重要 例題 129 領域の変換
00000
実数x, yが0≦x≦1,0≦x≦1を満たしながら変わるとき, 点(x+y, x-y)の
動く領域を図示せよ。
......
基本110, 118
①x-y=Y
ここで, x, yはつなぎの文字と考えられるから,x,yを消去して,X,Yの関係式
② とおくと, 求めるのは点 (X, Y) の軌跡である。
指針 x+y=x.
を導けばよい。
CHART 領域の変換 つなぎの文字を消去して,X,Yの関係式を導く
x+y=X, x-y=Y とおくと
x=
X+Y
2
X-Y
y=-
2
0≦x≦1,0≦y1 に代入すると
X+Y
X-Y
0≤
≤1, 0≤-
≤1
2
x,yをX,Yで表す。
J-X≤Y≤-X+2
よって
X-2≤Y≤X
変数を x, yにおき換えて
40≤X+Y≤2
⇔-X≦Y≦-X+2
0≤X-Y≤2
⇒YXかつ
=>
X−2≦Y
1
-xy-x+2
−2≦Y≦X
lx-2≦x≦x
xy 平面上に図示するか
O
x
したがって, 求める領域は,
右の図の斜線部分。 ただし,
境界線を含む。
ら,X,Y を x, y におき
換える。
X=1
領域の変換
昌樹
ある対応によって,座標平面上の各点Pに,同じ平面上の点Qがちょうど1つ定まるとき、
検討
この対応を座標平面上の変換といい, Q をこの変換による点Pの像という。
座標平面上の変換fによって,点P (x, y)が点Q(x', y') に移るとき,この変換を
f(x, y) → (x', y') のように書き表す。
大
この例題は,座標平面上の正方形で表される領域内の点をf:(x,y)→(x+y, xy)に
よって変換し、その像の点全体からなる領域
を求める問題である。 具体的な点を,この
で変換してみるとそのようすがつかめる。 右
この図では,変換のようすがつかみやすいよう
に,2つの座標平面で示した。
(0, 0) → (0, 0), (1, 0) → (1, 1),
▲ (1, 1)→ (2, 0), ▼ (0, 1)→ (1, −1),
(1/12 1/2) (1,0)
y+
S
1
x
SP
