写真の2枚目の赤いマーカーの部分で、なぜ①を満たす実数x,yが存在するための条件を確認して、このような式になるのかが分かりません。教えて頂きたいです。

237(1)定積分 Sofpdt dt を求めよ。 1+12 (2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。 [09 埼玉大 ]

写真の2枚目の赤いマーカーの部分のように変形する理由が分かりません。写真の1枚目は問題です。

237(1)定積分 Sofpdt dt を求めよ。 1+12 (2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。 [09 埼玉大 ]

写真の赤い矢印の部分で、なぜt=tanθと置くのでしょうか。置換積分をしているのはわかるんですが、式を見たときに何を何に置換したらいいかが分からないため、t=tanθと置く理由が分かりません。

1-1であるから したがって a=1+(1-1)cos0 =(1-1)(2+sin0) '+83=1+(1-1)cos02+(1-1)92+sin0)? =12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0 +(1-1)(4+4sin0 + sin 20 ) =125(1-1)2+24(1-tcoso +4(1-1)²sin 0 =22sin-cos0 +3) 2 24sin-cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5 20として, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。 立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で あるから、立体の体積Vは V==√ RS²dt = √ (a² + ß³)dt xf {22sincoso+3)2 よって 1+12 ゆえに Jo 1+1 + do 1+tan' cos¹ -S [ローテ (2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。 与えられた不等式から x2+y'slog2log(1+27) ...... ① ①を満たす実数x, yが存在するための条件は log2log (124) 20 すなわち log(1+2) ≦ log2 底は1より大きいから 1+222 よって, zのとりうる値の範囲は 立体 A を平面 z=f(-1 18 口を表す関係式は 中 24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt 2sincos0 +3) ー(4sino-cos0 +5)+(4sin0 +5) nino masino 4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin+15) るす (4sin+cosO+6) (3)(2)から V= '=zg(√17 sin(0 + A) +6) 1 ただし sin A=- 14 = cos A=- √17 √17 √17 CASP QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値 の範囲は -1sin(0+A)≤1 1)で切ったときの切り x+ylog2-log (1+t), z=t ゆえに、切り口の面積を S(1) とすると S(t) == (log2-log(1+1)) 立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める 体積をVとすると v=25's(nat V= == 2 (10g2-log (1+1))dt =2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。 +2= 12 21 土・ dt 1+12dt =2mlog2-2xlog2+4xo1fades よって、体積Vの最大値は 6+ - T, 最小値は 3 =4x -dt 6-√17 ーである。 A 3 したがって,(1)からV=4(1-4)=14−8) 237 体積 238 体積 出題テーマと考え方 出題テーマと考え方 不等式の定める立体(領域)の体積 立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと きの切り口の断面積をの関数を表す。 質を関数 線分が通過してできる曲面の回転体の体積 (2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をもの 関数で表す。 12 (1) dt= 1+12 (1) 平面 x=uで考えると, 右の図のようになる。 2 (x=N) Sa=[=1 点0'(1, 0, 0)から線分 1 PQ までの距離を1とし Q △PQO′の面積を考える と, PQ=1から 1.1.1 = √1-u² JP 0 # 1 y l="√1-u2+ホースリー t=tan/ (002) とおくと t 0→1 1 -do 0 0-> COS20 H4 2 よって

写真の赤い矢印の部分の変形(分数を分解するところ)をなぜするのかが分からないので、教えていただきたいです。

237 体積 (1) 出題テーマと考え方 不等式の定める立体(領域)の体積 立体の存在範囲を調べて, 平面 z=fで切ったと きの切り口の断面積をtの関数を表す。 Sat=[]=1 1+12 1 -dt 1+12 t=tan000-) とおくと t 0→1 1 dt: 0 0 → -do cos20

なぜ積分したらこの形になるんですか？これだと、マイナスで括れば元の形に戻ると思うんですが、、青の部分はこうなるのではないのですか？？違いがわからないです

150 絶対値記号のついた定積分の代謝会 次の定積分を求めよ. (1) S√ √x-3dx (2) Clsin2xldx 3定積分 329 **** 考え方 絶対値記号をはずす. そのとき, xの値の範囲により、積分区間を分ける. 絶対値記 号をはずすポイントは、記号の中の式を0以下と0以上で場合分けすることである. √x+3(x3)←x-3≦0 (0以下) (1)√x-3 √x-3 (x≧3) ←x-30 (0以上) Solx-3ldx=S-x+3dx+x-3dx であるから, (2)0≦x≦ より 0≦2x≦2 sin 2x TC 10≦x≦ ← 0≤2x≤ したがって, |sin2x|= 200 (0以上) sin 2x (SIS) π 2 ← 2 2 (0以下) 「解答 (1) (2) つまり、Solsin2x|dx= sinxdx+S(sin2x)dxS'=S+S Svlx-3ldx=S-x+3dx+Svx-3dx =[2/3(x+33 + [1/(x-3)2 3 + ·32 376 ||-3|= x+3(x≦3) lx-3 (x≥3) YA y=√x-31 √3 y=vx3 第5章 0 3 y=v-x+3 |sin2x|= sin2x (0≤x≤7) -sin 2x(SIS) y=|sin2x| =4√3 π Sisin2x|dx= sin2xdx+S =S sin2xdx + S (- sin2x)dx Jogt =[12/cos2x]+[/2/cos == =-1/12 (1-1)+1/2(11) 2x ya 1=2 Focus 積分区間を分けて、絶対値記号をはずせ (記号の中の式を0以下と0以上で場合分け) a) 0 π TX 2 y=sin2xy=-sin 2x グラフはx軸で折り返した グラフを利用しよう.

