数学Aの整数の性質の問題です。 この問題の解答を教えてほしいです🙇‍♂️

しo2つの正の整数aとbが互いに素であるならば,a+bと abも互いに素 であることを背理法を用いて証明せよ。

なぜaとbは自然数なんですか？

75 基本例題 43 V3 が無理数であることの証明 命題「nは整数とする。 n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真で ある。これを利用して, V3 が無理数であることを証明せよ。 を証 基本 42 23,44 CHART SOLUTION 直接がだめなら間接で 背理法去 V3 が無理数でない (有理数である)と仮定する。このとき, V3=r (rは有理 数)と仮定して矛盾を導こうとすると, 「/3=r の両辺辺を2乗して, 3=r」とな 証明の問題 2章 り,ここで先に進めなくなってしまう。 そこで, 自然数a, bを用いて 13= 6 (既約分数)と表されると仮定して矛盾を導く。 解答 日/3 が無理数でないと仮定する。 このとき/3 はある有理数に等しいから, 1以外に正の公約数 合既約分数:できる限り 約分して, aとbに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 a, bの最 大公約数が1であるとき, aとbは互いに素である という(数学A参照)。 をもたない2つの自然数 a, bを用いて, V3=D と表される。 a=V36 α=36° よって, α'は3の倍数である。 ゆえに 両辺を2乗すると の 36) αが3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, えを自然数と 下線部分の命題が真で あることの証明には対 偶を利用する。 は して a=3k と表される。 これをOに代入すると 9=36° すなわち 6°=3k? よって, 6°は3の倍数であるから, bも3の倍数である。 ゆえに, aとbは公約数3をもつ。 これは, aとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾する。 したがって, V3 は無理数である。 INFORMATION 例題で真であるとした命題「n°が3の倍数ならば, n は3の倍数である」の逆も真で ある。また, 命題「n°が偶数(奇数)ならば, nは偶数(奇数)である」および, この逆 も真である。これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので, 覚えておこう。 PRACTICE …43°円 命題「nは整数とする。 n'が7の倍数ならば, nは7の倍数である」は真である。 こ 論理と集合」

数学の質問です。 背理法を用いる時に問1(1)などのように有理数だと仮定する数字をmなどの１つの文字で証明していく場合や、問2のようにm/nで証明する場合があると思います。 どうやってみわければよいのでしょうか？

西え:別冊31ページ 不 次の問いに答えなさい。 100 a>0 (1) 15 が無理数ならば, 1+V20は無理数であることを証明しなさい。 1) 不 (2) /6 が無理数ならば, V3-V2は無理数であることを証明しなさい。 2 15が無理数であることを証明しなさい。ただし, 整数 n について, n'が 5の倍数ならば, nは5の倍数であることを用いてもよいものとします。 8 10分) (1 (3 7.r-10 (3.r-2)(x+2) に,定数 a, bの値を定めなさい。 等式 a がェについての恒等式となるよう ニ 3.c-2 2+2 10分

