次の極限値をa,f(a),f’(a)を用いて表す問題です。 解説お願いします！

10. 次の極限値を a, f(a), f' (a) を用いて表せ。 (1) lima+3h)-f(a) h-0 h (2) limfa+h)-f(a-h) 4-0 h

マーカーの部分で、 x→∞だと、x>1、0<1/x<1と考えていいのはなぜですか？ x→∞の時xの範囲が必ずこれになるんですか？

基本例題134 関数の極限 (4)… はさみうちの原理 0000 [3x] (1) lim 次の極限値を求めよ。ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す。 x1x Xx ¤¨ (2) lim(3*+5*)½ X11 p.218 基本事項 5, 基本 105 225 指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 (p.218 ⑤5 2)の利用を考える。 (1)n≦x<n+1(n は整数) のとき [x]=n すなわち [x]≦x<[x]+1 この式を利用して f(x) ≦ [3x]≦g(x) よって [3x]3x < [3x]+1 x (ただしlimf(x)=limg(x)) となるf(x), g(x) を作り出す。なお、記号[ ]は ガウ ス記号という。 (2)底が最大の項 5 でくくり出す (^{(2x)+112=5{(1/2)+1/+ (12/3)の極限と{(12/3)+1} の極限を同時に考えていくのは複雑である。 そこで、はさ 4 1 B みうちの原理を利用する。 x→∞であるから,x>1 すなわち 0 <1と考えてよい。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 (1)不等式 [3x]≧3x< [3x]+1が成り立つ。x>0のとき,各辺 [3x] [3x] 1 x .. をxで割ると ≤3< + x ここで, x から 3- [3x] 3-1[3x] XC ≤3 x x [3x] =3 81X x 3< x はさみうちの原理 f(x)≦h(x)≦g(x) で limf(x)=limg(x)=a ならば limh(x)=a [3x] 13x1+1/2カ lim (3-1)=3であるから lim X11 1 1 mil-nfe (2) (3*+5)=(5* {(3)*+1}] *=5{(3)*+1}* x→∞であるから,x>1,0<<1と考えてよい。 このとき XC 底が最大の項5でくくり 出す。 mil {(1/2)+1}{(1/2)+1}^{(1/2)+1…(*) 4>1のとき,a<bならば (g)+1={(号)+1}^{(1/2)+1} すなわち1<{(1/2)+1}* <(2/2)+ 1< {( 3 ) * +1} * < ( 3 ) * +1 °°である。 2.200 (213) +1>1であるから, 1 lim (13)+1}=1であるから /31 (*)が成り立つ。 lim +1}^=1 81X フェ よって 135 lim (3*+5*) * = lim 5{( 3 )*+1} *=5.1=5 x→∞

極限の問題なのですがf（x）－2x^＋3=ax^2＋bx＋Ccと置くのは不可ですか？教えて頂きたいです。

EX 3次関数 f(x) が lim f(x)-2x3+3 x→∞ x2 =4, lim f(x)-5 ¥99 x→0 x =3を満たすとき, f(x) を求めよ。 f(x)-2x3+3 極限値 lim x2 x→∞ X 800 が存在するから,f(x) -2x3 は2次 4 2次式以下でないと になってしまう 愛知大 以下の整式である。 200 x8809 mit したがって f(x)-2x3=ax2+bx+c たぬ 200 il (1) すなわち f(x)=2x3+ax2+bx+c niaxAni 81X この よって, 条件から a=4 ゆえに 条件 lim f(x)-53から lim{f(x)-5}=0 x→0 x x→0 よって c-5=0 したがって c=5 ゆえに f(x)-5 このとき lim f(x)=2x3+4x2+bx+5 =lim (2x2+4x+b)=b x→0 x x→0 条件から 以上により b=3 f(x)=2x3+4x2+3x+5 1063 limf(x)-2x'+3=lim(a+1/x+c+2)=0 f(x)=2x3+4x2+bx+c とおける b 1 ←lim x8x ←lim 81X から。 X00+x 2 = =0 f(x)-2x3+3 x2 ←lim (分子) = 0 x→0 =4 =lim- ←lim x-0 XC f(x)-5=3から。

なぜxの範囲をこのように仮定するのですか？

基本 例題 43 関数の連続・不連続 00000 次の関数 f(x) が, x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし, [x] (ガウス記号) は実数x を超えない最大の整数を表す。 (1) f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] (S) (2) f(x)=x2 (x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6

