2番の記述は解答では 1≦x<2のとき... 2≦x≦3のとき... となっていますが 1≦x≦2のとき... 2<x≦3のとき... でもいいですよね？？

114 重要 例題 68 定義域によって式が異なる関数 (2) 関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると き,次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(x) (2) y=f(f(x)) 解答 (1) グラフは図 (1)。 (2f(x) (2) f(f(x))= よって, (1) のグラフから 0≦x<1のとき 1≦x<2のとき 指針▷定義域によって式が変わる関数では, 変わる境目のx,yの値に着目。 (2) f(f(x)) はf(x)のxにf(x) を代入した式で, 0≦f(x)<2のとき 2f(x), 2≦f(x)≦4のとき 8-2f(x) (1) のグラフにおいて, f(x) <2となるxの範囲と, 2≦f(x) ≦4となるxの範囲を見 極めて場合分けをする。 YA 2≦x≦3のとき 3<x≦4のとき よって, グラフは図 (2) 。 (1) 4 (0 ≤ f(x) <2) [8-2f(x) (2≤ f(x) ≤4) 2 0 f(f(x))=2f(x)=2・2x=4x f(f(x))=8-2f(x)=8-2・2x=8-4x I 1 i I I I I 「 1 2 3 4 x f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8 f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=16-4x (2) YA 4 M 練習 4 68 次の関数のグラフをかけ。 (1) y=f(r) 12 3 4 x f(x)= 参考 (2)のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。 [1] f(x) が2未満なら2倍する。 [2] ∫(x) が2以上 4以下なら、8から2倍を引く。 JAMENT 2x [右図で,黒の太線・細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の 合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。 関数 f(x) (0≦x<1) を右のように定義するとき { 00000 (0≦x<2) 8-2x(2≦x≦4) Work 変域ごとにグラフをかく。 (1) のグラフから、f(x)の 0≦x<1のとき 0≦f(x)<2 1≦x≦3のとき 2≦f(x)\4 3<x≦4のとき 0≦f(x)<2 また, 1≦x≦3のとき､ f(x) の式は 1≦x<2ならf(x)=2x 2≦x≦3 なら f(x)=8-3 のように、2を境にして が異なるため (2) は左の 答のような合計4通りの 合分けが必要になってくる 23 y 4 2 0 (2x 8から2倍 2倍する (Osr< 方 J は a- <平 平 す <27 した

青いマーカーのところです。どこから-12+1が出て来たのですか。教えてください🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

X3 244- 一数学ⅡI t=1のとき, sin(x+4)=1から xから ゆえに x=0, π 2 t=-1のとき, sin(x++) = -1から 1 sin(x + 7) = - -√2/2 元 Axtqから ゆえに M 7 1x*s x+1=³^, ^ [ -= $().t π, 4 4 3 x=1₂2 5=6² π x+1=1, 3³ x 4 よって x=0, (2) t=2x+2^x とおくと otini. π で最大値1;x=π, 8*+8^*=(2x)+(2-x)* =t³-3t よって,yをtの式で表すと sin =(2+2-x)-3•2•2-(2'+2^*) y=(t-3t)-12t+1=t-15t+1 ここで,2"02"> 0 から, (相加平均) (相乗平均) により 2x+2x≧2√2^2-x = 2 y'=0 とすると, t≧2から t≧2におけるyの増減表は 右のようになる。 すなわち t≧2 等号は 2^2-x,すなわち xx からx=0のとき成り立つ。 y=-15t+1から y'=3t²-15=3(t2-5) t=√√5 ゆえに,yはt=√5で最小 値1-10 √5 をとる。 t=√5 のとき 2x+2x=√5 t y で最小値-1 EVELY 2 -21 ... || √5 0 極小 1-10√5 xの値を + ←a+1 =(a+ ①2 範囲 a>0 等号

