213. [3]でaは正の定数だから0<aであることは当然なのに 0<3a/4<1と書いているのは「すなわち」の後で aがどんな正の定数であっても[1],[2],[3]のいずれかに 属するためですか？？

とにかく文 がらくになるよう とする。 平方の定理 数の変域を確認 ■柱の体積) 底面積)×(高さ) をVで表す。 0.は変域に含ま ないから、茨城の に対するVの値は 今後、本書の 2/ の方針で書く。 2x(a²- 基本例題213 係数に文字を含む3次関数の最大・最小 aを正の定数とする。3次関数f(x)=x-2ax+αx 0≦x≦1における最大 値M (α) を求めよ。 [類 立命館大] 基本 211 重要 214 指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211 と同じ要領で, 極値と区間の端 での関数の値を比べて最大値を決定する。 (s) f(x)の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のようにな る(原点を通る)。ここで, x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を満たす (これをとする) があることに注意が必要。 よって、1/3 ( 1 <a) 区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場 a <α 3 合分けを行う。 解答 f'(x)=3x²-4ax+a² =(3x-a)(x-a) f'(x)=0 とすると x= a 3 ゆえに " ここで, x=1/3以外にf(x)= 4 a>0であるから, f(x) の増減表f(x) は右のようになる。 練習 1213 a x (*) 4 f'(x) + 3 1≦a≦3のとき 430 a |極大] 4 5a³ 27 を満たすxの値を求めると 4 f(x)=27a²³5x³-2ax² + a²x=27a²=0 αから a |=0 x=1/04 であるから (x - ²)²(x - 3/3-a)= したがって、f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (α) は [1] 1</03 すなわちa>3のとき te 3 [2] 1/23 215/1/31 すなわち of sa≦3のとき [3] 0</1/23a <1 すなわち0<a<2のとき 以上から0<a<2,3<a のとき 1: aは正の定数とする。 関数f(x)=- ける最小値m(a) を求めよ。 a 0 極小 3 +: x=- x3 3 3 M(a)=f(1) M(a)=a²-2a+1 M(a)= 24/7a²³ phi M(a)=) M(a)=f(1) a 5+2ax²-2a²x f(x)=x(x2-2ax+α²) =x(x-a)^ から O (3)= (-3/a)² = 27ª² [1] YA [2] y Q3 O YA [3] y α3 -a²-2a+1 I -最大 II 1 a 3 3 a ax 1 a a²-2a+1 O a 3 注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y=27d" は、x=1/3の点において接するから、f(x)は (x-)- で割り切れる。このことを利用して因数分解している。 最大! a 4 a x ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2にお p.344 EX 138 331 6章 3 最大値・最小値、方程式・不等式 37

210. ここでのf'(x)=0が異なる3つの実数解をもたない というのは2つもつor1つもつor1つももたない のいずれかである、ということですよね？？ また「f'(x)=0の実数解の前後で」とはどういう意味ですか？ 記述で書かなくてもいいですか？？ [1]は重解また... Read More

00000 重要 例題 2104次関数が極大値をもたない条件 関数f(x)=x-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき,定数kの値の範囲を求め よ。 指針 4次関数f(x)がx=pで極大値をもつ 解答 x=の前後で3次関数f'(x) の符号が正から負に変わる であるから,f'(x) の符号が「正から負に変わらない」条件を考 える。3次関数 f'(x) のグラフとx軸の上下関係をイメージす るとよい。なお,解答の右横の図はy=x(x2-6x+9k) のグラフである。 ƒ'(x)=4x³—24x²+36kx=4x(x² − 6x+9k) f(x) が極大値をもたないための条件は、 f'(x)=0 の実数解の ① 前後で f'(x) の符号が正から負に変わらないことである。 このことは,f'(x)のxの係数は正であるから, 3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもたないことと同じである。 f'(x)=0 とすると x = 0 または x2-6x+9k=0 よって k≧1 [2]x2-6x+9k=0にx=0を代入すると したがって k=0,k≧1 [2]x=0を解にもつ 1-k≤0 ① 上部ろく[福島 よって、求める条件は, x2-6x+9k=0が [1] 重解または虚数解をもつ [1] x2-6x+9k=0の判別式をDとすると D≦08-01- D=(-3)²-9k=9(1-k) であるから 144864 Alba-0)-0 k=0 383 k²1 YA k> 重解ともう1つの実数 x f'(x) + 極大) f(x) 基本203,207 De=(no 75 k=0 3 [参考 [ 4 次関数の極値とグラフ]一般に, 4 次関数f(x) [4 次の係数は正] に対し, 206307878 は3次方程式で, 少なくとも1つの実数解をもつ。 その実数解をαとし、他の2つの解が実 -AVS-84- ( f(x)=0 数であれば B, γとする。 この解は次の4つの場合がある (4次の係数が負のときは、図の上下が 逆になり,極大と極小が入れ替わる)。 異なる3実数解 ② とする) gra, b p /k=1 0 1313/07 " € 01

