これって何分の1公式が使えますか？ 見分け方のコツはありますか

S S y=f(x) y=f(x) x) 日本 例題 211 放物線とx軸の間の面積 次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 y=x-x-2 CHART 面積の計算 ① A 331 00000 (2)y=-x+3x(-1≦x≦2), x=-1, x=201 ISOLUTION & まずグラフをかく 積分区間の決定 ②上下関係を調べる この区間で≦0 (1) まず, x-x2 = 0 の解を求める。 → x=-1,2 よって、積分区間は-1≦x≦2 公式 6 (xa)(x-3)dx=-1 (B-α)を用いると計算がスムーズ。 (2)(1)と同様に, -x2+3x=0 から x = 0, 3 1≦x≦0 y≦0,0≦x≦2x≧0 積分区間は-1≦x≦2 p.330 基本事項 1 よって、積分区間を分けて計算する。 注意 面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交点の x座標がわかる程度でよい。 (1) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 x2-x-20 を解いて (x+1)(x-2)=0 よって x=-1,2 -1≦x≦2 において y≦0 であるから, 求める面積Sは s=S_{(x-x-2)}dx =-S_(x+1)(x-2)dx =-(-) (2-(-1))- 2 (2) 曲線とx軸の交点のx座標は, 方程式 -x2+3x=0 を解いて x(x-3)=0|必要とよって x=0,3 -1≦x≦0 において y≦0,0≦x≦2 において y≧0 である から 求める面積Sは s=${-(-x2+3x)}dx+f(-x+3x)dx yy=xx2 -1 0 2 x 7章 O S 25 積 62 [- 3. X y=f(x) x= b 2つの曲 =g(x) JO x3 3 xC + x² 3 2 3 2 8 y=-x2+3x --(-3-3)+(-3+6)=31 PRACTICE 211 次の曲線, 直線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (1) y=x²-2x-8のである。 y=x+3(0≦x≦1), y軸, x=1 (2) y=-2x2+4x+6 (4) y=x2-4x+3(0≦x≦5), x=0, x=5

赤線のthatが指している単語はなんですか？？

The invention started in 1995, when the Great Hanshin-Awaji Earthquake struck the Kansai region. After this terrible disaster, the tap water supply completely stopped. Local people waited in long lines every day for clean water to arrive. During this time, Dr. Oda often visited a pond near his home. He said to himself, "If I could clean the water in this big pond, that would make everyone so happy.” He thought and thought about a good solution. One day, looking at the pond, he did hit upon a simple but wonderful idea. Six years later, he finally completed powdered natto that could stick to dirt and make it sink. He immediately founded a new company to sell his powder. Contrary to his high expectations, it was not a hit in Japan.

この問題tと1-tを逆にすると答え変わってs＝tというのが出てきて訳がわからなくなってしまいます、、、 自分の計算ミスだと思うのですがどなたかtと1-tを回答と逆に置いた時の解法を教えてください

★★☆☆ 心を S, T 列題 22 LOF 米 メメ 例題 51 空間における交点の位置ベクトル平一同 思考プロセス D 頻出 ★★☆☆ 四面体 OABC において, 辺 AB, BC, CA を 2:33:2, 1:4に内分する点 をそれぞれL,M,N とし, 線分 CLとMN の交点をP とする。 OA = a, OB = 1, OC = c とするとき,OP を a, b, cで表せ。 例題23(1) の内容を空間に拡張した問題である。 ≪ReAction 2直線の交点の位置ベクトルは, 1次独立なベクトルを用いて2通りに表せ 例題 23 見方を変える ASを置く→内分でOPを2通り OF 章 4 線分 CL上にある 点P → OP = (1-s) +s [ 線分 MN 上にある a+ b+ =⑦ a+ b+ OP = (1-t)+t[ ■ 点 P は線分 CL 上にあるから(~)+ 0 文 Sr(1-5) 例題 CP:PL= s: (1-s) とおくと 23 OP = (1-s) OC+ sOL A 50 = (1-s)c+s(+6) 1次独立のとき ア=ア 辺AB, BC, CA を2:3, 3:2, 1:4 に内分する点が それぞれL,M,Nであ る。 空間におけるベクトル jpolat) 30A +20B LOL= 2+3 2 3 == sat B 3M < 点Pは線分 MN 上にあるから, MP:PN=t:(1-t) とお OP= (1-t)OM+tON 20B + 30C OM = 2 -6+ 5 + c+ 3+2 40C + OA 5 ON 1+4 1 5 ... 2 3 S= 5 =1/31 1-s= ③④より 1 3 a, b, cはいずれも0でなく,同一平面上にないから, ① ②り 一 係数を比較するときに は必ず1次独立であるこ を述べる。 ... 3,1/23s = 1/2 (1-1)... ①1次独立 ③, 25 (3+t)... ⑤ S= 絶対ル 忘れるな!? S= t = 4 4 これは⑤ を満たすから OP 3 → 1- 3 = a+ b+ 20 10 ① に sの値, または ②にtの値を代入する。 ARE 練習 51 四面体 OABC の辺 AB, OC の中点をそれぞれM, N, △ABCの重心をGと し、線分 OG, MN の交点をPとする。 OA=4,OB=6,OC=cとすると OPを a, b c で表せ。 105 p.139 問題51