この問題のやり方を教えて下さい 途中式などを詳しく書いてくれるとありがたいです よろしくお願いします

38 円が直線から切り取る線分の長さ[3TRIAL 数学ⅡⅠ 問題 192] 次の円が,直線y=2x-1から切り取る線分の長さを求めよ。 また, その線分の中点の座 標を求めよ。 (1) x2+y2=2 3 (2) x2+(y-1)²=2

数３積分の問題です。［1］でなぜy＝０が方程式の解だとすぐにわかるのでしょうか。

である EX すべての実数xに対して, 6238 Stf(x-1)dt = f( を満たす連続関数f(x) を求めよ。 よって x-t=s とおくと tとs の対応は右のようになる。 f(t)dt+sinx+cosx-x-1 し,微分方程式を作る。 | HINT まず x-t=s とおいて, 左辺を置換積分法で変形。 そして,がなくなるまで微分を繰り返 x t=x-s, dt=-ds t 0 - 1 S Sof(x-t)dt =f(x-s)(s) (-1)ds=xf,s(s)ds-Ssf(s)ds x x→0 みうちの原理。 [名古屋工大] ←-S=S. 積分変数に無関係な x を定積分の外に出す。

積分の面積の問題です。この場合、曲線が上になる場合と下になる場合がありますが最後は下にある場合のみ考えています。その理由がわからないので教えていただけると助かります。

(1) = Va x 3 x EX a,bを正の定数として、直線ℓ: +1=1と曲線C: a a ③216 曲線Cとx軸,y軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 S₁ ② 直線と曲線Cで囲まれた部分の面積を2 とするとき, S2 + 2 4 2 3y V b よってy= =1 x y=8{(1-$( ² ) ² + s ( ² ) ³ - - - } :} また, ① で y=0 とすると (d-x)(6) 10 a x≦aのとき.1であるから ② より 3 xC y ①とするとゲー(ローン)②←=1 3 3 b xC 3 V a a XC Si=S0[1-3 (2) ³+3 a ① で x=0 とすると,同様にして y=b すなわち, 曲線 C と座標軸との交点は点 (α, 0),(0, b) x≧aのとき,であるから,②より a (116) 更に,③は連続な関数であるから a a =1 3 X3 - a 3 1-'98 ゆえに x=a y≥0 + y≤0 <ポイント〉 }dx交点を求める. y=1 を考える。 V6 f(x)=b (1) 2012 (13) とすると. x -3 +3 を求めよ。 SLNE RO 〔名古屋工大] My ←x=1から a 0 S₁ x a ars CMMA to 18 1a 9 4 9 5 = b[x-_2_x³ + 2x³-26=2ab (8-1)+x+b(a−² = a + / a- = ª) 9 9 1 x3 a 1 4a3 5a3 10 20 5 2 (2) 直線lも座標軸と点 (α, 0), (0, b) で交わる。 4/4+1/6=1 =1から b y=b(1-x²) a JUFLE CD. a 3=(x/y軸間それぞれでDS=(x) (1) 1 x JANET ←lとCの上下関係を調 べるために, 差をとる。

積分の面積を求める問題なんですけど、なぜx＝yに対称であるとわかったのでしょうか。

EX 関数f(x)=ae²x (aは定数)について, 曲線 y=f(x)上の点(b, f (b)) における接線がy=xで ③ 215 あるとき,次の各問いに答えよ。 1 aとbの値を求めよ。 ② y=f(x) の逆関数 y=f'(x) と表す。 このとき, 曲線 y=f(x), y=f'(x), x軸およびy 軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。 〔宮崎大〕 HINT (2)(1) の結果を利用。 また、2曲線y=f(x), y=f'(x) は,直線y=x上の点(b, f(b)) おいて接し, 直線y=xに関して対称である。 (1) f'(x)=2ae2x であるから, 曲線 y=f(x) 上の点(b, f(b)) y-ae²6=2ae2b (x-b) における接線の方程式は すなわち y=2ae²6x+α(1-26)e26 これがy=x と一致するための条件は 2ae26=1 ①を②に代入して ...... 1, a(1-2b)e2b =0 1-26=0 =1/12/①に代入して 2ae=1 ゆえに よって b= [1=x 2 OVER a= ty-f(b)=f'(b)(x-b) (N(S) ←傾きとy切片が一致。 ←(1-26)=0) 1 -1} |- ( ² f1 ) ¢ = (x)\\ 2e

