, 2*=29=(2°)°=8°=(7+1)° =,Co79+,C.79-1+ +Cq-1'7+,Cq =7(Co+C79-2+ +Cae+1 イ二項定理 は整数で、 よって,2* を7で割った余りは1である。 [2] k=3q+1 のとき, q20であり q=0すなわちk=1のとき q21のとき 2*=29q+1_2-2°q=2-89=2(7+1)° 2*=7×(整数)+1 の形。 (R=1, 4, 7, イ二項定理を適用さ式の 「数は自然数でなはればなら たいから,q=0とq21で 分けて考える。(*) は [1] の式を利用して導いている 2*=2=7-0+2 =7-2(,Co7*-1+,C,7"-2+…+,Cq-i) +2 (*) よって, 2*を7で割った余りは2である。 [3] k=3q+2のとき, q20であり q=0すなわちk=2のとき q21のとき 2=29q+2=2°.299=4-89=4(7+1) Ak=2, 5, 8, 2*=22=4=7·0+4 0000 =7·4(,Co7°-1+,C,79-2+……+Cq-1)+4 0000e [1]の式を利用。 よって,2* を7で割った余りは4である。 [1]~[3] から, 2* を7で割った余りが4であるのは, k=3q+2のときだけである。 したがって, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 別解 合同式の利用。 のまでは同じ。8-1=7·1 であるから [1] k=3q(q21)のとき [2] k=3q+1(q20) のとき q=0の場合 2*=2=7-0+2 g21の場合 [3] k=3q+2(q20)のとき q=0 の場合 2*=4=7-0+4 q21の場合 以上から, 2* を7で割った余りが4であるとき, kを3で割った余りは2である。 合同式については, 改訂版チャート式基礎からの数学I +A p.492~参照。 8=1(mod 7) 2=29=89=19=1 (mod 7) 一 (自然数n に対し a=b(mod m)のとき a"=b"(mod m) 2=299+1=89-2=1°.2=2 2*=29q+2=89-2=1°.4=4 東習 正の整数nでn"+1が3で割り切れるものをすべて求めよ。 ト (類 一橋大) (p.21 EX5」 のが

（2）がなんで√2-1、√2＋1の円になるのかがよく分かりません。 説明をお願いします！！

例 題 45 点の存在範囲2 複素数a, Bは la-1|=1, I8-il=1 を満たす。 (1) α+8が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 (2)(a-1)(B-1)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 (一橋大) え方 a-1=cosp+isinp, β-i=cosq+ising とおける。 (1) a+8=z として, (α-1)+(8-i)=z-1-i から点ぇの存在範囲を考える。 (2)(a-1)(B-1)-(cosp+isinp)(8-1) は, 点B-1を原点のまわりにpだけ同転 した点である。 解答(1) α+8=z とおくと, (α-1)+(8-i)=a+B-1-iより, z-1-i=(a-1)+(8-i) ① ここで、la-1|=1より, α-1=cos p+isinp (0sp<2x), 18-i1=1 より、B-i=cosq+isinq (0Sq<2x) とおける。よって, ①は, ス-1-i=(cos p+isinp)+(cosq+ising) ー(cos p+cosq)+i(sinp+sing) p+q p+q, -cos+2isin24cos,2 -2cos(cos +isin2) つまり,1a-1-1-4cos0.+ isin2a ここで、cos+isin -1 =2cos 2 0Sp<2x, 0Sq<2x より, ーxくく元 であるから, 0s|cos5|s1 したがって、のより, |zー1-il52 よって、a+B(ーz)の存在範囲は、点1+iを 中心とする半径2の円の内部および周上であり、 右の図の斜線部分(境界線を含む) (2) 18-il=1 より, 点Bは, 点iを中心とする半径1の円の周上を動く。 よって、点B-1は,点-1+iを中心とする半径1の円の周上の点である。 また,la-1|-1 より, α-1=cos p+isinp で あるから,(α-1)(8-1)=(cosp+isinp)(8-1) (0Sp<2x) で定まる点は,点-1+iを中心とす る半径1の円を, 原点のまわりに1回転した図形 を形成する。よって, (α-1)(β-1)の存在範囲は、 原点を中心とする半径/2-1の円と半径(2+1 の円とで囲まれた範囲であり, 右の図の斜線部分 (境界線を含む) 1v2+1 2+1 -V2-1 y2+L V2-1

☆印のところがわからないのですが、BーCの範囲はどうやってわかったのでしょうか？

(2)与式 =sin Bsin (120°-B)=sinB(sin 120°cos B-cos120°sin B) 14 三角関数/三角形の内角に関する問題一 sin B+sinC の取り得る値の範囲を求めよ。 ) sin BsinC の取り得る値の範囲を求めよ。 (一橋大) 三角形の問題でも,辺が現れず内角だけが問題になっているときは、 A+B+C=180° 「A>O°. B>0°, C>0", A+B+C=180°のとき,~を求めよ」 と同じことである。 囲の場合、A=60° であるから, B+C=120° (一定)である.そこで,「和→積」ゃ「積→和」の 公式を用いて, B+Cが現れるように変形してみよう。 ちろん,等式の条件式を活用する原則である「1文字消去」をして解くこともできる(理別解). 解答 B+C B-C B+C B-C (1) sinB+sinC=sin 2 +sin 令ここでは,「和→積」の公式を導 きながら答案を作った。 2 2 2 B-C B+C COS 2 =2sin 2 B-C B-C B+C=120° により, sinB+sinC=2sin60°cos- =V3 cos 2 2 B+C=120°, B>0°, C>0° のとき,-120°<B-C<120°であるから, B-C B-C 60° <60° 2 1 <cos 2 -60°< 0 2 -60° 2 V3 -<sin B+sin Cい/3 2 以上から, (2) sin BsinC= 2 lcos(B-C)-cos(B+C))= cos(B-C)+ 2cos(B+C)=cos120°=- 2 であり,-120°<B-C<120° により, -六<cos(B-C)<1 3 であるから, 0<sin Bsin C< 4 別解(B+C=120° により, C=120°-BとしてCを消去すると) 令加法定理で展開 リ与式 =sinB+sin(120°-B)=sinB+sin120°cosB-cos120°sin B V3 2 =/3 13 -cos B=V3|sin B· 2 V3 +cosB· 2 1 3 sin B+ 2 2 合合成 =/3 sin (B+30°) 13 -sin Bcos B+ 2 1(1-cos2B) 全2倍角の公式 1 sin? B= 2 V3 sin2B+ 4 ミ 4 田 1 1 sin2B· V3 "cos 2B· 2 1 1 - sin(2B-30°)+ 2 1 4 2 4 のとは,(1), (2)とも0°<B<120° を用いる。

