(3)でどうして赤波線のようにいうことができるのですか？ 考え方を教えてください。

必5.〈整式の割り算と余り〉 整式f(x) は(x-2)?で割ると 2x+1余り, x+1で割ると 26余る。 (1) f(x)をx-2 で割ったときの余りを求めよ。 (2) f(x)を(x-2)(x+1) で割ったときの余りを求めよ。 (3))f(x)を(x-2)°(x+1) で割ったときの余りを求めよ。 [09 高千穂大)

白チャート数IA 整数の問題です。 赤い四角が、問題と解答です。 青い線が疑問部分です。 青い線の部分に「nは整数x、yを用いて‥」と書いてありますが、問題文に「自然数n」と書いてあるので、xとyは自然数でないといけないのではないのでしょうか？

|14で割ると5余り,9で割ると7余る自然数nのうち,3桁で最大のものを 不定方程式の整数解の利用 451 礎例題 104 基礎例題103 求めよ。 CHDL Q GUIDE) 1次不定方程式の整数解の利用 1 条件からx, yを整数として, nは 14x+5, 9y+7 と 2通りに表され, 14x+5=9y+7 から 14x-9y=2 用する。 2 14 と9は互いに素であるから,14x-9y=2 の整数解が求められる。 解は整数えを用いて表される。 3 解が求められたら,不等式n<1000 を満たす最大の整数kの値を調べ る。 さ 5章 日解答日 nは整数x, yを用いて 二公 22 n=14x+5, n==9y+7 と表される。 aをbで割った商をq, 14x+5=9y+7 余りをrとすると りが ある。 よって すなわち 14x-9y=2 の a=bq+r メ=2, y=3 は 14x-9y=1 の整数解の1つであるから 長せた 解がすぐに求められなけ れば互除法を利用する。 14=9·1+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1 から 1=5-4-1 =5-(9-5-1).1 =5-2+9·(-1) =(14-9-1)-2+9·(-1) 14·2-9-3=1 この両辺を2倍して かっ 14·4-9-6=2 14(x-4)-9(y-6)=0 ASS 0-2から 14と9は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは 二案な x-4=9k すなわち x=9k+4(kは整数) と表される。 =14-2-9-3 したがって n=14x+5=14(9k+4)+5=126k+61 『n<1000 とすると 126k+61<1000 313 よって kく 42 -126k<939 0を満たす最大の整数えは ゆえに,求めるnは 313 =7.4… … 42 k=7 n=126-7+61=943 14で割ると5余る自然数は 9で割ると7余る自然数は 5, 19, 33, 47, 61, 75, 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, よって, nの最小値は 61 で, 14と9の最小公倍数は 14·9=126 であるから n=61, 61+126·1, 61+126-2, このようにしてnをんの式で表すこともできる。 すなわち n=61+126k(kは0以上の整数) 1次不定方程式| の000

この13とマイナス3の求め方を教えてください！ 整理する方法がわかりません！

B 互除法の活用 154 と 69 の最大公約数は, 下の (A)の計算から1である。互除法のョよ。 を利用すると,最大公約数1を154と 69を用いた式で表すことができえ そのために、(A)の等式のそれぞれを, (B) のように移項しておくとよい。 (A)互除法 154 = 69·2+16 移項すると 16= 154-69-2 69 = 16·4+5 移項すると 5= 69-16-4 16 =5·3+1 移項すると 1=16-5-3 5=1·5+0 割り算の等式 a= bq+r において 余りrをa, bの式で表す。 69 62 /6 の, 2, 3の計算を逆にたどると 1= 16-5-3 -31を16, 5 の式で表す。 =16-(69-16…4)·3 2より 5=69-16·4 を代入する。 =16·13+69·(+3) 69, 16 について整理する。 = (154-69·2)·13+69·(-3) 合日より 16=154-69·2 を代入する。 = 154·13+69-(-29) 154, 69 について整理する。 よって 154·13+69-(-29) = 1 このように,互除法の計算を利用すると, 2つの整数a, bの最大公約 数gを,適当な整数p, qを用いて ap+bq=g と表すことができる。 とくに,aとbが互いに素であるとき, ap+bq=1 を満たす整数p, qが存在する。両辺に整数cを掛けると, a(cp)+6(cq)=c であるか ら,次のことがいえる。

