数学の数学的帰納法の問題です。 写真2枚目の9行目の「ここがポイント」と書いてある部分の計算の意味が全く分かりません…。 何が理由でここでこの計算をして正であることを示したのかが分かりません！ この計算をすることで何が分かるのかと、この計算がやっていることの意味を教えて頂け... Read More

216 第7章 数 列 基礎問 138 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ、 1 (1) 12+22 +…+n= n n(n+1)(2n+1)......① 1 1 1 2n (2) 1+ +・・・+ + M .....(2) 2 3 n n+1 |精講 手順は 137 と同じですが,n=kのときの式から, n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 (1) i) n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = 1/10・1・2・3=1 6 よって, n=1のとき,①は成立する. ii) n=kのとき 12+22+..+k=k(k+1)(2k+1) ①、 6 が成立すると仮定する. 左辺 = 12+22++k+(k+1) 右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 んでくくった =1/1/(k+1){(2k²+k)+6(k+1)} ①の両辺に (+1)2を加えて 左辺に, 12+2+... +k²+(k+1)^ を作ることを考える そのまま使えてるとはとる =1/21 (k+1)(k+2)(2k+3) 6 これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって ① は n = k +1 でも成立する. i), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

数Bの問題で赤線を引いてある−3分の2の値がなかなか出てこないのですがもしわかる方がいらっしゃいましたら−3分の2になる方法を教えていただきたいです🙇‍♀️ よろしくお願いします😣

65 149 生徒の記録は平均392.4秒, 標準偏差 48.6秒の正規分布に従うものとする。 ある高校の男子運動部員286人を対象に 1500m走の記録会を開催した。 記録会に参加した Zは標準正規分布 N(ク ある」 ことがまた,X ≦ 360.0 のとき Z≦ 記録会に参加した生徒の1500m走の記録を X とし, Z = ケ)に従う。 X- アイウェ ae.オカキ とおくと, コ シ であるから,この記録会で1500m走の記録が360.0 秒以下であった生徒の人数はおよそ 対 ス の解答群 ス人である。 (135.5, 3.6 ほうから、 対高全 受 X 140 15 ①33 1.2 ② 58 ③ 72 4 94点良平 51 ⑤ 111 02.1 e. 19.80 x8051-19.88) ASE ASEV 0.5-0.39 14 0.1056 ア イ ウ エ オ キ ク ケ コ サシ ス (

積分についての質問です。青マーカーを引いた部分はなぜ0≦x≦1ではダメなのですか？-x^2+xは0≦x≦1だから≦でいいと思うのですが。またx^2-x=mxの時はx≦0 1≦xを満たすで≦を使っているのにどうして-x^2+x=mxの時は使ってないのですか？教えてください。

Think 10/12 例題 239 絶対値を含む関数と面積 (1) mの値の範囲を求めよ. [考え方 直線 L と曲線Cは原点を通り、 右の図のようになる。 (1) xx=mx (x≦0 1≦x) と-x'+x=mx (0≦x≦) の異なる実数解の個数が3個となるmの値の範囲を 求める,または, 直線Lと曲線 C の異なる共有点の 個数が3個となるときの直線Lの傾きからの値の 範囲を調べる. (2)公式 f (xa)(x-β)dx=-1/2 (B-α) を利用する。 C LO 450 第7章 積分法 **** mを正の定数とする. 直線L:y=mx と曲線 C:y=xx の異な る共有点の個数が3個のとき,次の問いに答えよ. する 2 直線と曲線Cとで囲まれる部分の面積Sの最小値を求めよ。 y 1+m x²-x (x≤0. 1≤x) 解答 (1)|x-x|= miiii -x²+x (0≤x≤1) m x=mx とおくと, x(x-1-m)=0より, また,直線Lは原点を通る傾きm (m>0)の直線である。 \x2-x=\x(x-1)\ x=0, 1+m >0より、この2つの解はx 1を満たす. x=0, 1-m xx=mx とおくと, x(x-1+m) = 0 より x=1-m が0<x<1, つまり, 0<1-m<1 より,0<m<1 を満たせば、 直線Lと曲線Cの異なる共有点の個数は3個となる. よって, 0<m<1 (別解) y=-x'+x において, y'=-2x+1 より, x=0 のとき, y'=1 であるから, 放物線 y=-x+xの原点における接線の傾きは1 である. y-8/m=1 C O ISL m=01 となるときの直線Lの傾きの値の範囲は, よって,右の図より,直線と曲線Cの異なる共有点の個数が3個 yA S1 S2 Foc 0<m<1 (2) 直線Lと曲線Cとで囲まれる部分のうち, O 1-m 0≦x≦l-m の部分の面積をS, 1-m≦x≦1+mの 部分の面積をS2とし, 直線と曲線 y=xx とで 囲まれる部分の面積を S3, x軸と曲線 y=x-x とで 囲まれる部分の面積を S4 とすると, S2=Si+S3-2S4 1+m ya S3 1+m したがって S=Si+S2=2S+S3-2S4 ....① www 直線Lと曲線Cの共有点のx座標は, x=0, 1-m,1+m であるから, Cl-m Si= "{(x+x-mx)dx =-fx(x-(1-m)}dx ((1-m)-01-(1-m)³ -8 1+m 練 123 **

