数2・図形と方程式・通過領域 グレー背景が問題、白背景が模範回答です。 ・解を持つとはt軸との共有点があるということですか？ ・［2］と［3］は合わせられますか？分けた方が領域を求めるのは簡単でしょうか？ 解説をお願いしたいです。 追記 ［3］のf(-1)f(1)=0と... Read More

練習 ⑤ 124 直線y=-4x+1-1 ① が通過する領域を図示せよ。 ① について整理すると ①について、が1の範囲の値をとって変化するとき,直 26-17081 t-4xt-y-1=0 ...... ② 直線 ① が点 (x,y) を通るための条件は、その2次方程式 ② が -1 1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。 すなわち,次の [1]~[3] のいずれかの場合である。 ②の判別式をDとし, f(t)=ド-4xl-y-1 とする。 [1] -1<<1の範囲にすべての解をもつ場合 条件は D0, f(-1) 0f (1) > 0, -1<軸<1 D ≧0から(-2x)*-1-(-y-1)≧0 4 f(-1)>05 4x-y>0 軸は直線t=2x であるから -1<2x<1 よって [2] -1 <t<1の範囲に解を1つ, t<-1 または1<tの範囲 にもう1つの解をもつ場合 f(-1)(1)<0から すなわち (y-4x) (y+4x)<0 y<4x ゆえに または y>-4x [3] t=-1 または 1を解にもっ 場合 f(-1)f(1) 0から y> 4x ly <-4x f (1) > 0 から -4x-y>0 (4x-y) (-4x-y) <0 ←逆像法による解答。 y²-4x²-1, y<4x, y<-4x, - 1/1 < x < 1/1/2 [2] 2 (y-4x)(y+4x)=0 よって y=4x またはy=-4x [1]~[3] から 求める領域は、 右の 図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 別解] ① において, x=Xのとき 56-240 ←下に凸の放物線。 軸は直線 12x または JO 1 2 D>0 [注意] 4x²-1=4x と すると, (2x+1)^ 0 か 01- (重解) 方程式] -4x²-1=-4x とする と (2x-1)^2=0 から x=1/21) よって、 左の図で,点 |(-1/2-2).(-1/2-2) は放物線と直線の接点で ある。

β<0 ではなく β≦0 なのはなぜですか？ β≦0だと解が1つになるときもあると思ったのですが…

** 45 △2次方程式x2-2(a+1)x+a+7=0 の2つの解がともに1より大きくなるような,aの値の範囲 を求めよ。 mamannin AIR 月 とすると

画像の解法の何が間違えていますか？ なぜこれでは正しい答えが出ないのですか？

O 27² -6 7+ 4 = 0 x2+x-6=0 2) = 4 x² - 7x + 10 = 0 ♡ (x-2) (X-5) = 0 7c=2.5 13859843 38 RUM 08

(2)で判別式を用いると思うのですが、なぜD≧0ではダメなのでしょうか？解説ではD＞0になっています。

1 24 すべての x (あるx) に対して･･･ 不等式 ax²+(a-1)x+α>0 について, (1) すべての実数に対してこの不等式が成り立つような定数aの値の範囲 を求めよ。 4 (2) この不等式を満たす実数xが存在するような定数αの値の範囲を求めよ. (千葉工業大・改)

(2)の問題についてです。 ここでD≧0となっている理由がわかりません。 異なる2つの解をもつからD＞0と解釈しているのですが、これは間違えなのでしょうか。詳しく説明していただきたいです。

k<-3, -2<k<6のとき2個: k=-2,-3のとき3個;-3<k <-2のとき4個 練習 2次関数y=-x+(m-10)x-m-14のグラフが次の条件を満たすように、定数m ② 126 を定めよ。 (2) x軸の負の部分とのみ共有点をもつ。 (1) x軸の正の部分と負の部分で交わる。 ya f(x)=-x2+(m-10)x-m-14とし、 2次方程式f(x)=0の (1) 判別式をDとする。 y=f(x)のグラフは上に凸の放物線で, そ -m-14 の軸は直線x= m-10 である。 2 (1) y=f(x)のグラフがx軸の正の部分と負の部分で交わるた めの条件は (0)>0 f(0) =-m-14 から -m-14>0 よって m< -14 (2) y=f(x)のグラフがx軸の負の部分とのみ共有点をもつた めの条件は、 次の [1] [2] [3] が同時に成り立つことである。 D≧0 D≧0 [2] 軸がx<0 の範囲にある (m-10)²-4・(-1)・(-m-14) [3] f(0) <0 =m²-24m+44=(m-2)(m-22) DQ [1] ?? D≧0から (m-2)(m-22) ≥0 O の値の範囲 (2) (軸) Oy m-10 2 (x軸に接する場合も 含める