209. これってどこが間違ってますか？？

である。 こなる。 無値をもつよ 囲を求めて 例題 207 =2は、関数 の和が2であ 重要 例題 209 3 次関数の極大値と極小値の差 | 関数f(x)=x-6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき, 定数αの 値を求めよ。 |指針>前ページの例題と同じ方針で進める。 x=α で極大値, x=βで極小値をとるとすると 極大値と極小値の差が 4 ⇔f(α)-f(B)=4 f(a), f(3) を実際に求めるのは面倒なので, f(a) -f (B) を α-B, a+β,αB で表し, 更に (α-B)'=(a+B)-4cβ を利用することで,α+ß,αβ のみで表すことができる。 TERO (A0+xa-x Raythiel 答 f'(x)=3x²-12x+3a 数 のときに大竹をよ f(x) は極大値と極小値をとるから, 2次方程式f'(x)=0 すな わち3x²-12x+3a = 0 ① は異なる2つの実数解 α, β (α<β) をもつ。 よって, ① の判別式をDとすると D>0 D KETE 2=( =(-6)-3-(3a)=9(4-α)であるから 4-a>0 0090 =(a−ß){(a²+aß+ß²)−6(a+ß)+3a} 136 [38\ a. =(a-β){(a+β)2-aß-6(a+β)+3a} α+B=4, aβ=a ① で, 解と係数の関係より よって (a-β)²=(a+β)²-4aß=4²-4・a=4(4-α) x a B したがって a<4 f'(x) + 0 - 0 + f(x) の x の係数が正であるから, f(x) は x=αで極大,x=B f(x) 極大 極小 > で極小となる。 CƏSÁŽNE <3JR$ 0=> [s] f(a)-f(B)=(α3-β3)-6(α²-B2)+3a(α-β)3次関数が極値をもつとき 極大値> 極小値 α<Bより,α-β<0であるから ゆえに a-B=-2√4-a f(a)-f(B)=-2√4-a (4-a-6・4+3a) X=1 (30))=-2√/4-a{-2(4-a)} HOCSON = 4( √4-a)³ f(a)−f(B)=4であるから すなわち (√4-a)³=1 ゆえに, 4-α=1から 4(√4-a)³=4 よって a=3 √4-a=1 これは②を満たす。 今回は差を考えるので, α<βと定める。 基本208 ② から 4-a> よって √4-a>0 ◄4-a=(√√4-a)² 検討 f(α) -f (B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 f(a)-f(3) = f(x)dx=3(x-a)(x-3)dx=3[ - = (a-B)"} これにα-β=2√4-α を代入して, f(a) -f (B)=4(√4-α) となる。 . <√4-α=1 の両辺を2乗し て解く。 -p.352 基本例題 230 (1) の公式を利用。 =で極大値, x=βで極小値をとるとき, 3. E 3

207.3 Q.極値を持たないためにはどうすればいいか？ →単調増加または単調減少のグラフなら極値を持たない →つまりf'(x)の符号が変わらない →つまり実数解を1つだけ持つか1つも持たないとき →つまりD=0またはD<0 →D≦0 と記述の方針は理解できていると思うので... Read More