微分積分分野の問題です (2)の場合分けまではわかるのですが波線部のような式変形になる理由がわからないです。 よろしくお願いします🙇

288 関数f(x)がf(x)=3x-folf(t) dt を満たすとき,次の問いに答えよ。 (1) 方程式 4x6x2+1=0をx=22 とおくことにより解け。 u (2) Solf (t) dt=3a2 とおくとき,実数a の値を求めよ。ただし,a≧0とする。 [15 宮城教育大]

オレンジの線のa<0という意味が分かりせん。教えてください。

本 例題 90 2次不等式の解から係数決定 00000 (1) xについての2次不等式x+ax+b=0の解がx=-1,3≦xとなる ように, 定数 α, bの値を定めよ。 (2)についての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x<1となるよ うに,定数α, bの値を定めよ。 CHART & SOLUTION 2次不等式の解から係数決定 2次関数のグラフから読み取る (1) y=x2+ax+b のグラフが x≦1,3≦x のときだけ軸を含む上側にある。 ⇔下に凸の放物線で2点 (-10) (30) 通る。 (2) y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけx軸の上側にある。 ⇔上に凸の放物線で2点 (-2, 0, 1, 0) を通る。 解答 (1) 条件から, 2次関数 y=x2+ax+b のグラフは,x≦-1, 3≦x のときだ けx軸を含む上側にある。 すなわち, 下に凸の放物線で2点 (10)(30) を通るから 13 基本 87 1-a+6=0, 9+3a+b=0 これを解いて a=-2,b=-3 (2)条件から, 2次関数y=ax²-2x+b のグラフは,-2<x<1のときだけx 軸の上側にある。 すなわち, 上に凸の放物線で2点 (-20) (10) を通るから a<0. 0 = 4a+4+6 ① 0=a-2+6 ② ① ② を解いて a=-2,6=4 これは α<0 を満たす。 1 別解 (1) x13≦xを 解とする2次不等式の1つ は (x+1)(x-3)≧0 左辺を展開して x²-2x-3≧0 x2の係数は1であるから x2+ax+b≧0 の係数と」 較して α=-2,b=-3 lint. 2つの2次不等式 ax2+bx+c<0と a'x + b'x+c<0 の解 等しいからといって直 にa=d', b=b',c=d とするのは誤りである。 対応する3つの係数の X 少なくとも1つが等し きに限って、残りの係 等しいといえる。例え c=cであるならば、 a=d', b=b'といえ

なんでこれからこれになるのでしょうか

0000 324 基本 例題 207 定積分を含む関数(定数型) 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1)f(x)=3x-x+S_f(t)dt (2) f(x)=2x2+1+Jxf(t)at CHART & SOLUTION p.320 基本事項 3.基本 定積分の扱い Sof(t) dt は定数文字でおき換え 定積分を計算しようとしても, f(t)は不明なので,直接計算することができない。 Sf(t) dt は定数であることに着目する。 (1)Sf(t)dt=a(定数) とおくと,f(x)=3x-x+αと表されるから, St-t+a)dt=aである。この定積分を計算してαの値を求める。 (2) Sxf(t)dt→ xtに無関係で定数xff(t)dt (1) と同様に処理。 そこで S_f(t)dt=a とおくと f(x)=3x²-x+a t S_f(t)dt の値はわから よってSf(t)dt=S(312-t+a)dt ないが、定数である。 =2f(312+a)dt 2 =2[at]=2(1+α) 奇数 0 ゆえに 2 (1+α)=a よって a=-2 したがって f(x)=3x²-x-2 (2)f(t) dt=a とおくと f(x)=2x2+ax+1 よってS's(n)=S,(2p+at+1)=1/2/31+1/21+10 ゆえに 1/24 1/2=4 a 5 + Fa 3 よってa=10 Sexf(t)dt のxは、 変数 tに無関係である から,定数として扱う。 すなわち Sxs(tat=x$sta したがって f(x)=2x²+10x+1 PRACTICE 207Ⓡ 次の等式を満たす関数 f(x) を求めよ。 (1) f(x)=2x²+xff(t)dt (2) 基本 (1) (2) CHA 定 S (2) fore (1 (2

