基本例題 50 2次方程式の解の存在範囲
00000
①①①①①
2次方程式x2-2px+p+2=0が次の条件を満たす解をもつように,定数ヵの値
の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
p.81 基本事項 ②
指針
α,βとする。
2次方程式x²-2px+p+2=0の2つの解を
(1) 2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0かつβ−1>0
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 →α-3とβ-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法 (p.81 の解説) もある。 これについては, 解答副文の別解 参照。
解答
2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα, β とし, 判別式 | 別解 2次関数
をDとする。
f(x)=x2-2px+p+2の
グラフを利用する。
=(-p)²-(p+2)=p²-p-2=(p+1)(p−2)
解と係数の関係から α+β=2p, aß=p+2
(1) =(p+1)(p−2)≥0,
軸について x=p>1,
(1) α>1,ß>1 であるための条件は
f(1)=3-p>0
D≧0かつ (α-1)+(β−1)>0 かつ (a-1)(β−1) > 0
から2≦p<3
D≧0から
(p+1)(p-2) ≥0
YA
x=py=f(x)
よって
p≤-1, 2≤p
11
(a-1)+(β−1) > 0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0
VIZ
よって
p>1
+
ol 1
B
(a-1)(β−1)>0 すなわち αβ-(α+β)+1>0 から
p+2-2p+1>0
よって
p<3
(2) f(3)=11-5p<0から
求めるかの値の範囲は, ①,②,
③の共通範囲をとって
-1
p> 11
2≦p<3
(2) α<β とすると, α<3 <βであるための条件は
題意から、 α=βはありえ
ない｡
!
(a-3)(B-3)<0
すなわち
aß-3(a+B)+9<0
ゆえに
p+2-3・2p+9< 0
よって
p> 11
①
1 23 P
3-
83
2章
9
解と係数の関係、 解の存在範囲