２番です。ほとんど判別式の問題で定数が=0と≠0の場合など書きませんよね？何故この問題はそのように書いているのですか？

25 TE IPJ 17 解の判別 (I) 次のxについての方程式の解を判別せよ.ただし,kは実数と する. (1) 2-4x+k=0 「解を判別せよ」とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か) と解の個数 について考えて, 分類して答えよ」 という意味です. ということは, (1) (2) 2次方程式だから、 「判別式を使えばよい!!」 と思いたくな るのですが、はたして…...... |精講 解答 (1) ²-4x+k=0 の判別式をDとすると, この方程式の解は次のように分類できる. (i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき D<0 だから, 虚数解を2個もつ (ii) 4-k= 0 すなわち, k=4 のとき D = 0 だから, 重解をもつ (2) kx²-4x+k=0 ( 4-k>0 すなわち, k<4のとき D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ (i)~(i) より, k>4 のとき, 虚数解2個 k=4 のとき, 重解 lk<4 のとき, 異なる2つの実数解 (2) (=0のとき 与えられた方程式は-4=0 :: x=0 (イ) =0のとき kx²-4x+k=0 の判別式をDとすると =4-k² だから、この方程式の解は 4 =4-k だから, <D < 0 |D=0 AD> 0 k=0のときは2次 方程式にならないの で, 判別式は使えな 演

解説お願いします

次の斉次の微分方程式を解いてください d²y dt2 dy -+ 4y = 0 dt (ヒント:判別式は「重解」となります。)

解説お願いします

次の非斉次微分方程式の特解を求めなさい d²y_3dy + 2y = exp(t) dt 2 di² (ヒント : B=0で重解でない場合に該当します)

求める条件のx=0を解にもつというのは、なぜ求める条件に入っているのですか？

326 重要 例題 210 4 次関数が極大値をもたない条件 関数f(x)=x^- 8x3+ 18kx" が極大値をもたないとき, 定数の値の範囲を求め [福島大] よ。 指針 4 次関数f(x)がx=pで極大値をもつ x=カの前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから、 f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を考 える。 3次関数f'(x)のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x (x2-6x+9k) のグラフである。 解答 f'(x)=4x²-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の 前後でf'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f'(x) = 0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると よって, 求める条件は, x2-6x+9k=0 [1] 重解または虚数解をもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D tala または x2-6x+9k=0 x=0 =(-3)²-9k=9(1-k) であるから 1-k≦0 極 (土) [2]x=0を解にもつ D よって k≧1 [2] x2-6x+9k=0にx=0を代入すると したがって PES k=0,k≧1 (日) a B Y ① 異なる3実数解 ② 重解ともう1つの実数解 (a <B<y とする) a=β<y, a<β=y a=By ww 極 極 a B=y x p f'(x) + 0 極大 f(x) k≥1 k=0 10)8-89-18 A=8+b k=0=8-³(80) (8 α ③ 1つの実数解と YA k> O (+1 ) =(ニュー(デ [参考] [4次関数の極値とグラフ] 一般に, 4 次関数f(x) [4次の係数は正] に対し,f'(x)=0 は3次方程式で,少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、 他の2つの解が実 数であれば β, y とする。 この解は次の4つの場合がある ( 4 次の係数が負のときは,図の上下が A= (0-1)A 20087 18-0 逆になり, 極大と極小が入れ替わる)。 α 基本 203207 0 異なる2つの虚数解 W |極 極 小 3 YASET |k=1 x /6x 極 小 練習 f(x)=x^+4x3+ax² について,次の条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ。 4 210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 Cp.327 EX137 Ⓡ13 ② 13 ③1 E

(2)の、シャーペンで引いた下線部が、何故なのかわかりません。なぜルートを取らなくてはいけないのですか？

例題 36 xの2次式の因数分解 (1) yについての2次式9y²-12y+16-4k が完全平方式となるような, 実数の定数kの値を求めよ。 例題 35 思考プロセス x2+xy-2y2+4x+5y+kがx,yの1次式の積となるように定数k の値を定め, x,yの1次式の積の形で表せ。 完全平方式・・・ (整式) の形で表すことができる整式 (2) |= (x+Oy+△)(x+y+∇)・･･(*) となってほしい。 2次式の因数分解は、 2次方程式の解を利用せよ ReAction 1つの文字に着目 x に着目すると xについての方程式 の解x=yの式, =x2+(y+4)x- (2y²-5y-k) よって = 0 yの式 解 (1) 9y2-12y+16-4k=0 の判別式をDとすると､ 左辺 が完全平方式となるための条件は D = 0 = (-6)² — 9(16-4k) = 36k — 108 xについて解くと x= ただし 36-108 0 より k=3 (2) x2+xy-2y2+4x+5y+h=0 とおいて, x について 整理する x2+(y+4)x - (2y2-5y-k)= 0 と因数分解される。 (*) のようになるのは,どのような解をもつときか? _y-4±√D1 2 |= (x-yの式)(x- D1 = (y+ 4)2+4(2y2-5y-k) =9y2 -12y+16-4k x2+(y+4)x -(2y2-5y-k) -y-4+√√D₁ 2 =(x- これがx,yの1次式の積となるための条件は, D1 がy についての完全平方式となることである。 このとき (1) より k=3 なぜ? k=3のとき, D1 = (3y-2)2 であるから x2+(y+4)x - (22-5y-3) x -y-4-√√D₁ 2 例題 35 ={x-y-4+(3y-2) v-2)}{x-y-4-(3y-2) 2 (3-2)} ={x-(y-3)}{x-(-2y-1)} =(x-y+3)(x+2y+1) Lyの式 day' + by + c が完全平方 式となる。 ⇔ ay²+by+c = 0 が 重解をもつ。 ⇔ 判別式 D = 0 D1 はこのxについての 2次方程式の判別式であ る。 ax²+bx+c=0 の解を α, βとすると ax²+bx+c 章 3 2次方程式 = a(x-a)(x − B) h=3のとき D1=9y2-12y+16 -4k =9y2-12y+4 = (3y-2)2