(2)を解くとき、何から始めれば良いか分からなくて解けません。どんな思考回路で解けば良いですか？

CER FACITY 134 漸化式の応用 平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3 本も1点で変わらないとき、これらの直線によって平面がan個 の部分に分けられるとする. (1) α1, a2, as を求めよ. (2) n本の直線が引いてあり, あらたに (n+1) 本目の直線を引 いたとき、もとのn本の直線と何か所で交わるか. (3) (2)を利用して, an+1 を an で表せ (4) an を求めよ. 精講 まず設問の意味を正しくとらえないといけません. nが含まれて いるとわかりにくいので,nに具体的な数字を代入してイメージを つかむことが大切で,これが(1)です. (3)が最大のテーマです。 「an+をαで表せ」という要求のときに, 41, a2 α などから様子を探るのも1つの手ですが,それは137以降 (数学的帰納法)に まかせることにします。ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか を学習します。 nant の違いは直線の本数が1本増えることです. 線と サト 大点によって,(n+1)本目の直線は,2つ ある直 の半直線と (n-1) 個の線分に分割されている (下図).. ② ③ ① 1本目 (n+1) (n+1)本目の直線 A 2本目3本目 この(n+1) 個の半直線と線分の1つによって、いままで1つであ った平面が2つに分割される. よって, (n+1) 本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える ことになる. 本目 (4)n≧2のとき, an+1=an+n+1 (n≧1) f(n)の形やで 階差数列 (123 n-1 an=a1+(k+1)=2+2+3+..+n) k=1 =(1+2+…+n)+1-1/2n(n+1)+1/12 (2) これは, n=1のときも含む. 吟味を忘れずに ポイント 直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが,問題 はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります. 漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として, (n+1) 番目の状態を考え、その変化を追う 解答 (1) (a₁) (a2) (a3) 第7章 ② ④ 27 ⑤ ③ 演習問題 134 ④ 右図のように円 01,02, 直線 ・は互いに接し、かつ点Cで交わる半 に内接している。このとき、次の問いに答えよ. 12 図より, a1=2 図より, a2=4 図より α3=7 (2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら ないので, (n+1) 本目の直線は,それ以前に引いてあるn本の直線の すべてと1回ずつ交わっている。 よって、nが所で交わる (1)円の半径が5CA の長さが12で あるとき,円の半径 12 を求めよ. (2)番目の円の半径を1とすると (2) きっと+1の関係式を求めよ. 02 -11 A2 Al

数学的帰納法の(2)の問題でどうすればこの解答の思考回路になるのかを教えて頂きたいです。 また、この解答もいまいち理解できません。 どうして比べているのか教えて頂きたいです。

