解答の書き方に自信がありません、、、この解答の書き方で大丈夫でしょうか？

97 微分法の不等式への応用(I) x>1のとき, x-2x>x²-3x+1となることを示せ. (S) (g)

AとPのZ座標が異なるためこれではxy平面上の影とは異なるのではないかと思ったのですが、なぜこれで良いのか教えて頂きたいです。よろしくお願いします。

II 点光源を A(1, 0, 3) においたとき,球 S : x2 + y2+(z-1)2=1 の xy 平面における影はどんな領域になるか. 《方針》 直線 AP がSと共有点をもつようなxy 平面上の点Pの全体が影で ある,ととらえることができます. (は)平面であるため、 K 《解答》 影に含まれる点をP(X, Y, 0) とおくと, 直線AP 上の任意の点Q は QQ=top 3-3t)大学 0= =tOP + (1-t)OA = (1 + (X-1)t, Yt, 3 - 3t) (tは実数) と表される. QがS上にあるとき,Sの方程式に代入して整理す ると {(X - 1)2 + Y2 + 912 + 2 (X - 7)t + 4 = 0 100 SとAP が共有点をもつ条件は,上式をみたす実数が存在することで,判 別式を D とおくと y²+9} ≥009 D=(X-7)2-4{(X-1)2 + Y2 + 9} ≧ 0 このようなP(X, Y, 0) の全体が求める影であり,上式を整理すると次の 円の周および内部である. (x + 1)2 №2 + 4 ≦1, z = 0 3 3. 本間の(1)では,OはOAのへの正射影だから, 5 OH = OA = √3(1, 0, √3) =√3(1,0,√3) とあっさり求められます29 フォローアップ 4.).

解説で|→のような記号は何を表しているのか分からないので教えて頂きたいです。

4. 逆関数についてきちんと説明しておきます。 77- 実数の区間 I で定義された関数 f の値域をJ (これも実数の部分集合) と すると,f:I→Jです.fの逆関数」とは,I∋x f(x) ∈ J の逆の対 応のことで,それをg とかくと,g:Jay → g(y)∈I で y = f(x) ⇔ x=g(y) がすべてのx∈I, y∈Jで成り立ちます.したがって, f(g(y))=y(yeJ), g(f(x))=x (x ∈I) (3) がつねに成り立ちます. 逆関数が存在するための条件はf: IJが1対 1であることで,微積分のためにはf は Iで増加関数または減少関数であ るときだけ(そのような区間だけで)を考えます. またf, gが微分可能の ときには,逆関数の導関数は③を微分すると得られます.例えば第1式をy で微分すると,合成関数の微分により f'(g(y))g(y)=1 :. g(y) = f'(g(y)) であり,f(x) = sinx,1=(-1)J=(-1,1) (それぞれ実数の開 区間) のときには sing(y) = y だから, 「のとき のとき 1 1 g'(y) = = 1 V1-12 cosg(y) V1 - sin2g(y) yをxにおきかえたものが3. 例 II (1) の答です. 逆関数は②により定義されるもので, ひらたくいえばy=f(x) を x につ いて解いたものです. これは普通は g(y) のように y の式になりますから, 独立変数を x にするという慣習によりy を x におきかえて g(x) とします. だからy = sinx の逆関数を独立変数 x で表すと x = siny を y について解 いたものになります. また, ②からわかるようにxy平面でのy=f(x) の グラフとx=g(y) のグラフは同じです.xとyを入れかえて y = g(x) と するので,そのグラフはy=f(x)のグラフと直線y=xについて対称にな るのです.ここでは, 逆関数については②, 同じことですが③が本質である ま ことを強調しておきます. なお, f-1 という記号があるので,もちろん使ってもいいのですが、 微積 分ではまぎらわしいので避けた方がよいでしょう. 実際 sinx は sinx の 逆関数なのか sin x の逆数なのか、わからなくなってしまいます。