相加・相乗平均使わなきゃ！って頭になれないのですが、どういう場合に相加・相乗平均を使うのでしょうか？

240 重要 例題 150 指数関数の最大・最小 (2) 開 y=9*+9-x-31+31 +2 について (1) t=3* +3 x とおいて,yをtの式で表せ。 (2)yの最小値と,そのときのxの値を求めよ。 CHART & SOLUTION astaxata の関数の最大・最小 おき換え [a*+αx=t] でもの関数へ 変域に注意 (1)x2+y=(x+y)²-2xy を利用して, 9 +9-x を tで表す。 基本 144 1 (2)tの変域は,30,30 であるから, (相加平均)≧(相乗平均) を利用して求めるこ とができる。 yはtの2次式で表され, 2次関数の最大・最小の問題に帰着。 (1) y=9*+9x-(31+x+31-x) +2 ここで 重要 4x-a の値の CHAL 指数 おき 2x=t 正の姿 から, 数学 9x+9-x=(3*)2+(3-x)2=(3+3-x)2-2・3・3-x a²+a² 2x= =(3+3-x)2-2=f2-2 31+x+31-x=3(3x+3-x) =3t よって y=t-2-3t+2 ① (2)30,3x>0 であるから,相加平均と相乗平均の大小 関係により積一定 和の最小(最大)を ゆえに y=t2-3t (1)の求めるときに使用 =(a+a12-200 4x= =(a+a12-2 ①C t> t> t> (相加平均) ≧ (相乗平均 ゆ a>0,6>0 のとき 3*+3-x=2√3% 3 = 2 すなわち t≧2 a+b ② 等号は,3=3* すなわち x = - x から x=0のとき成 り立つ。 2 a=b のとき等号成立 [1 ①から 32 ≧2 の範囲において, yは t=2 で最小値 -2をとる。 [2 y=f2-3t (t≧2) 2次式は基本形に変 [3 inf. t=3*+3* のグラ 3 t=3+3 22 t t=2のとき, ② から x = 0 よって, yは x=0で最小値-2 をとる。 PRACTICE 150Ⓡ y=22x+2-2x-3(2x+2m)| (1) 最小 g 301 t=3 F=3+ F

物理　分散の範囲です。 全体の流れは理解できるのですが、角COHがなぜα／2になるかがわかりません。（右ページ四行目） 教えてくれたら幸いです🙇‍♂️🙇‍♂️

Solution 23-1 フレネルの複プリズム 類題 設問 (1) で示した, 頂角がαの薄いプリズムでの偏角βが入射方向に依存しないとした三角プリズムを仮想すれば,スネ されたい。 解説の参照においても,あくまで方針のみを参考にし, 考察し、 自分で レンズの光学特性の説明にも用いることができる. 例題形式で作問したので奮ルの法則の観点からレンズでの屈折光と 動かすこと. 読んでいるだけでは何も自分のものにならない. 問題: Invitation Card23-1 類題 レンズの光学特性の導出 |等しくなる. このプリズムの頂角をαと すれば,∠COH = 1/2なので,直角三角 2 形COHに注目し, α h 図のように極めて薄い凸レンズによって作られる, 点Aの像Bについて考える sin == R レンズの曲率円 R C D 2点は光軸上にあり, 凸レンズからの距離をそれぞれa, b とする.特にAからレンズが薄ければ、この仮想三角プリズ じ,光軸から高さんのレンズ上の点Cで入射し,点Dで出射してBに至る光路に 注目する. レンズは極めて薄いためCD間の高度変化は無視できるものとして い。レンズの屈折率をn,曲率半径をとし,んはa,b,およびRに比べて 分小さい. 小さい角度zについては, sinz tanzzを用いてよい . ムも薄いので頂角αは極めて小さいので, H a h AF 2 R α= 2h R 仮想プリズム 図 1 凸レンズ 2 このプリズムの振れ角 β = (n-1)αに等しいレンズの振れ角は, 光経路 CAD h A B A→C→D→Bにおいて幾何的にも定まることから,βa, b, んで表し, レ ンズ公式の表式を得る. -光軸 b 点CおよびDでの屈折を薄い三角プリズムでの屈折に対応させることにより、 レンズ公式 : 1 11 +-= a b f 図2のように, ∠CAB=0, ∠DBA = と おく。 レンズは極めて薄いとあるから, AC 水 平距離はα, BD 水平距離はもとしてしまって 良いだろう(厳密にはレンズ中心からの距離). h h このとき, tan= E C B TD h ↓ a b→ + tan = に対応する式を見出し, このレンズの焦点距離の値を導け. =1/5であり、ん 2 a h に比べ極めて小さいことから,とは微小角なので, 近似的に, 0, h ・ミ a b 方針1 レンズ上の点CおよびDでの2度の屈折が三角プリズムでの屈折と見なせるよ うに仮想三角プリズムを作図し, その頂角αを幾何条件からレンズの曲率半径R と入射高度んで表す. と書ける.図2のように, 線分ACとBDを延長した交点をEとすれば、 三角形AEBの 角Eの外角がレンズの振れ角βであるため、 h = +- a h b =(n-1) 27 2h 1 1 2(n-1) + R ゆえにこのレンズの焦点距離は,f= R であることがわかる. a b R 2(n-1) 図1のように,レンズ左球面の曲率中心をO,点Cから光軸に下ろした垂線の足を とする.CおよびDにおいて接線(厳密には球面との接面)を引き、それらの交点を頂 1 1 2(n-1) R レンズ公式に対応する式:-+ = a b R 焦点距離 f= 2(n-1) 7