216 第7章 数 基礎問 138 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を 用いて証明せよ. (1) 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1) —......①℗ 6 1 1 1≥ 2n (2)1+ + ・+・・・+ 精講 2 3 n n+1 ·② 手順は137 と同じですが, n=kのときの式から,n=k+1のとき この式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません (1) i) n=1 のとき 解答 左辺 = 1. 右辺 = 1/2・1・2・3=1 143 よって, n=1のとき, 1 は成立する. ii) n=kのとき 12+2+…+k2=1/3k(k+1)(2k+1)………T、 が成立すると仮定する. ①の両辺に(k+1)2 を加えて Kl=1²+2²+…..+k²+(k+1)² 右辺 =1/23k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 【左辺に, 12+22+... +k^+(k+1) を作ることを考える (k+1){(2k2+k)+6(k+1)} 1 6 (k+1)(k+2)(2k+3) これは、①の右辺に n=k+1 を代入したものである。 よって,①はn=k+1 でも成立する。 i), i)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

基精 129(2) マーカーを引いたOLはどのように求めたのでしょうか？

238 第7章 ベクトル 基礎問 129 正射影ベクトルの応用(I) 三角形OAB について, OA=√2, OB=√3, AB=2 とする。 点 から辺ABに下ろした垂線の足をL,辺 OBに関してLと対称な点を1 とする. a = OA,T= OB とおく. このとき, 次の問いに答えよ。 (1)を求めよ. また, OL を ともで表せ. (2) OPをとで表せ. (別角 (内科 実数 OL= OL 精講 (1) |AB|=|OB-OA を用います。 (2) ベクトルにおいて, 「垂直」 が絡む問題です. 128 では 「I. (内積)=0」 を用いたので, 129 では 「II. 正射影 ベクトル」を用いて考えてみましょう。 (1)|AB|=|OB-OAP より 解答 |AB|=|OB|-20A ・OB+|OA| 4=3-20A ・OB+2 OA.OB= .. . à·6=1 また,ALはAOのABへの正射影ベクトルなので AL=AO.AB- AO・ABAB 00 ABP -OA (OB-OA) AB 4 -OA・OB+|OALAB =2AB √2 h A ・B よって OL=OA+AL =OA+(OB-OA)=OA+20B-12/31+1/26 8

なぜAB=BCの式を作る時にtの2乗－(－½—tの2乗)とt－(－t)になるのかがわからないです。 tの2乗、(－½—tの2乗)がそれぞれ点Aのy座標、点Bのy座標を表しているのはわかりましたが、そこでなぜ引き算になるのかを教えてください🙇🏻‍♀️

4 放物線上の点 右の図で, ① y A ① は関数 y=x2, ②は関数 1 y= x2 のグ 2 ラフである。 点 Aは①のグラフ 上に, 点 B, C IC B 5章 相似と比 は②のグラフ上にある。 点 A, B の x 座標は等しく, 点 B, C の y 座標は等し 6章 円 い。 △ABC が直角二等辺三角形となると き,点Aのx座標を求めなさい。(高知) ★点のx座標をもとして, 点 A, B, C の座標を t を使って表し, AB=BC から, tについての方程 式をつくって解く。 B t.tt/1/21) また、点と点Cは軸について対称だから、C(一七、1頃 ∠ABC=90°より、AABCが直角三角形のとき、 AB=BCだから、ピー(-1/2)=t-c-t t = 0₁ t = 3 C 7章 三平方の定理 標本調査 するとみることができる。 p.62 3年 大 65