丸で囲んだところについてです。 線分AP,PBはCより下にあることが示されていないのに、図のようになるので、と記述しても良いのでしょうか。設問または回答の都合上省略されているのでしょうか。教えていただきたいです。

6 第6章 積分法の応用 Think 例題183 面積の最小値 ***** 関数 y=logx で表される曲線をCとする. C上の2定点A(1, 0) Be, 1) と, C上の動点P(t, logt) (1<t <e) がある. 線分AP と曲線 Cで囲まれた図形の面積を S,, 線分 PB と曲線 C で囲まれた図形の面積を S2 とする. S+S2の最小値とそのときの値を求めよ. [考え方 グラフをかいて考える (大阪教育大) y=logx| B P y そのときの値の範囲 (1<t<e) に注意する. S=S+S は tの関数になるので, S を tで微分するこ とにより, 最小値を求める. log t A QR O 1 te I 解答 図をかくと、右のようになり、Sは, A B P. 44 (2) となっている. S=S+S2 とすると, 右上の図より s=logxdx-12(t-1)logt-12(e-t)(1+logt) = [xlogx-x-12((t-1)+(e-togt-1/2(e-t) (e-1)logt (e-t) =e-e-(0-1)- 1)-(-1) =-1/2(e-1)logt+/12/12+1 e-1 したがって, S'= + 2t e|21|2 t-(e-1) P 4ogt; AS logt: 三角形 B P log t 台形 Q R Slogxdx =xl0gx-fds 2t =xlogx-x+C S' = 0 とすると, t=e-1 Sの増減表は次のようになる. t 1 e-1 e S' 0 + S 極小 7 よって, Sの最小値は, t=e-1のとき. 01/21/12(e-1)10g (e-1) log (e-1) 練習 183 を通るとき, 曲線 y=f(x) とx軸とで囲まれる部分の面積Sの最小値とその >0,0<a<1 のとき,f(x)=mx(ax-1)^ とおく. 曲線 y=f(x) 点 (1.1) *** ときのαの値を求めよ. (大同大改) p.426

数3積分の、回転体の体積について質問ですが。 この手の問題は回転させた結果、はみ出る部分があるかどうかを判断して問題を解くと思うのですが、はみ出る場合とはみ出ない場合を問題を見ただけで区別することは不可能ですよね？？ 回転体の時は常にはみ出ることを意識しないといけないですか？？

基本 例題 167 軸の周りの回転体の体積(2) ①①①①① 265 放物線 y=x-2x と直線 y=-x+2 で囲まれた部分をx軸の周りに1回 転してできる立体の体積Vを求めよ。 CHART & SOLUTION 回転体の体積 回転体では図形を回転軸の一方に集結 をかくと〔図1]のようになる。 ここで, 放物線 まず, 放物線 y=x²-2x と直線 y=-x+2 と直線で囲まれた部分はx軸をまたいでおり, これをx軸の周りに1回転してできる立体は, 図2]の赤色または青色の部分をx軸の周り に1回転してできる立体と同じものになる。 基本例題166 と異なり, この場合はx軸の下側 (または上側) の部分をx軸に関して対称に折 3 12 ③ 基本 166 2 ON x -1 O x -x²+2x [図2] り返した図形を合わせて考える必要があることに注意! 解答 ようにとれる手 2x=-x+2 とすると, x-x-2=0 から (図1) x=-1,2 放物線y=x²-2xのx軸より下側の部分を,x軸に関して対 称に折り返すと右の図のようになり、題意の回転体の体積は, 図の赤い部分をx軸の周りに1回転すると得られる。このと き 折り返してできる放物線y=-x2+2x と直線 y=-x+2 の交点のx座標は,-x2+2x=-x+2 を解いて x=1,2 3 6章 19 体積 よって V=πS˚, {(−x+2)²=(x²-2x)²} dx+π(−x+2)²dx +(-x+2x)³dx =(-x+4x³-3x²-4x+4) dx+x(x-2)'dx -+ f(x)は上の公式を利用してま =x[+x-x-2x+4x] 5 +π 5+ -x²+- 8 +π -19x+x+7=100-207 3 RACTICE 167 8 1515 3 次の3つの図形に分け て体積を計算する。 + 不等式 -sinx≦y≦cos2x, 0≦x≦で定められる領域をx軸の周りに1回転して 0 できる立体の体積Vを求めよ。 Spoly(12) [類 神戸大 ]