数学2B 軌跡の問題です。 (3)で “ここで⑤よりX=-2+2/1+a^2” とありますが、なぜそうなるのでしょうか？💦

例題 114 軌跡 〔8〕･･･ 線分の中点の軌跡 (2)・・・(札 円 x2 +y2 = 1 ･･･ ① と直線 αax-y+2a=0 ･･･ ② について (2) αが (1) で求めた範囲で動くとき, その2交点を結ぶ線分の中点の座 (1)円 ①と直線 ② が異なる2点で交わるとき, αの値の範囲を求めよ。 をαを用いて表せ。 (3)(2)の中点の軌跡を求めよ。 (1) ①と直線 ② が異なる2点で交わる ① ② を連立した2次方程式 (*) の判別式DがD> 0 ①の中心と直線②の距離) (①の半径) どちらで考えるか? (2)素直に考えると・・・ X = 中点(X, aX-Y- したがっ ゆえに, (3)5 X=- よって ↑計算が繁雑 ⑥ の y 2次方程式(*)から2交点の座標を実際に求めて考える。 求めるものの言い換え 思考プロセス 2次方程式(*)の2解をα, βとする 解と係数の関係 中点のx座標 a+β 2 《ReAction 線分の中点の軌跡は,解と係数の関係を利用せよ 解 (1) ①,②より,yを消去して整理すると ⑦を Y2 = 0 よっ a a+β. ここ 2 ④よ 例題113) 軌跡 4 D>0より 3 ・④ であるから √3 例題 (1 + α²)x2 + 4ax + 4a² -1 = 0 ... ③ 94 ① ② は異なる2点で交わるから, ③の判別式をDと すると D > 0 D == (2a²)² - (1+ a²)(4a²-1) = −3a²+1 -3a²+1>0-6 円 ①の中心と直線 ② の 距離を d,円 ① の半径を r として,d<r から求 めることもできるが、(2) で交点の座標を考えるか ら,③を考える。 Play Back 8 参照 √3 Point (1) ② <a< 例題 130 (2) αが(1)で求めた範囲を動くと き,円 ①と直線②の2交点の x座標は,xの2次方程式 ③の 2つの実数解である。 3 3 1 <0 + (3 (2 (X, Y) 1 より ** ④ これらをα, β とすると,解と 係数の関係より (1) a<± としないよう -2-1a O B a+B= 4a² 1+ a2 とすると よって,円 ①と直線 ② の2交点の中点の座標を (X, Y) la+B= b a に注意する。 ■2次方程式 lax+bx+c=0の2つ の解をα,Bとすると 練習 11 198 laβ=

ベクトルの問題です。どなたか教えてください🙇‍♀️ xy平面上の座標原点にある点aが位置(5ベクトルi+3ベクトルj)cmにある点Bから受ける力ベクトルFの大きさが12である。 この時ベクトルFの向きを図示し、ベクトルFを成分表示せよ。

この問題の sin2θ=2sinθcosθとなり、 2sinθcosθ-cosθとなることまでは分かります.. その後の計算がわからないので解説してほしいです お願いしますm(_ _)m

J なる。 の範囲で sin 20-cos0 0 を解くと ただし, ウ V オ とする。 ウ ≤0≤ H オ カ と

（1）をゼロを分けずに計算した場合答えが出ませんでした。計算が間違っているのかこの方法ではできないのか教えて頂きたいです。

練習 xy平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。 ただし, nは 32 自然数とする。 (1)x≧0,y≧0,x+3y3n (1)領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線 y= 1 12x+nで囲まれた三角形の周および 3 内部である。 (2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x² YA n n-1 k (x=3n-3y) ここで, x+3y=3n とすると よって, 格子点の総数は ゆえに、直線 y=k(k=0, 1, ......, n) 上には, (3n-3k+1) 個の格子点が並ぶ。 x=3n-3y n n k-330+ (k) K=1 1 -x 0123 3n 3n-3k k=0 (3n-3k+1)=-32k+(n+1)Σ1 k=0 (1) k=0 (1) 1 k=Σk, D k=0 k=1 n =-3.1/12n(n+1)+(3n+1)(n+1)^1=1×(n+1) = 11/12 (n+1){-3n+2(3n+1)} =1/12 (n+1)(3n+2)(個)