数３積分の問題です。（1）で具体的に面積のグラフを書いてイメージを掴みたいのですがどのようなグラフになるのかわからないです。

EX (1) 関数f(x) が区間 [0, 1] で連続な増加関数であって、常にf(x)≧0であるとする。 また, n ©212 を自然数とする。 このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。 (1) k=1,2, k-1 n から 0 ≤ = 2 2 ƒ ( ²² ) - S; ƒ (x) dx = — - (ƒ(1)—ƒ(0)} n k n (2) f(x)=log(1+x) に対して, (1) の結果を用いて次の極限値を求めよ。 lim (~—-108 (1 + / -)(1 + 2 ) --- 1 + 2 )}) |__ log n n n n nのとき k- ƒ (^-¹) =/(x)=√( 1 ) n k-1 k x=1のとき、f(x) は区間 [0,1]で増加関数である30 n n k k-1 n k k k-1 *₂ S (R-¹) dx = S(x) dx = √ * _ 1 √ ( 12 ) dx k-1 n n n n n 0≤- = = ≤1 n k n = { 1 + 1) yol 2 = x² k k k n n **E √(-¹)dx=√(x) dx = s( #), dx ゆえに n n n [類 高知大〕 k≤ n = 1 n=1 n n Rof y=f(x) 0 k-1 k n n 12 n x

積分の問題なんですけど、青線引いたところがわからないです。どうやって底面の面積を求めているのでしょうか。

X3 330- 一数学ⅡII • EX 4 4) 205 Oを原点とする.xyz空間に点P(10),k=0.1.…….…. nをとる。また,z軸上の の部分に点Qを線分PQの長さが1になるようにとる。 三角錐 OP & Pk+1 Q & の体積を カー1 〔東京大〕 Vとするとき、 極限 lim Vk を求めよ。 n→∞k=0 HINT Q (00.gn) としてkを n Q(0, 0, gn) とする。 PQ=1から h≧0であるから k+1 また, Pk+1 ( n △OPkPk+1 ゆえに V=1/3/340 √ ( ^ ^ )² + (1 - ^ ^ ) ² + ax² 9k=₁ 6n AOP.P...--1-(4+1) (タ+1 ニー ・1・ で表し, Vk= 2 2 Vi-(分) (1分) n k+1.0)であるから n = 6 Jo 1 3 k k △OPP+1gk OPP+19= 2√1-( 2² ) ² - (1 - 1² ) ² 2n V n n 0 ● 2 1 1- ( 12 ) ² - -√/¹-(4)-(₁-4) -11 n n k 円を表すから,その面積を考えて 2 n -△OPP+1gkn 1 = -√/2x-2x²³ dx =1 k n-1 * lim V-lim √1-( #)²-(1-2) ² 1 6 -1 よって 6nk=0 n n→∞k=0 n→∞ -√/1-²-(1-x) dx n 1 2n k+1 n k n * + - S: √(-)-(x - ²)² x 2-14) S/(/)(x 2 2 dx ₁ 6 2 2 √2 2 √2 1 2 1/² S √ ( + ) - ( x -+ ) dx = 1 + ² + (1) Z (2) xC T 6 2 6 2 48 を用いて表す。 ZA gk k n EXここで.y=1/(1/2)-(x-2121 ) 2は中心 (12/2.0). 半径 1/2の半 20円 Pr+1 Pk xy平面上で,点Pk, 20 P+1 は直線 x+y=1 にあるから, A(0, 1,0) とすると y 2 AOPRPk+1 =△OP k+1A-AOPA n Oh X:3 S₁ √ ( 1² ) ² - (x - 2)²³ dx th 18 x