赤線部のように式を変形できるのはなぜですか？🙏🙇🏻‍♀️

次の漸化式により定義される数列{a}がある。 α=1, an+1= an 1+an (1)az, a, a を求めよ. (2) 一般項 αを求めよ. 青講 どんな複雑な漸化式でも、最初の数項を書き並べてみることで、 般項が 「推測できる」ことがあります。 ただ、それがすべての自然 nで成り立つかどうかはきちんと証明する必要があります。 そこで役に立つ -が,数学的帰納法です。 数学的帰納法は, 漸化式と非常に相性がいいのです. 解答 商品 ■ 漸化式を用いると (分母・分子に2をかける (分母・分子に3をかける a1 1 1 12 1 1 3 1_1 a2= a3= 1+a₁ 1+1 2' a= 1 2+1 3 1 3+1 4 1+ 1+ 2 (1)より, an= n ･･････(*)であることが推測できる. すべての自然数nで(*) が成り立つことを数学的帰納法で示す. (I) a=1= より, n=1のとき(*)は成り立つ. (II) n=kのとき(*) が成り立つと仮定する.すなわち aki ･･････ ①成り立つとしてよい式 仮定 k このとき,(*)で n=k+1 とおいた式 1 ak+1= k+1 が成り立つことを示す.漸化式より ② 【示すべき式 結論 ak k 1 _ 1 = ak+1 ak+1 1+k k+1 +1 k 分母分子にんをかける より,②はせたここで①を使う 1), (II)より, すべての自然数nで (*)は成り立つ。よってam= n 第7章

（4）の解説、どういう事ですか？ P（x）が（x+1）²で割れるっていうのは（2）の問題の中の話じゃないんですか？🙇‍♂️ （2）コサ の答えは 2と3です

148 第7章 式と証明, 複素数と方程式 *26k, 1, m を実数とし, xの多項式P(x)=x+kx2+x+mを考える。 (1) P(x) は x+1で割り切れるとする。 このとき, 因数定理により, P(アイ)=0が成り立つから,mはk, lを用いて m=ウk+1-エ ① と表される。また,P(x) を x+1で割ったときの商をQ(x) とすると Q(x)=x-x2+(k+才)x-k+1-カ である。 また (2)(x) (x+1)で割り切れるとする。 このとき, (1) で求めたQ(x)はx+1で割 り切れる。このことと①によりㄥmはkを用いて り切れる。このことと①により, lmはkを用いて l=≠k+ク,m=k+ケ と表される。また,P(x) を (x+1)2で割ったときの商をR(x) とすると である。 R(x)=x-コ x+k+サ 以下の (3), (4) は, P(x) は (x+1)で割り切れるとする。 (3) R(x) を (2) 求めた2次式とし 2次方程式R(x)=0の判別式をDとする。 このとき,P(x) がつねに0以上の値をとることは,Dの値がシであることと 同値であり,これは,k+スの値がセであることと同値である。 シ, ⑩ 負 の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ③ 正 ① 0 以下 ④ 0 以上 ② 0 (4)を実数とする。 4次方程式 P(x) = 0 が虚数解 t+3i, t-3iをもつとき t=y, k=タ である。 になるのかな [21 共通テスト ・ 本試 (第2日程)]