（3）を解説とは異なる方法で解いたのですが答えが出ませんでした。なぜこの方法では解くことができないのか教えて頂きたいです。

+(s) EX ⑤ 57 空間に球面 S:x2+y2+z2-4z=0 と定点A(0, 1, 4) がある。 (1) 球面Sの中心Cの座標と半径を求めよ。 (2)直線AC と xy平面との交点Pの座標を求めよ。 (3)xy 平面上に点B(4, -1, 0) をとるとき,直線AB と球面 Sの共有点の座標を求めよ。 X3 (4) 直線AQ と球面 S が共有点をもつように点Qがxy平面上を動く。 このとき,点Qの動く 範囲を求めて,それを xy 平面上に図示せよ。 (1) 球面Sの方程式を変形すると [ 立命館大 ] x2+y2+(z-2) = 22 ...... ..... ① =80 よって, 球面Sの中心Cの座標は (0, 0, 2), 半径は2である。 (2) 原点をO とする。 点P は直線 AC 上にあるから, kを実数として,次のように表 される。 嵐

青線部がどうやってでてきたのか分かりません

|β-al 73 (1) x2+y2-4x-5=0を変形すると この円の中心は点 (2,0), 半径は3 x2+y2+2y-15=0 を変形すると (x-2)2+y2=32 x2+(y+1)2=42 この円の中心は点 (0, -1), 半径は4 よって,2円の中心間の距離 dは d=√(0-2)2+(−1−0)²=√5 4-3<d<4+3であるから, 2円は2点で交わる。 (2)kを定数として, 方程式 k(x2+y2-4x-5)+(x2 + y2+2y-15)=0 を考えると, ①の表す図形は2円の2つの交点を通る。 図形 ①が原点を通るとき ✓ 5k-150~ よって k=-3 これを ①に代入して整理すると x2+y2-6x-y=0 ①

この問題やこの解き方を使う問題について質問です。下線部を引いてあるように、なぜk≠-1の時円を表し、k=-1の時直線を表すと言えるのですか？なぜそうなるのか分からないので教えてほしいです！！

例題 96 2円の交点を通る図形 **** xy平面上の2つの円 C:x+y=25 C2: x2+y^-8x-6y+230 にっ いて,次の問いに答えよ. (1) C, C2 の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ. (2) C, C2 の2つの交点を通り, 点 (3, 1) を通る円の方程式を求めよ。 考え方 例題 79(p.157) の2直線の交点を通る直線群と 解答 同様に考えるとよい . 2円の位置関係をまず確認する. x°+ y°-8x -6y +23=0 より, (x-4)+(y-3)=2 2円の中心間の距離√4°+325と2円の半径 5.2よ り5-√25 < 5+√2 だから,この2円は異なる2 点で交わる. したがって, 求める方程式は,次のようにおける. (名城大改) 必ず2円の位置関係 を確認しておく。 (x2+y-8x-6y+23)+k(x+y-25)=0 (1) ① は k=-1 のとき,2円の交点を通る直線を表す. ・① よって,(x+y°-8x-6y+23)(x+y-25)=0よ り求める直線の方程式は, 4.x+3y-24=0 k=-1 のとき直線を キー1のとき円を表 す。 (2)①はキー1のとき,2円の交点を通る円 (C, を除く) を表す点 (3,1) を通るので, (32+12-8・3-6・1+23)+k(32+1-25)=0 5 3-15k=0 より k= C₁ よって,(x+y-8x-6y+23)+=(x+y^-25) = 0 1 -5 より,求める円の方程式は,xty-gx-5y+15=0 20 Focus 羽 (3, 1) 2円 x+y+lx+my+n=0.①, x+y+lx+m'y+n′=0…② が異なる2点で交わるとき, は, (x²+ y²+lx+my+n) + k (x² + y² + l' x + m'y+n') =0 ---③ 1のとき、2つの交点を通る円を表す =1のとき、2つの交点を通る直線を表す (ただし,③は円 ②を表せないので注意する)