これ、先にdθ/dx ×（sinθ/1-cosθ）をしてからθで微分すると答え変わるんですが、何でですか？

基礎問 114 64 媒介変数で表された関数の微分 D 第5章 微分法 Ly=1-cos0 x=0-sinf 0で表せ. 精講 変数tを用いてx=f(t), y=g(t) の形で (x,y)が与えられ るとき,t の値が1つ決まると点 (x,y) が1つに決まるので 動かすと点(x,y) が動いて, ある曲線Cができ上がることが [x = f(t) Ly=g(t) 媒介変数表示といいます.(数学ⅡI B45 このような形で表される関数でも,t を消去して「y=(xの式)」の形に れば今までと同じように微分できますが,そうでないときにどうやって微 るのかが今回のテーマです。 まず, 記号の復習です. できます. このとき 次に, d dy ○は「○をxで微分する」という意味ですから, は「yをxで微 d.x dx る」ことを意味する記号です. (00 <2π) で表される関数について また、 d'y は「yをxで2回微分する」ことを意味する記号です. 「2」 dx² dr do いている位置が分子と分母で違うところに注意してください。 次に,微分 ときに使う公式ですが,これはポイントを参照してください. 解答 dy dx dy do dy dy dx' dr をtを媒介変数(パラメータ)とする曲線 =(0-sin0)=1-cose, cy=(1-cose)'=sin0 sino dx 1-cos de [ddy dx²dx sino 1-cos0, 【 注 1 ポイント 注2 do d sino dx de 1-cos 注2 1 1-cos 0 d sin ( dx 1-cos 0) cos0-cos2d-sin20 (1-cos)³ 演習問題 64 x=f(t), y=g(t) と表されているとき, dy dy dt g'(t) d²y dx dx 1 dy (sin 0) (1-cos)-sin 0(1-cos)' (1-cos0)² -60 商の微分 = dy dx この基礎問では, 注1 味ですが、文字が入っていないのにどうやってxで微分するのでしょう か? そこで,次の性質を利用しています. d 0=do. do (=do. do dx dx dx sing do (1-cose)² は、約束によれば, x= cos 0-1 1 (1-cos 0)³ (1-cos0)² d (dy dx f'(t)' dx² dx\dx, dt do は約束によれば, 0 をxで微分するという意味ですが, dx sino 1-cos 0 x=0-sin0 を 「8= (xの式)」の形にできるわけではありません.そこで, 「逆関数の微分」といわれる次の公式を利用しています。 l-t 2t y= 1+ t², 1+12 をxで微分するという意 do 1 として用いています。 dx dx do dy (1) 関数x=y²-2y(y> 1) について, dx (2) 大切な公式 (t=0) について 115 大切な公式 da で表せ. dy d'y dr' dre をtで表せ. 第5章 章 83) (50) ta

数学２Ｂの三角関数の問題です。(3)がよく分かりません…どのように考えればいいのでしょうか。

[2] a を実数とし, f(x)=2asin.xcos.x+2cos' x とする。 sin 2x = 7 sinx cosx, cos2x = | f(x) は と変形できる。 f(x)= タ sin2x+cos 2x+ (1) a=√3 とする。 このとき をとる。 f(x)=ツ sin 2x+- x= π t cos x- TC テ ト である。よって, f(x) は 0≦xst の範囲において のとき、最大値 チ + チ であるから, (数学ⅡI・数学B 第1問は次ページに続く。) (②2)=-1 とする。このとき f(x)=√ -√sin さい順に TC sin 2x+ T ヌ である。 ネ である。よって, 0x7の範囲において, f(x)=0 を満たすxの値は小 π チ 第3回 f(x)=0 を満たす の範囲において *1.850 > a<0 とする。このとき、x O xの値は2個あり,それらを α, β (a <B) とすると, tan (β-α)=ヒフ である。