このような問題は言われなくても極値を答えなければならないのですか？

例題 103 凹凸とグラフ(2) *** 1 関数 y=- e の増減凹凸 変曲点を調べて, そのグラフをか /2 〈偶関数の定義〉 考え方 f(x)= =e-1 とすると、f(x)=f(x) YA f(x)=f(x) 解答 1 2 つまり,f(x)は偶関数 (グラフがy軸対称)ail である. 増減表は半分(x≧0 の部分)だけで十分である. (p.191 ⑥参照) 1 f(x)= e-1 とおくとf(x)=f(x)より, √2π f(x) は偶関数である. f'(x)=-2 1 xe 1 2 =(e² - x²e ²)=- f'(x) =0 とすると, √2π =(x+1)(x-1)e- x=0 f" (x)=-√2π 定義域は実数 関数の特徴 f" (x) = 0 とすると, x=±1 したがって,x≧0 での増減や凹凸は次のようになる 1 x f'(x) (0) - + 偶関数だから 凹凸は けで考える. Af"(x) (-) f(x) √2π 0 1 1 √2ле 極大値 (x=0) √2π 変曲点の座標は、(1.2me) (-1. √2ne limf(x)=0 より, 漸近線は, 直線 y=0 (x軸) x→∞ x≦0 の部分とx≧0 の部分は y 軸対称より, グラフは右の図のようになる. Focus 偶関数,奇関数のグラフ 増減表は半分に 注 x=0 のとき 極大値- √2π に注意 YA √2 例題103の曲線を正規分布曲線という. 偏差値などはこの関数をもとに求め できる.

f(x)/xで極限を取るのは何故ですか？

例題 91 分数関数のグラフ 次の関数の増減,極値,漸近線を調べて, そのグラフをかけ. x² 2 **** (1) f(x)=-1 x (2) f(x)=-1 (3) f(x)=1/21 考え方 まず,定義域を考える. 分数関数の場合, (分母)≠0 に着目する. 次に,軸との共有点,漸近線,増減表などを調べればよいが、その際 (分子の次数) < (分母の次数)になるように式変形する. m たとえば,(2)はf(x)=- x 1 mに着目する = 1 2 x-1 凸 .3 (3)はf(x)= x E も近線は部分に着目する x²-1 x+- = 2 x-1 となる。一 (漸近線は,部分に着目する. 1次以下の多項式の場合, 漸近線を表す.) 解答 (1) x10 つまり xキ±1 より 定義域は xキ±1 であるすべての実数 (分母)0 f(x)=xx 0 = x x2-1 (x+1)(x-1) f'(x)=- = (x²-1)-x-2x-(x²+1) 0 (x²-1)² (x-1) 2 0=x5014 050 したがって, f(x)の増減表は,次のようになる。 > x -1 1 ... 0 f'(x)- E f(x) C+ また, lim f(x) x±∞ x lim{f(x)-0·x}=0 =0+0 lim x→∞ よって, 極値なし 0 漸近線 (y軸に平行な もの)を求めるときに (分母)=0 となる値を 考える. limf(x)=∞, x→1+0 lim_f(x)=∞ より, 1+0 x=±1 は漸近線 x→∞ のとき, f(x)=0+- x ≒0 x-1 と考えると,y=0 も 漸近線 漸近線は,直線 x=±1,y=0

下から4行目の:の後はthe standard head trauma imformation sheetの補足説明と考えて良いのでしょうか...？教えて頂きたいです。

△を求めて over 15 9 We examined his head for injuries. We went over the story again. ふく Finally, I sent the mother home with prescriptions for amoxicillin* 52 気をつける and acetaminophen* and gave her some of the what-to-watch-for signs watch for something foy off the standard head-trauma information sheet: if he starts vomiting つまり again, if he seems less alert than usual, come to the emergency room. I wrote her phone number on a piece of paper towel, saying I'd call her later to see how he was doing.

高校数学IIです！！ (1)(2)両方わかりません！！特に写真の紫と赤で色がつけられてるところがわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