定積分の応用について問題です。 なぜ判別式Dを用いて、以降の計算になるのかがわからないです。 どなたか解説していただきたいです。よろしくお願いします🙇

7-3 点 (1,3)を通る傾きの直線と放物線 C: y=x2 によって囲まれる領域の面積 をSとする。 Sの最小値、 およびそのときのmの値を求めよ。 y= g(x) 7-4 3次関数 y=x-x+2のグラフをCCの点(-1, 2)における接線を1とする。

（1）を部分分数分解ではなく、x＝2sinθと置いたのですが、それだとダメなんでしょうか？

206 第6章 積分法 基礎問 113 区分求積法 定積分を用いて,次の極限値を求めよ. n2 122 n² + (1) lim n4n2 12 4n2-22 ++・・・+ 4n2 (2) lim +k (2) lim dx 1 = (2+2) 189 207 =1/-10g(2x)+10g(2+1)=1102/11083 1 nk=n+1k →頭に「一」 がつく理由は, 86 ポイント参照。 1 27 n -=lim n→∞nk=n+1k =lim 11 n―00 n k=n+1 k n --log-log2 精講 limΣの形をした極限値を求めるとき, Σ計算が実行できればよい のですが、そうでないときでもある特殊な形をしていれば極限値を k 公式によれば, n 積分の範囲が1→2となる理由を考えてみましょう。区分求積の 求めることができます. →とかわっています. だから, n→∞としたと k それが 「区分求積」といわれる考え方で,その特 殊な形とは YA きの n y=f(x), の範囲がxの範囲ということになります。 n+1sks2n n // ( n+1 nn において, lim 2n -=1, lim lim nk=1" (円) n→∞ n n→∞ n -=2 であることより, 1≦x≦2とな ります。 です. 右図で斜線部分の長方形の面積は1/12 (1) で表 12 nnk-1' 3x n k ポイント せます。 lim 1.2m)=f(x) dr n→∞nk=1 dx よって、21(h)は,図のすべての長方形の総和です。ここで,n(分割 x=1で囲まれた面積に近づくと考えられます。 以上のことから, lim 1 ½ ½ ƒ ( h² ) = f f ( x ) d x n→00 n k=1 ということがわかります. 数) を多くすると曲線より上側にはみでている部分はどんどん小さくなります。 そして最終的にはy=f(x), x軸, 2直線 x = 0, 参考 分割数を倍にすると幅が半 分になるので,この部分だ け小さくなる y=f(x) a b-a bx a+k. n x lim b-a n 12 00 n k=1 n f(a+k.ba) = f(x)dr 区分求積の公式の一般形は下のような形 ですが, 大学入試では上の形でできない ものは出題数が少なく、出題されてもか なりの上位校に限られていますので、ポイントの 形で使えるようになれば十分です. y=f(x) b-a n - a fla+k⋅ b - a). b-a 解 (1)(与式)=lim7_12 non k=1 4n-k² lim 12 1 n→∞nk=1 (k' 4- An 演習問題 113 Elim n+2k の値を求めよ. nwk=1n2+nk+k2 第6章

(2)はなぜpについて積分しているのですか？ また、式変形の仕方も教えていただけると嬉しいです🙇‍♂️ まだ積分の範囲を習っていないので基礎的なことを教えて欲しいです

260 断熱変化と等温変化■ 容器の中に1molの単原子 A 分子理想気体が入っている。 この気体の圧力と体積Vを 図のようにゆっくりと変化させる。以下では,気体定数をR T1 B C とする。また,必要ならば,a≦x≦b の範囲で、関数と 0 VA VB Vc V x x軸との間で囲まれる面積は積分 So/1dx=10g 1/2(10geは自然対数)で求まることを 利用してよい。 (1) 図のA→Bの過程のように,気体を体積 VA から VB まで断熱膨張させると,気体の 温度は T から T2 に下がった。 このとき,気体が外部にした仕事を求めよ。 (2)容器を熱源に接触させて,図のA→Cの過程のように,気体の温度を T に保ちなが ら,気体の体積をVA から Vc に膨張させた。 このとき, 気体に外部から加えられる 熱量を求めよ。 [18 琉球大] 255 ヒント 259 衝突前後の運動量の差 (ベクトルで考えた差) が力積に等しい。 260 熱力学第一法則 「4U=Q+W=Q-W'」 (W' : 気体がした仕事) を用いる。 断熱変化で は Q=0, 等温変化では⊿U=0 となる。