たない。 に変わる。 の値をもとの = (変数4個で笑 であるから, る)。 う, 十分条件でお 確認。 の符号の変化を、現 示している。 基本例題207 3次関数が極値をもつ条件, もたない条件 ①①①① (1) 関数f(x)=x2+ax2が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。 (2) 関数f(x)=x6x2+6axが極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲 を求めよ。 (3) 関数f(x)=x+ax²+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。 ただし, aは定数とする。 AGUS 指針3次関数f(x) が 極値をもつ ⇔f'(x) の符号が変わる点がある ⇔f'(x)=0 が 異なる2つの実数解をもつ ⇔f'(x)=0 の判別式 D> 0 から、上の例で の関係により 解答 (1) f'(x)=3x2+2ax f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x)=0が異なる2つの実 数解をもつことである。 3x2+2ax=0 の判別式をDとする -=a²-3.0=a² と D>0 ここで ゆえに, d²>0 から a = 0 D 154 (2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x2-4x+2a) ロ)+(8+ f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0が異 なる2つの実数解をもつことである。 Altells よって, x2-4x+2a=0の判別式をDとすると 1=(-2)^-1・2a=4-2a から, 4-2a>0より (3) f'(x)=3x2+2ax+1 f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号 が変わらないことである。ゆえに,f'(x) = 0 すなわち 3x2+2ax+1=0 実数解をもたない。 よって、①の判別式をDとすると ここで ゆえに (a+√3)(a-√3)≦0 ...... 4 D≤0 D=q²-3・1=(a+√3)(a-√3) JERS 極大 y=f(x) x=α ① は実数解を1つだけもつかまたは 4/4-a)=4 £57 ...... 基本 201206 重要 210 778 の係数)>0のとき IV x=B a 極小 3次関数が極値をもつとき, 極大値と極小値を1つずつ もつ。 x(3x+2a)=0 から x=0, a≠0 よって としてもよい。 (3) 2 3 (D>0 ) · |- · - (- / -) - a<2 D=0 (*)CO DO a y=f'(x)) y=f'(x) / y=f'(x) GREY & | (*) D<0は誤り。 x 32 E 3 木 1

207.1 記述はこれでも大丈夫ですか？？

基本 例題 2073次関数が極値をもつ条件,もたない条件 関数f(x)=x^3+ax²が極値をもつとき,定数aの満たすべき条件を求めよ。 (2) 関数f(x)=x^-6x+6ax が極大値と極小値をもつような定数aの値の範囲 を求めよ。 あるから、 18. 十分条件 め (3) 関数f(x)=x3+ax2+x+1が極値をもたないための必要十分条件を求めよ。 ただし, aは定数とする。 基本 201206 重要 210 SIST 指針 3次関数f(x) が 極値をもつ ⇔f'(x) の符号が変わる点がある ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ ⇔f'(x)=0の判別式 D>0 符号の変化 している。 解答 (1) f'(x)=3x2+2ax f(x) が極値をもつための条件は、 f'(x) = 0 が異なる2つの実 数解をもつことである。 3x2+2ax=0 の判別式をDとする D=a²-3·0=a² と ゆえに, d²>0 から このD>OTE ここで本 a=0 (2) f'(x)=3x²-12x+6a=3(x²-4x+2a)(+*o)n+(²8+ f(x) が極大値と極小値をもつための条件は,f'(x)=0 が異 なる2つの実数解をもつことである。 よって, x2-4x+2a=0 の判別式をDとすると D=(-2)^-1・2a=4-2aから, 4-2a>0より 極大 x=α 4 練習 3207 (3) f'(x)=3x2+2ax+1 f(x) が極値をもたないための必要十分条件は,f'(x) の符号 が変わらないことである。 ゆえに,f'(x)=0 すなわち 3x²+2ax+1=0 ① は実数解を1つだけもつかまたは 4(√4-a) 実数解をもたない。から よって、①の判別式をDとすると ここで D=q²-3.1=(a+√3)(a-√3) ゆえに (a+√3)(a-√3)=0 D≤0...... D>0 a <2 の係数) >0のとき y=f(x) | x=B₁ 極小 3次関数が極値をもつとき, 極大値と極小値を1つずつ もつ。 x(3x+2a)=0 から y=f'(x) / 心 Bx CONS 2 x=0, (3) よって a≠0 としてもよい。 D=0 . (*) XD<0 a y=f'(x) y=f'(x) / x x よって一≦a≦√(*)D<0は誤り。 (1) 関数f(x)=4.x3-3(2a+1)x² +6ax が極大値と極小値をもつとき,定数aが 満たすべき条件を求めよ。 [類 工学院大 ] (2) 関数f(x)=x3+ax²+(3a-6)x+5が極値をもつような定数aの値の範囲を [類 名古屋大 ] 323 +1 が常に単調に増加するような定数aの値の範 必学類 千葉工大] 6章 36 関数の増減と極大・極小

青丸をつけた部分の プラスマイナスがどのようにしてわかるのか説明お願いします🙏🙏

(1) f(x) を x 2+2x-1で割ったときの商と余りを求めよ。 all sta+h +5 (2) f(x) の極値を求めよ。 101 P 426 次の関数の極値を求めよ。 また, そのグラフをかけ。 3 √(1) y = 12/2/2x4+ 2x3-6x2+5 (2) y=x4+4x √(3) y=-3x+16x3-18x2 (4) y=x^-6x²-8x-3 S □ 427 関数 f(x)=x-3x2+ax+bがx=3で極小値-26をとるように、 定数。 bの値を定めよ。 また, 極大値を求めよ。