この13とマイナス3はどこから出てくるのですか

移項すると 16 = 154 154 = 69·2+16 移項すると 5= 69 69=16·4+5 移項すると 1= 16 16 =5·3+1 5=1·5+0 割り算の等式a=bq+r にお 余りrをa, bの式で表す。 ①, ②, ③ の計算を逆にたどると 1= 16-5·3 介③1を16 =16-(69-16*4)·3 ② より 5 69, 16 に 16·13+69·(+3 = (154-69-2)·13+69·(-3) 合のより ニ 154, 69 = 154·13+69·(-29) ニ よって 154·13+69·(-29) =1 このように,互除法の計算を利用すると, 2つ 数gを,適当な整数p, qを用いて ap+bq=g kくて が互い 圭でもるとき an+

この13とマイナス3はどこから出てくるのですか

移項すると 16 = 154 154 = 69·2+16 移項すると 5= 69 69=16·4+5 移項すると 1= 16 16 =5·3+1 5=1·5+0 割り算の等式a=bq+r にお 余りrをa, bの式で表す。 ①, ②, ③ の計算を逆にたどると 1= 16-5·3 介③1を16 =16-(69-16*4)·3 ② より 5 69, 16 に 16·13+69·(+3 = (154-69-2)·13+69·(-3) 合のより ニ 154, 69 = 154·13+69·(-29) ニ よって 154·13+69·(-29) =1 このように,互除法の計算を利用すると, 2つ 数gを,適当な整数p, qを用いて ap+bq=g kくて が互い 圭でもるとき an+

オ、カキはどうやって求めれば良いんですか？

0 nを有理数とする。xの整式 A, Bを A=x*+mx"+nx+2m+n+1, 2|m, B=x?-2x-1とする。 AをBで割ると, 商Qと余り Rはそれぞれ Q=x+(m+ア ), R=(2m+n+イ)x+(3m+n+_ウ|)である。 また,x=1+V2 のとき, Bの値は であり,さらにこのとき, Aの値が -1で エ あるならば,m, L+(mtz) ズーュー1リ+m+hン+2れ+れい -222-x nは有理数だから, m= オ n=|カキである。 A- (ht2)ス+n+)+2mけれ+1 (nutz)-2(4ナた)エー(て) (ひ+2mt4)Xれれtる よて Q= It (atz)ァ ア R=(2mtn+4)2+自内けル13) イ内 ズス1→区より B = (→E)~21→足)-1 1- +1= 0ェ 11

余りを1次式(cx+d)とおかずにRのまま解くと、R=7と出てくると思うのですが、何故ですか？

基本 例題18 割り算と恒等式 OOO0 xの整式x°+ax°+3x+5 を整式xーx+2 で割ると, 商が bx+1, 余りがRで あった。このとき, 定数 a, bの値とRを求めよ。ただし, Rはxの整式または 定数であるとする。 基本9,15 指針> 割り算の基本等式 A=BQ+R が恒等式であることを利用する。 割る式B=x°-x+2 がxの2次式であるから,余りRは1次以下か0 したがって,R=cx+dとおくことができる。 恒等式x°+ax°+3x+5=(x?-x+2)(bx+1)+cx+d において, 両辺はxの3次式で, 未 定係数は a, b, C, dの4個であるから, 右辺をxについて整理して, 係数比較法を用いる。 また,別解のように, 直接割り算を実行してもよい。 こるす 開 CHART 割り算の問題 A=BQ+Rが恒等式 解答 (R の次数)<(Bの次数) つまり, Rは1次式または 2次式x°-x+2 で割ったときの余り RをR=cx+dとおく と,条件から,次の等式が成り立つ。 x°+ax?+3x+5=(x°-x+2)(bx+1)+cx+d この等式はxについての恒等式である。 右辺をxについて整理すると x°+ax?+3x+5=D6x°+(-6+1)x°+(26+c-1)x+2+d 定数である。 cキ0 なら 1次式 c=0 なら 定数 となる。 0(0.)..0 0) 係数比較法。 両辺の同じ次数の項の係数は等しいから 1=6, a=-b+1, 3=26+c-1, 5=2+d 金 (1:0)-) 1O.0 この連立方程式を解いて a=0, b=1, c=2, d=3 a=0, b=1, R=2x+3 したがって 別解 x+ax°+3x+5 をxーx+2 で割ったときの 商と余りは,右の計算により 商x+a+1, x+a+1 x-x+2)x°+ax* +3x +5 xー x° +2.x =D +5 余り(a+2)x-2a+3 ゆえに, bx+1=x+a+1がxについての恒等式 b=1, 1=a+1 (a+2)x-2a+3 0 (係数比較法。 であるから よって a=0, b=1 R=2x+3 (a+2)x-2a+3にa=0を代入して