チャート式のI Aの二次関数のEX93の問題が分からないです。[4]で急にf(1)とf(2)が出てきたのですが何故ですか？何故1と2を代入すればうまく答えに導けると分かったんですか？

EX の93 kを正の整数とする。5nー2kn+1<0を満たす整数nが,ちょうど1個であるようなんの位。 すべて求めよ。 (一橋大) 5n-2kn+1<0 のとし,f(x)=5x°-2kx+1 とする。 (n)<0 を満たす整数nが存在するとき,y=f(x)のグラフは x軸と異なる2点で交わるから, f(x)=0 の判別式をDとする と そy=f(x) のグラフはx 軸のxくn の部分と D>0 =(-k)-5-1=k°-5 であるから 4 k-5>0 x>nの部分で交わる。 k>5 kは正の整数であるから [1] k=3のとき すなわち そkの値を絞り込む。 k23 f(x)=5x°-6x+1=(5x-1)(x-1) <nく1 f(n)<0 とすると,(5n-1)(n-1)<0から よって,①を満たす整数n は存在しない。 [2] R=4のとき [2}|* 軸 f(x)=5x?-8x+1 グラフの軸の直線x= に最も近い整数は1で, 1 S(0)=1>0, f(1)=-2<0, f(2)=5>0 よって,①を満たす整数nはn=1のみである。 [3] R=5 のとき 2 x Ay 軸 f(x)=5x°-10x+1 グラフの軸は直線x=1 で, f(0)=1>0, f(1)=-4<0, f(2)=1>0 よって,①を満たす整数n はn=1のみである。 [4] R26のとき 2 * f(1)=2(3-k)<0, f(2)=21-4k<0 よって,①を満たす整数 n は2個以上ある。 k=4, 5 [1]~[4] から,求めるkの値は 1 Glo 0

確率 (2)p1=5/8だと思ってしまい、3枚目の計算をしてしまったのですが答えとあいません。。 3枚目はどこで間違えていますか🥲？？ (解説の計算の仕方は理解できました。)

、Bの中は白玉2個, 赤玉2個になり, この状態を 以上を1つの図に表し、 状態が移る確率も書き込みます、 その図を選供図 と言います。さて、あとは漸化式を立てますが、 大事な関係式があります。 という事実です。これは絶対に使うはずです、 忘れないように! [例題52.箱A, 箱Bのそれぞれに赤玉1個、白玉3個,合計4個す 、赤玉2個,Bの中は白玉4個になり、この状態を 今後状態が増えていくかもしれないなあと思いながら続けました。誰が? 195 0 2 と書きます。 4 2. 0でAから白玉,Bから赤玉を取るとき(3.1 16 3 Aの中は白玉2 44 個入っている確率を paとする。 /2 0 1 と書きます。 +であることを示せ。 (2 4/ 以上で状態は3つ現れました。 (2) Pを求めよ。 (一橋大) 問題文を読んだとき, 最初は状況がつかめません、しばらくすると落ち着 なを小脇に抱え,速く正確に, 安全かつ確実に解こうと思うのです。 0 21 第一手は何をしようか? 今「箱 A, 箱Bのそれぞれに赤玉1個、 白玉3個,合計 4個ずつ入って いる」 という状態にあります、 文章のままでは書きにくいですね、 これを き、さあ 4 2. のから始めます。 Aからは白玉を取るしかありません。 AB Bから赤玉を取るとき(),Aの中は赤玉1個,白玉3個、Bの中も 2 赤 /1 1\と書くことにしましょう、 すっきりするでしょう、 白(3 3. 11 紙1個、白玉3個になり、 )になります。 これは①だ、 、3 3. AB のから始め、Bから白玉を取るとき(-)、白玉の交換なので、@ に戻 るだけです、状態は増えません、 (ア) 赤 /11 白(33 ①から始めます. Aから1個, Bから1個取ります。 のでAから赤玉, Bから赤玉を取るとき その確率は から始めます。 Bからは白玉を取るしかありません。 Aから赤玉を取るとき 4 4 16 下括弧の中はすべて確率を表す )状態は①のままです。 Aの中は赤玉1個、白玉3個、 Bの中も 9 本玉1個、白玉3個になり、 ①に戻ります。 3 3 0でAから白玉, Bから白玉を取るとき (=)状態はのの 44 16 から始め、Aから白玉を取るとき るだけです。状態は増えません、 1 9 10 まです。 16 5 ですから 8 白玉の交換なので、 ③に民 16 16 5 AB 赤/11 白(3 3 8 と書きます。 れは 全確率の和が1である Aの中は白玉4 0でAから赤玉, Bから白玉を取るとき 13 3 44 16 II