左側が問題、右側が回答です。 四角3番の(1)②の回答の式変形で±の符号がどのように変化しているのかがわかりません。教えてくだい。

(2) のは,結論の方が式が立てやすいので, 対偶を証明するとラクである。 を有理数と仮定すると, /2 は既約分数(p. qは整数, pキ0) と表せる(とく より p, qは自然数としてよい)。 このとき p, qは互いに素であるから、このこと 第1章 数と式, 問題させ、 第1章 数と式,集合と論理 3背理法 Lv.★★★★V の 第1回 解答は12ページ 考え方 2 は既約分数 p は整数, pキ0)と表せる(と を証明す 1 Lv.★★★ れ=1 2 を有理数と仮定すると, 9 = 3 次の問いに答えよ。 (1)a+6°+c° =1をみたす複素数a, 6, cに対して, x=a+b+cとおく。 このとき, ab+ bc+caをxの2次式で表せ。 2) a°+6°+c°=1, α+が+c°=0, abc = 3をすべてみたす複素数aん cに対して, x=a+b+cとおく。このとき,xー3x の値を求めよ。 て矛盾を導こう。 よって、 対偶 Process 解答 (1) ① 12 が有理数であると仮定すると V2= (ただし, pとqは互いに素な自然数) (早稲田大) 「N2は有理 Y/0 2 Lv.★★★ 解答は13ページ p と表せ と表せる。両辺を2乗すると にあてはまるものを, x, yを実数とする。下の(1), (2 )の文中の 次の(ア),(イ), (ウ), (エ)の中から選べ。 2= が 「分子は開散。 右辺に →= 2が 右辺は偶数であるから, q° は偶数,すなわち, qgも偶数である。 よって、q=2q' (g'は自然数) とおけて 2p= (2g)°=→ が3D2q'° がは偶数であるから, pも偶数である。すなわち, pもqも 偶数となり,pと qは互いに素であることに矛盾する。 したがって,仮定は誤りで, V2 は無理数である。 (証終) 2 aが有理数であると仮定すると りuも (ア)必要条件ではあるが,十分条件ではない。 (イ)十分条件ではあるが,必要条件ではない。 (ウ)必要条件であり,かつ, 十分条件である。 (エ)必要条件でも, 十分条件でもない。 本 よっ 「分母は偶数」 は 「分子と分はなわ に矛盾 とに) (1)x+y?<1は, -1<x<1であるための (2) -1<x<1かつ-1<y<1は, +y°<1であるための し 「aは有理数 (関西大図) 『=+(ただし、 sとtは互いに素な自然数) 3 Lv.★★★ 20 と表せる。aは α+α+1=0をみたすから いと 解答は14ページ を背 (+)+キ+ ニ=ーts±) (複号同順) 背 1=0→ t 与式に代入 次の各設問に答えよ。 (1)0 V2 が無理数であることを証明せよ。 ② 実数αがα+α+1=0をみたすとき, aが無理数であることを 証明せよ。 (2)0 nを自然数とするとき, n°が3の倍数ならば, nは3の倍数に なることを証明せよ。 ② ¥3が無理数であることを証明せよ。 国のせ さ すそ 理数 右辺は整数であるから, 左辺も整数でなければならず, s, tは 互いに素な自然数であるから、 t=1である。 よって、(*)より 00 土s°土s+1=0 → s(s°+1)3D1 sは自然数なので, sZ1, s"+1>1であるから(左辺)>1 となり、(右辺)= ±1に矛盾する。 (複号同順) 式を変形し、 したがって、仮定は誤りで、 αは無理数である。 (2) 0 対偶 (明治大) (証終) 8 14

ここは自然数と書かないとダメですか？ ダメな場合は理由教えて欲しいです。

考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので,無理数であることを (2)/3 が無理数であることを用いて,4-V3 は無理数であることを 2つの自然数mとnが1以外に公約数をもたないとき, mとnは互いに素という。 Check 背理法(1) 160 例題 (お茶の水女子大 次の問いに答えよ。 (1)/3 は無理数であることを証明せよ。 証明せよ。 考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので 否定すると有理数になる。 (p.419 参照) 結論の否定を仮定 「無理数でない」は 「有理数である」 解答(1)/3 が有理数であると仮定すると, V3=4(かとqは互いに素な自然数) p とおける。両辺を2乗して分母を払うと, +3が=q° ① 9は既約分類 p …D +5 3がは3の倍数だから, q°も 3の倍数である。 したがって, qも3の倍数となり,q=3r(rは自然 数)とおける。 のに代入して、 これから,が=3r? 3rは3の倍数だから, がは3の倍数 つまり, pも3の倍数となる。 したがって, p, qがともに3の倍数となり,かとq が互いに素な自然数であることに矛盾する. よって,/3 は無理数である。 い) 「が3の倍数なら。 qも3の倍数」 (例題159参照) 3が=9r? ともに3の倍数の場 本3が公約数となる。 w

やり方がわからないです。教えてくださいお願いします。

( 3を小報第1位まで求めば。 ただし、 y2: a3e70, 1.ge3-a471 とまる (2)1g3は無社数でおことを証明r

コラッツ予想において、以下の➀➁を示せれば導けるとされていますが、操作を繰り返した結果が1以外になると仮定してそれはあり得ないということを証明する背理法は不適切なんですかね。 ①操作をした時に、○→△→◇→☆→○のように最初の数に戻ってしまう循環パターンがないこと（た... Read More