この問題はAとBを例のように表してからとく方法で合っていますか？ また、AとBを例のように表したいのですが、 よく分かりません。教えてください🙏

2. 数の計算 展開の公式や因数分解の公式を利用すると, 簡単に計算できることがある。 3.商と余り aをもで割ったときの商を g, 余りをrとすると a=bq+r (0ハrくb) (正の整数 a, b)

この問題解けないことはないのですが本質的な部分がよくわかりません。 良かったら言語化していただけないでしょうか

基本 例題62 +x+1 で割 f(x)=x80-3x40+7とする。 表せ。 基本53,61, 重要55 (2) f(x)をx°+x+1で割ったときの余りを求めよ。 い。ここでは,これまでに学習した, 次の方針に従って進める。 ①高次式の値 条件式を用いて次数を下げる 割り算の問題 等式 A=BQ+Rの利用。B=0を考える 0+o+1=0 (1) oはx+x+1=0 の解であるから これを用いてまずのの値を求め,その値を利用してf(ω)の式の 次数を下げる。 (2) 求める余りは ax+bと表され f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b これにx=w を代入すると f(o)=aw+b LQ(x) は商 解答 (1) oはx°+x+1=0 の解であるから の+の+1=0 0=-o-1, w。+e=-1 の=oo°=o(-e-1)=-(@"+w)=-(-1)=1(*) 3S |=(w-1)(8"+e+1)=0 から =1としてもよい。 よって ゆえに oは1の虚数の3乗根でき また, 80=3·26+2, 40=3·13+1 であるから f(o)=o0-300+7=(w°)*.0°-3(w°)°.w+7 る。 =12%.(-o-1)-3·19.o+7=-4o+6 次数を下げて1次式に (2) f(x)をx+x+1 で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a, bは実数)とすると f(x)=(x°+x+1)Q(x)+ax+b f(o)=ao+b AA=BQ+R 割る式B=0を活用。 0°+o+1=0 であるから (1)から a, bは実数,oは虚数であるから したがって,求める余りは -4の+6=aω+6 a=-4, b=6 -4x+6 下の参考2を利用。 a, b, c, dが実数, zが虚数のとき 0 a+bz=0 → a=0 かつ b=0 が成り立つ。 2 a+bz=c+dz → a=c かつ b=d 証明 (O の証明] (←) 明らかに成り立つ。 (→)6キ0 と仮定すると z=ー 左辺は虚数,右辺は実数となるから矛盾。 b a よって b=0 このとき a=0 の証明は, (α-c)+(b-d)z=0として上と同様に考えればよい。 なお 上のの のけ h6の日のを一船の場合に拡張したものにあたる。

大問98すべてわかりません解き方から教えて欲しいです

数nは全部で 個ある。 ピント(3) a=bq+r を満たす整数a, b, q, r について, aとbの最大公約数 はbとrの最大公約数に等しいことを利用する 798 (1) 42x+17y=1 を満たす整数x, yの組の1つは (2) a, イ (2) 8x-3y=5 の整数解をすべて求めると とき, 解の1 (3) 2x+3y=14 を満たす自然数 x, yの組は 組ある。 とす石 解は ヒント(3) 2x=14-3y と変形し, xが自然数という条件を活かし, yの値を y=ー 絞り込む と表さ