写真の問題は、f(a)×f(0)をやる前に極値を持つことを増減表、もしくはf’(t)のDが0より大きいことを用いて示す必要ってないんですか？？

例題225 3本の接線が引けるための条件(2) 点P(a,b) から曲線 y=x2x に異なる3本の接線が引けるとき,点 P(α, b) の存在範囲を図示せよ. 考え方 曲線上の点(t, -2t) における接線の方程式に(a,b) を代入した3次方程式が,異 なる3つの実数解をもつための条件をα bに関する不等式で表す. |解答 y=x-2x より,y'=3x2-2 SA したがって, 曲線上の点(t, -2t) における接線の方程 式は、 y-(t³-2t)=(3t² − 2)(x −t) つまり, y=(3t2-2)x-2t3 この直線が点(a,b) を通るので, b=(3t²-2) a 2t³ ANAL り 2t3-3at2+2a+b=0 - b=0...... tの方程式①が異なる3つの実数解をもつような(a,b) ←話を変換する の条件を求める. f(t)=2t3-3at2+2a+6 とおくと, STARS f'(t)=6t2-6at=6t(t-a) INSC f'(t)=0 とすると, t=0, a したがって, ① が異なる3つの実数解をもつのは, y=f(t) のグラフがt軸と異なる3点で交わるときより, a≠0かつf(0)・f(a)<0 336E2 f(0) f(a)=(2a+b)(-a²+2a+b) <0より, |2a+b<0 [2a+b>0 1-a³+2a+b<0 [b>-2a つまり, b<a³-2a よって、求める領域は, 450 64 右の図の斜線部分で, 界線は含まない. または または Wa 業式 -a³+2a+b>0 [b<-2a b>a³-2a ba b=a³-2al Nau はグラフで考えよ √2 a b=-2a a>0 のとき ƒ(0)>0 A a a f(a)<0 a < 0 のとき f(a)>0 ! XC x f(0)<0 f(a) と f(0) が異符 号 2015 a=0のとき, f(0) f(a) ={f(0)}20 より, α = 0 は f(0) f(a)<0に含ま れている. 原点で接する.

オリスタ138(1) なぜマーカー部分のような場合分けになるんですか？ [1]の増減表のf'(x)の＋、ーの考え方を教えてください。 あと、なぜ偶関数と分かるんですか？

138a, bを実数とする。 f(x)=2√1+x-ax2 とし, x についての方程式 f(x) = b を考える。 (1) a>0 のとき, 関数f(x) の最大値を求めよ。 (2) 方程式 f(x) = 6 の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点 (α, b) の 範囲を図示せよ。 [16 金沢大〕

この問題なんですが、解いたら写真のようになりました。このグラフはどのようになるのか教えて頂きたいです。

関数 f(x)=x-3x2 + 3x が極値をもつかどうか調べよ。 応用 S 4 次関数の 2

高校数学微分の問題です。 線を引いてあるところが、どういうことか分かりません。x=0のときの傾きからなんでcが分かるの？って感じなんです、、、 解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️(~_~;)

数学Ⅱ 第6章 微分法と積分法 第2節問題 [710高等学校 数学Ⅱ 問題13] 3次関数y=ax+bx2 + cx + d のグラフが右の図のように なるとき, a,b,c, d の値の符号をそれぞれ求めよ。 ただ し、図中の黒丸は極値をとる点を表している。 (解説) f(x)=ax+bx2 + cx + d とする。 このとき f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax+ グラフとy軸の交点のy座標が正であるから すなわち ƒ(0)>0 d>0 また,グラフよりy=f(x)のx=0 における接線の傾きは正であるから f'(0) >0 すなわち c>0 さらに,グラフよりf(x) は極値を2つもち, 極値をとるxの値の符号はどちらも正であ る。 よって, 方程式 f'(x) = 0 を満たす実数xは2つあり,それらを α, β(0<α <β) とする と, グラフより f(x) の増減表は次のようになる。 x a f'(x) + 0 f(x) B 20 + 6 \2 62 +c 3a 3a 増減表とα>0,β>0より, y=f'(x) のグラフは右の図 のような, 下に凸の放物線となるから a>0 y ん x 放物線y=f'(x) の軸は直線x=- で,y軸の右側に b 3a y y=f'(x) 12 0 α B あるから b 3a ->0 ここでa>0であるから b<0 以上より, それぞれの符号は α:正, 6: 負,c:正, d: 正 x