358 第6章 微分法 例題 181 微分係数代 5f(x)-xf(5) (1) 微分係数の定義に従って lim xx-5 f(a+h)-f(a-2h (2) 微分係数f' (a) の定義に従って lim f' (a) で表せ. h-0 **** f(5) f'(5) で表せ (東京薬科大) を (防衛大改) 考え方 (1) f'(5)=lim f(x)-f(5) (2)f'(a)=lim flat ○)-f(a) h→0 5 x-5 5f(x)-xf(5) 解答 (1) lim →5のままで考える。 5 x-5 =lim {f(x)-f(5)}を作るた 5 ,5f(5) を引いて加え JAR Focus >>>> 練習 [181 ** =lim 5 5f(x)-5f(5) +5f(5)-xf(5) x-5 5{f(x)-f(5)} -f(5)(x-5) +lim x-5 5 x-5 微分係数の定義 limf(x)-f(5) x+5 x-5 =5f'(5)-f(5) -+lim{-f(5)} 5 (2) limf(a+h)-f(a-2h) -0 h limf(a+h)-f(a) +f(a)-f(a-2h) =lim h-0 f(a+h)-f(a) h -lim h h→0 fla-2h)-f(a) h =limf(a+h)-f(a) h -(-2)-lim f'(a)+2f'(a)=3f'(a) f(a-2h)-f(a) -mil f(a+h)-f(a)を作る f(a)を引いて加え 分子のα-2hに合 分母も2hにし 前に2を掛ける. h→0 -2h h0のとき2 f'(a)=limf(x)-f(a) f' (a)=lim f(a+)-f(a) x-a x-a ●は例題181(2)のように、んではなく-2hになる場合もあるが、2箇所の →0のときでないといけない.ただし, lim の下はん→0のままでより また、例題181 の解答では,次の性質を利用している. (kは定数) limkf(x)=klimf(x), lim{f(x)±g(x)}= limf(x) limg(x) (複号同 xa x a →ロ x-a (1) 微分係数 f' (a) が存在するとき, 極限値 lim 用いて表せ。 xa f(a+3h)-f(a) 4-0 h (2) 微分係数 f'(a) の定義に従って limf(a-h)-f(a+3h) て表せ. h→0 をf'(

2.3h→0だからf'(a)🟰0は誤り →ここが分かりません。解説お願いします。

280 補充 例題 179 関数の極限値と微分係数 [湘南工科大] (イ) lim x→-3 x2+x-6 x2-x-12 (1)次の極限値を求めよ。 x3+8 f(a+3h)-f(a) を f' (a) で表せ。 f'(α) (ア) lim x-2x+2 (2) 極限値 lim h→0 h [関西大) p.266 基本事項 2 CHART & SOLUTION 関数の極限値 limf(x) xa 基本はxにαを代入となるときは約分 lim k-0 f(a+k)-f(a)=f(a)も利用できる k (1) そのままに-2 を代入すると, 分母分子ともに0になる。 よって、分母・分子 とも x+2 を因数にもつ (因数定理) ので,x+2で約分してから代入する。(イ)も同様。 (2)0 のとき 3h0 だからといって (与式)=f(α) は誤り! 3h=kとおいて,微分係数の定義を利用する。 A

解答の1行目で実数記号が付いているのはなぜですか。 −1≦sin1/x≦1ではだめですか。

止めよ Think 例題 62 連続と微分可能 **** 1 関数f(x)= = x'sin / (x=0) 調の 分」お 国の は, x=0 で連続か. また, x=0で (x=0) 微分可能か. ( 8-18 考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える. < 連続> <微分可能> f(x) がx=aで連続 f(x) がx=aで微分可能 ⇔limf(x)=f(a) x-a ⇔f'(a)=lim h→0 f(ath)-f(a) (1) h 第3 が存在する ここ 接する =1で x=1で 微分 調微分係 解答 このとき「微分可能であれば連続」 であるが,「連続であっても、 微分可能とは限らな 「い」ことに注意する. Ay 0 sin x limx'sin =0 → limf(x)=f(0) であるか確 0x'sin limx2=0 より x0 したがって, x limf(x)=limx'sin-=0 x0 f(0)=0 より, limf(x)=f(0) となり x0 関数f(x) は x=0 で連続である。 える。 当分する M 次に, lim h→0 f(0+h)-f(0) h かめて, x=0で連続かど うか調べる. >より、各辺にxを 掛けても、不等号の向きは 変わらない. 各辺をx→0として極限 をとり, はさみうちの原理 を利用する. x=0 で微分可能かどうか 調べる. れぞれ ●0 のと ■=ax 0 =2x+1 h² sin =lim 0 対するyの塩分をyと h→0 h (x)'a(x) (x)n)\\={() 1 =limhsin ......(x) h→0 ・h ((笑)) YA |y=f(x) もつ 0hsinh, limh=0. Di h0 limhsin/12=0417mage h→0 よって, f'(0) が存在するので, 関数f(x)はx=0で微分可能である。 1=1-2) (1+x)= ( 《注》> x=αで連続であることとは別に x=aで微分可能であることを示す必要がある. 練習 9 62 関数 f(x) = { xsin (x=0) X は, x=0 で連続か. また, x=0で微分可能か.