(1)の解答の1行目のan-5を分母分子に掛ける作業なのですが、an-5が0でないという確証はないのに欠けていいんですか？

重要 例題 39 分数型の漸化式 (2) 00000 α=1, an+1= an-9 an-5 で定められる数列{a} がある。 (1) bn= 1 an-3 とおくとき,n+1 を bn で表せ。 ただし, すべての自然数n に対して an≠3 である。 (2)一般項 αを求めよ。 CHART & SOLUTION 分数型の漸化式 おき換えを利用 (1) bx+1 bm で表すことが目標。 b=- のnをn+1とした 基本 33 an-3 bx+1= 1 an+1-3 からスタートする。 まずは, an+1= an-9 an-5 を用いて, bm+1 を で表し, 最終的にbm= を用いて b+1 を6m で表す。 an-3 解答 (1) ba+1= 1 an-5 an+1-3 an-9 -3 an-9-3(an-5) tan+1= an-9 a-5 an-5 an-5 1 an-5 =- 2-an-3 -2an+6 1. (a,-3)-2__1(1-23) an-3 2 11 + 2 an-3 ゆえに b₁= bn+1=b-12 = (2)-1/2 であるから よって a₁-3 bn=- 2 an=3+- 17 bn =3- 2 n Jei 分数式 an-5 a-3 (分子の次数) は (分母の次数) となるように変形する。 an-3 = b が現れた。 |=1 数列{6} は, 初項- 公差 12 等差数

これって公式ですか どう考えればいいのでしょうか、

にお 本 201 木 例題 203 不定積分の計算 (2) y0.n を自然数とする。 公式S(ax+b)dx=1 (ax+b)+1 a n+1 +C 00000 (Cは積分定数)を用いて,不定積分(x-1)(x+1)dx を求めよ。 CHART SOLUTION & (ax + b)" の不定積分 " ax+b) b)"dx=1. a n+1 を自然数とするとき, 次の公式が成り立つ (in 参照)。 +C (Cは積分定数) (ax+b)+1 基本 201 く。 319 (xa)(x-β)=(x-2)^{(x-a)+α-B}=(x-a)+1+(α-B)(x-α)" を利用して (x-1)(x+1)=(x-1)^{(x-1)+2}=(x-1)+2(x-1)^ と変形すると, (ax + b)” の不定積分の公式が使える。 2 fx-1)(x+1)dx=f(x-1)*((x-1)+2)dx =f{(x-1)+2(x-1)*}dx ( =f(x-1)*dx+2f(x-1)dx =(x-1)*+2.(x-1)) 4 +C 113 (x-1){3(x-1)+2.4)+C inf. (x-1)(x+1) =x-x-x+1 と展開して積分すると +x+C 4 3 2 左の答えの式を展開すると xx3x² 闘 4 3 2 +x- -+C 5 12 答えが異なるように見える が、Cは「任意の」定数な 71 ので、どちらも正解。 = (x-1)(x+5)+C (Cは積分定数) 21 12 INFORMATION 微分法の公式{ (ax +6)"}=n(ax+b)-1α (p.278 参照) において, nを n+1 におき換えると よって,a0 のとき (ax+b)n+1) n+1 したがって {(ax+b)"+1}'=(n+1)(ax+b)" a f(ax+b)dx=1, (ax + b).. =(ax+b)" +C ← を忘れずに! a n+1 a 特に,α=1のとき S(x+b)"dx = (x+6)=+ -+C (ともにCは積分定数) n+1 (A) PRACTICE 2036 上の例題の公式を用いて、 次の不定積分を求めよ。 (0) (2x+1)^dx (2) (t+1)(1-t) dt01 (1)