課題２を教えてください。

・ウヒャ ウヒャ 権力に私たちの自 王様だ! 読書をさせよう 由をおびやかす危 険があ 法 ん? 漫画は もっとよい国を つくりたいぞ 漫画は読むのも かくのも禁止する! いやだ~ え〜っ けしからん! なに!? きまりを 破ったものは, 刑務所に こうしたことが起こ らない。にするた めには、 よいだ うしたら か。 入れるぞ!! 人権保障 目的 立憲主義の 憲法 権力分立 手段 (権力を制限するしくみ) わしの言うことを 聞かないと 刑務所に入れるぞ ( 7888888 法 ・君主・独裁者 法を制定 制限 法 立憲主義の憲法人権保障と権力分立は目的と手段の関係で、 どちらが欠けても立憲主義の憲法とはいえません。 政治権力 何をされるか 第99条 天童又は 深めよう わからないので 何も言えない 国民 せっしょうちょ 政府は法に ・君主・政府 政治権力 (法律) 従うべきだ 国民(人権の担い手) 摂政及び国務大臣 さいぽんかん なぜ条文に記されて 国会議員 裁判官その他の 公務員は、この憲法を尊重し 擁護する義務を負ふ。 いる人たちに, 憲法 けんぼう ■王様の政治 を尊重し擁護する義 務を負わせるのかを 考えましょう。 人の支配 法の支配 4 日本国憲法を尊重する義務 5人の支配と法の支配 こじん そんちょう けんぼう 学習課題 なぜ憲法は必要なのでしょうか。 立憲主義とはどのような考え 方でしょうか。 ②法に基づく政治と憲法 けんぼう 見方・考え方 個人の尊重 法の支配 MARA 国の政治の基本的なあり方を定める法を憲法 憲法とは 立憲主義の憲法について 個人の尊重 と法の支配に着目して理解しましょう。 5 法の支配と 権力分立 .. じんけん そんちょう といいます。よりよい民主政治を実現するた めには,基本的人権の尊重など, 私たちがともに生きていくうえで 大切にすべき原則を明らかにして, それを政治権力が守るしくみを くふうしなければなりません。 このような憲法に基づいて政府をつ くり,政治を行うことにより, 権力の濫用を防ごうとする考え方を りっけんしゅぎ 立憲主義といいます。 国の政治の基 本的なあり方 を定める法 憲法 国会が制定 するきまり 法律 らんよう さいこうほう 立憲主義の実現のために, 多くの国で、憲法は国の最高法規であ るとされています。憲法の改正には慎重な手続きが定められ、憲法 #2%2 に違反する法律や命令は効力をもちません。 このように、立憲主義 ほしょう 10 個人の尊重といいます。 そして, 私たちが人間として自分らしく生 きほんてきじんけん きるために必要な権利 (基本的人権)が保障されなければなりません。 そのため, 憲法によって基本的人権が保障され, 法律によってもう ばうことができないとされています。 第1章 天 第2章 戦争の放棄 第3章 国民の権利及び義務 国会 第4章 第5章 第6章 権力をもつ人の好みや思いつきで,政治権力 第7章 第8章 第9章 内閣 司法 財政 地方自治 改正 第10章 最高法規 第11章 則 0 が行使されると, 私たちは, 安心して自由な 生活を送ることができなくなります。 また、 その場合、 自分と他の 人との異なる取りあつかいを、理由のない不公平なものであると感 じるでしょう。政治権力が公平に行使され, 私たちの自由が守られ るためには,あらかじめ定められた法に基づく必要があります。 こ のように、権力をもつ人もまた法に従わなければならないという考 え方を法の支配といいます。 に基づいて,人権の保障や権力分立を定める憲法を, 立憲主義の悪 けん 甘い 15 ほしい45 P.252 したが 権力が集中して強大になると,法が守られず, 私たちの自由がお 6 日本国憲法の構成 資料活用 基本的人権の保障と権力分立 権力の制限) は, 憲法のどの章で定められて いるでしょうか。 政令や省令 命令 など ※法律を実施するために内が定めるきまり (政令)。 法律 や政令を実施するために大臣が定めるきまり (省令など)。 2法の構成 上位の法になるほど、 強い 効力をもち、 下位の法が上位の法に反すると きは無効になります。 憲法は最高位の法に なります。 38 第2編 私たちの生活と政治 法といいます。 えんちょう 個人の尊重と 人権の保障 民主政治の目的は、私たちがたがいに協力し, 一人一人の幸せを実現することにあります。 そのためには,政治においては,一人一人が尊厳のある人間として はいりょ 等しく配慮され, その個性が尊重されなければなりません。 これを 歴史 立憲主義の憲法と十七条の憲法で、ちがうところは何でしょうか。 きけん ぶんかつ びやかされる危険があります。 そこで、権力を分割したがいに抑 けんりょくぶんり 制と均衡をはかるくふうがされています (権力分立)。そのなかで重 P.78,106,252 要なものの一つとして、 今日では多くの国で、法律や命令などが憲 法に違反していないかを, 裁判所が判断するしくみがとられていま す。 法の支配や権力分立は,基本的人権を守って,よりよい民主政 治が行われるようにするために, 憲法が定める大切なしくみです。 6 1 モンテスキューは 「すべて権力をもつ者は それを濫用しがちである。 彼は極限までその 権力を用いる。 それを防ぐには、権力が権力 を配することが必要である。」 (「法の精 神』)と述べました。 確認 憲法がなぜ必要なのか、 次の語句を使っ て説明しましょう。 権力,立憲主義, 人権 39