(1)において背理法を用いない解法を教えてください､､､

は互いい 430 (1) 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+bと abは 発展 ) 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+bと ablは 互いに素であることを証明せよ。 (2 (1)の結果を用いて, 和が 220,最小公倍数が1001 である2 つの自然数 a,bの組をすべて求めよ。ただし, aく6とする。 n

⑴、⑵教えて欲しいです。 全く解答が理解できません。 よろしくお願いします🙇‍♀️

(1)《OAction 余りに関する証明は, 余りによる分類(剰余類)を利用せよ」 (2) 1, m, nを自然数とする。 +m° =D n" ならばし, mのうち少なくと 例題242 ピタゴラス数の証明 例題2。 とを示せ。 。nを自然数とする。 『十m*=" ならば1, mのうちか 3つ 結論 めよ も1つは2の倍数であることを証明せよ。 具 p (2)条件の言い換え (ア) 1だけが2の倍数 (イ) mだけが2の倍数 (ウ) 1, mともに2の倍数 3つの場合があり 証明しにくい 結論 Action》「少なくとも~」 の証明は, 背理法を利用せよ 開(1) 自然数aは2で割った余りに注目すると, 2b, 2p-1 (かは自然数)のいずれかで表すことができる。 (ア) a= 2b のとき 4で割ったときの余りで 分類してもよいが,2で 割ったときの余りで場 分けして考えても,うま く4でくくることができ 例題 240 解 a° = (2p)° = 4が かは自然数であるから, がは整数である。 よって, α° を4で割った余りは0である。 (イ)a=2b-1 のとき る。 = (2p-1)? = 4(がーカ)+1 かは自然数であるから, がーかは整数である。 よって,' を4で割った余りは1である。 (ア), (イ)より, α'を4で割ったときの余りは0か1である。 (2) 1, mがともに2の倍数でないと仮定すると, (1)()より,?, m' はともに4で割ったときの余りが1 である。 よって,左辺の+ m' を4で割った余りは2である。 ところが,(1)より,右辺の nパを4で割った余りは0ま たは1である。 ゆえに,?+m° =" であることに矛盾する。 したがって,1, m, nが自然数のとき,パ+m'=n° ならば,1, mのうち少なくとも1つは2の倍数である。 *2の倍数でないから、1 m はともに奇数である。 H+8=を満た相 然数 a, 6, c の組をビタ ゴラス数という。 2つの整数『+m' (4で 割った余りが2)とが (4で割った余りが0かり が一致することはない。 SNロPK 思考のプロセス

まるをつけたところで、なんでk,l,mは整数と置くんですか？なんで自然数ではだめなんですかね..

例題241 と同じ考え方で証明できるが,ここでは背理法を用いてみよう。背理法 より,その命題が正しいことを証明する方法」である.(p.271「命題と証明」を 「ある命題に対して, その命題が成り立たないと仮定し, 矛盾が生じることを示すこ。 (2) a+bとab が互いに素であるとき, aとbも互いに素である。 例題 242 互いに素な自然数の性質2 a, bを自然数とするとき,次の命題を示せ、 (2) a+bと abが互いに素であるとき,aとbも互いに素である 考え方 「ある命題に対して, その命題が成り立たないと反定し,矛盾が生じるこ。背理は (1) a+bとabが互いに素でないと仮定すると, a+b, ab はある素数かを約数にもつから, a+b= pk · ① 解答 Taムで a ab= pl ② → トト とおける. G孝た このとき, ②より, かはaまたはbの約数となる。 (k, lは整数) かは素数 pはaの約数としー も一般性は失われ。 したがって、かはaの約数とすると, a= pm (mは整数) とおける。 これを①に代入すると, したがって, b=p(k-m) となり,かはbの約数と なる。 →ら い、 pm+b=pk すなわち,かはaとbの公約数となり, かキ1 より, aとbが互いに素であることに矛盾する。 かはbの約数としても,同様に矛盾する。 よって, a+bと abは互いに素である。