解説の下線の直前の赤色の式が何故このような領域を取るのかがわかりません。

0, ②とも左辺, 右辺は0以上であるから, それぞれ 両辺を平方 した式と同値である。 重要 例題28 不等式を満たす点の存在範囲 (2) 複素数えが1z-1|slz-4|<2|z-1|を満たすとき, 点zが動く範囲をま 面上に図示せよ。 56 基本22 lz-1|<|z-4| 112-452|z-1| の である。 の 指針> |z-1|<|z-4|<2|z-1| → 平方した不等式を整理する方針で進める。 また,別解のように, z=x+yi (x, yは実数)として, x, yの不等式の表す領域として 考えてもよい。 数学IIで学んだ知識で解決できる。 解答 (a20, b20のとき asb→a<6° |z-1|s|z-4|S2|z-1|から |z-1fs|z-4<2"|z-1f (z-1)(-1)S(z-4)(z-4) のz-1fs|2-4Pから - 5 2 る+z 整理すると z+zS5 ata 2 はzの実部。 ゆえに 2 これは点 5 を通り,実軸に垂直な直線とその左側の部分を表 検討 については, P(z), A(1), B(4)とすると AP<BP |z-1|<|z-4 す。 のまた, |z-4P<4|z-1°から (z-4)(z-4)<4(z-1)(ミ-1)|よって, 点Pは2点A,Bを 整理すると 22w4 すなわち |2ド>2° 結ぶ線分の垂直二等分線およ びその左側の部分にある。 したがって |2|22 これは原点を中心とする半径2の円とそ の外部の領域を表す。 以上から,点zの動く範囲は 右図の斜 線部分 のようになる。 ただし,境界線を含む。 別解 z=x+yi (x, yは実数)とすると、 |2-1fslz-4fs21|z-1fから (x-1}+y°s(x-4}+y's4(x-1)'+y°} (x-1)°+y°s(x-4)+y?から x 0 P(z) の 0| A(1) B(4) X z-1=x-1+yi, 2-4=x-4+yi (x-4)+ys4(x-1)°+v?\ か 5 xS 2 よって 占 5_2 5_2 C

三角形の面積が6より、の文より下の式がわからないです、

HA aを実数とする3次方程式 z°ーaz+(8-2a)=0 の3つの解が複素数平面上において, 面 積6の三角形の頂点を表すとき, aの値を求めよ. 2 く考え方> まず, 3次方程式の左辺を因数分解する。 実数係数の3次方程式の3つの解が,複素数平面上において三角形の頂点を表すこと から,1つの実数解と 2つの虚数解をもつと考えられる。 2-az+(8-2a)30 の左辺を因数分解すると, (2+2){z?-2z+(4-a)}=0 &から0 よって, 2=-2 または ー2z+(4-a)=0 ① 実数係数の3次方程式の3つの解が, 複素数平面上におい +s-s8+ss て三角形の頂点を表すということは, 2次方程式①の2つの ①が実数解をもっとき, 3次 解は虚数解であるということである。 つまり, 2次方程式①の判別式をDとすると, イ-21 -2 0-- ーa-8-2a 0=-18 84 -8+2a 1-2 4-a |0 方程式の3つの解はすべて, 複素数平面上で実軸上の点と なり,三角形ができない。 =(-1)-1-(4-a)=a-3<0 したがって, このとき, 2次方程式①の解は, a<3 ……2 s3るで人 2=-(-1)±, D =1±/a-3=1±、3-ai 4

(2)で、|α+β+γのバー|=|α+β+γ|となるのはなぜですか？

ポイント整理」 アル 例題2 (日) 0) 01 ) la +BlP+la-Bl= 20all+IBl") が成り立つことを示せ。 (1) に+」 (i)a+8+yキ0のとき、|aB+Br + ya a+B+y の値を求めよ) 着眼) えよう。 まス,等式の条件|a|=|8|=1y=1をどのように活用すればよいかを考えよう。 (i)(i)を利用すればよい、 (1) la+Bl}+la-BlP 解答 =(a +B)(a+B)+(α-B)(a-B) slaf=aa a土B= α±B 10-8 = (a+B)(a+B)+(α-B)(a-B) 要ポーテ (αataB+aB+BB)+(aa-aB-aB+BB) = 2a a +28B 自然数= 2(aP+|B) (2) (i)|a|=lB|=lr|=1より aa=1, BB=1, yy=1 (証終) 単位門上 の Ia=aa=1 となる 1 Q, B. = Y Y これより る 図 1 1 1 =|a+B+y| コ B Y =la+B+rl ルー 1| =)==la+B+rl が成り立つ, (i)(i)より (証終) 00) | aB+ By+ya aBy =la+B+rl *(i)の式の左辺を通分した。 aB +By+ra a+B+y la|=|B|=|r|=1より =laBy| Z Z w |aB +By +ya a+B+r =la|| 8|| r|=1 (答)

26のやり方を教えてください。答えは2枚目です。

くレポート課題> FS動くす 26. 2+- が実数となるような点zは,どのような図形を描くか。 2

26のやり方を教えてください。答えは2枚目です。

くレポート課題> FS動くす 26. 2+- が実数となるような点zは,どのような図形を描くか。 2

どっちからどっちを引けばいいのか分かりません

117* 次の複素数 z1, Z2 が表す点をそれぞれP, Qとする。このとき, 半直線 PQ が実軸の正の向きとなす角を求めよ。 p.6€ 00 (1) 21 =2-2i, 22 =1-3i (2) 2 =5-/3i, 22 = 3+V3i

この問題の考え方がよく分かりません。 詳しく説明して頂けるとありがたいです🙇‍♀️

直線に関する点の対称移動 例題 3 複素数平面上で, 0 を表す点を 0, α=cos0+isin0の表す点をA とする。点々を直線 OA に関して対称移動した点を wとするとき, wをαとえで表せ。 考え方 点2を次の順で移動すればよい。 ① 原点を中心として -0だけ回転(直線 OA が実軸に重なる) 2 実軸に関して対称移動 (共役な複素数をとる) 3 原点を中心として0だけ回転(直線 OA がもとの位置に戻る) 解答 α=cos(10)+isin(-0) であるから, 点々を原点を 中心として -0だけ回転した点を表す複素数は 2。 QZ αz を実軸に関して対称移動した点を表す複素数は A(a) QZ すなわち UZ 点w は,点 azを原点を中心として0だけ回転した 点であるから w=Q(az)=«°z ミ

[2]のゆえにの式からよっての式で移項しているのは分かりますが、移項した後-がつかないのはなぜですか？

海表数とする。0でない複素数dに対して, 方程式 dz(z+1)+ialan1)を満たす点zは, EX 27 複素数平面上でどのような図形を描くか。 【類九州大) と成り立つ。 da(z+1)=dz(z+1)から ーり立 s(d-d)zz+dz-az=0 …… の [ld=d, すなわちdが実数のとき,① は d(zー)30 そ0のzz の係数が0か 0でないかで場合分け。 dキ0 であるから =2 よって,点々は実軸上にある。 [2] dキd,すなわちdが虚数のとき, ①の両辺をd-dで割る そ「dが実数でない」こ とと同じ。 たがって-,rd argd 2ス+ テマ=0 d-d と =ミー d-d 2) arg ゆえに (2nd d =0 の d そzztaz-Bz ス+ Cntd-a. d d-d d-d さd-d =(-B)(z+a)+aB d d lod d [+【+←d-d=-(d-a) よって2 d-d d-d d-d d-d S- +s d ゆえに 2ー d-d ZP,OPa |2 |2 d そ2z=|2f ニ d-d d OP d 1博 も。 したがって 1-< (←円の方程式 |z-a|=r る d-d d-d を先 の形。 sる [1], [2] から,点zの描く図形は ご の土実代証共の年園 dが実数のとき 実軸, 36 ndが虚数のときら点 d を中心とする半径 d m の円 d-d d-d

赤線部がどういうことなのか理解できません。 教えてください。

ここで, F(a)=e- ee+pl dx …(a) の複素積分については まずh(z) = e-p?(z: 複素数)とおこう。 この複素関数 h(z) は, 全複素数平面で 正則(微分可能)な関数なので, コーシ ーの積分定理より,右図のような4つ の積分路 C1, C2, C3, Caによる1周線 積分の結果は0 となる。つまり, a 2p C3 Ca AC。 0|c. -R R x (複素数平面) =0 ……(b) となる。 Ic。 ここで,R→0のとき, h(z)dz→0,. h(z) -LAc)dz=h(c)dz すなわち, -*+ dx= R R -px? dx となる。 R -R ここで,さらにR→8とすると, 「 ax= dx ……e) となる。 2p (c)を(a)に代入すると, フーリエ変換 F(a) が a? Sem dx = a? F(a)= 4p e I 4p e となって,求まるんだね。 三 P131 参照 p *複素関数の正則条件” や “コーシーの積分定理" 等をご存知ない方には、 「複素関数キャンパス · ゼミ」 (マセマ)で学習されることを勧める。 ● フーリエ変換とフーリエ逆変換の意味を押さえよう! これまで,さまざまな関教 f(o

丸で囲ってある部分の展開方法を教えて下さい！

56 OOOO0 重要例題 33 不等式の表す領域 実数a, bを係数とするxの2次方程式 x+ax+b=0 が虚数解zをもつ。 (1) 6-as1 を満たすとき、 点zの存在範囲を複素数平面上に図示せよ。 で定まる点wの存在範 22 (2) 点をが(1)で求めた存在範囲を動くとき, w3 【類電通大) 基本 24,27 囲を複素数平面上に図示せよ。 CHART SOLUTION 複素数平面上の領域の問題 a-alSr (r>0) 点αを中心とする半径rの円周および内部 a-al2r (r>0) 点々を中心とする半径rの円周および外部 (1) zの共役複素数zも方程式の解である。 解と係数の関係から, a, あを2, 2 を用いて表し、 不等式に代入する。 (2) 2=(wの式)で表し、 (1)で求めたzの不等式に代入する。 解答 (1) a, bは実数であるから, zの共役複素数zも2次方程式 +ax+b=0 の解である。 12 1+2 解と係数の関係から b-aS1 に代入すると 22+z+z$1 よって ((z+1)(z+1)<2すなわち (z+1)(z+1)s2 土z=ーa,zz=b -1-V2 -2 ゆえに z+IS2 すなわち 1z+1|<V2 よって, 点zの存在範囲は, 右の図の斜線部分。 ただし, z は虚数であるから, 実軸上の点を含まない。 境界線は, 実軸との交点を除いて他は含む。 (2) 20=- から 20キ0 であるから 02=1 =2 W lz+1|s/2 に代入して +1s2 1+2 V2 W 11+w|<、2| すなわち |1+w}<2|w° (20+1)(か+1)ハ2ww 0w- w0+1w2 すなわち (w-1)(0-1)22 |0-122 すなわち |w-12/2 ゆえに 1-/2|0 1 E よって ゆえに -2 よって したがって, 点y の存在範囲は, 右の図の斜線部分。ただし. wは虚数であるから, 軸上の点を含まない。 境界線は, 実軸との交点を除いて他は含む。 ゆ す キー