数学 軌跡 反転 この問題を複素数を利用して解く方法を教えてください

184 重要 例題 116 反転 OP・OQ=(一定) の軌跡 00000 |xy平面の原点を0とする。 xy 平面上の0と異なる点Pに対し, 直線 OP 上の 点Qを,次の条件 (A), (B) を満たすようにとる。 (A) OP・OQ=4 (B) Q は, 0 に関してPと同じ側にある。 点Pが直線x=1上を動くとき,点Qの軌跡を求めて、図示せよ。 〔類 大阪市大 指針 求めるのは、点Pに連動して動く点Qの軌跡。 基本110 連動形の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yの関係式を導く P(X, Y), Q(x, y) とすると, 2点P, Qの関係は 点Qが半直線 OP 上にある⇔ X = tx, Y = ty となる正の実数 tが存在する このことと条件(A) から, tを消去して,X,Yを x, yの式で表す。 そして、点Pに関 する条件 X=1より, x, yの関係式が得られる。 なお, 除外点に注意。 点 Q の座標を (x, y) とし, 点Pの座標を (X, Y) とする。 解答 Qは直線OP 上の点であるから Q(x,y) P(X, Y) X=tx, Y=ty (tは実数) ただし、点Pは原点と異なるから t=0, (x, y)≠(0, 0) 更に, (B) から, t>0である。 x2+y2 参考事項 反転 表す ※定点を中心とする半径r (r>0) の円がある。 点を通る直 に, 0と異なる点P をとり, 半直線OP 上に点P' を OP・OP'= によって定める。 このとき,点Pに点P' を対応させることを といい,点を反転の中心という。 また、点Pが図形F上にあるとき, 点P' が描く図形F' をF 反形という。円や直線の反転に関しては,次のような性質が (1)定点 0 を通らない直線の反形は, 0を通る円にな (2) 定点を通る円の反形は, 0 を通らない直線にな (3) 定点を通らない円の反形は, 0 を通らない円に [(1)の証明] O を通らない直線を l とする。 0から lに下ろした垂線と l との交点をP。 とし, Poを反転した 点をP とする。 また l 上のP。 以外の点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 OPOP=OPOP' より, OP: OP'=OP : OP であるから、 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しくなり OPPOP'P よって ∠OP'P'′ = ∠OPP=90° したがって, P'は線分 OP を直径とする円を描く。 ただし, OP'>0であるから, 点0は除く。 [(2) の証明] 線分 OP。 が円の直径となるように、点Po をとり, P 反転した点をP とする。 また, Po以外の点Pを反転した点を (A)から √x2+y2√(tx)2+(ty)2=4 ゆえに t(x2+y2)=4 よって t= 4 x2+ye したがって X= 4x x2+y2. 4y Y= tを消去する。 とすると, (1) と同様にして 4x 点Pは直線x=1上を動くから =1 x2+y2 ゆえに y X=1 に X= 代入する。 4x x2+y2 を 線分OP が直径であるから よって (x-2)'+y2=4 2- したがって,求める軌跡は 中心が点 (2,0), 半径が20円。 0 12 14 x ただし, (x,y)≠(0,0)である から, 原点は除く。 -2- 図示すると、 右図のようになる。 x2+y2-4x=0 注意 本間は、反転の問題 である。 反転については, 次ページ参照。 OPPOP'P ∠OPP=90° よって,∠OP'P'=90°から、点P'は,点P を通り OPに垂 な直線上を動く。 [ [3] の証明] 右の図のように、線分 P.P が円の直径 となるように、点Po, P1 をとり, Po, P, を反転し た点をそれぞれP, P' とする。 また, Po, P, とは異なる, 0 を通る直線と円との 交点をPとし,Pを反転した点をP'とする。 (1)と同様にして AOP POO PC 0 Po

高校3年の、専門物理の問題です。 力のモーメントの利用で、どなたか詳しく説明して欲しいです🙇‍♀️

C 5 10 10 1 剛体のつりあい (p.29~31) 長さl[m〕,質量m[kg] の一様な棒AB がある。 棒の A端をちょうつがいで壁につけ, B端は軽い糸で鉛直 な壁の1点Cに結びつけて, 棒が水平と30° をなすよ うに固定した。 このとき, B, Cを結ぶ糸は水平でつ りあっている。重力加速度の大きさを g[m/s2] とする。 (1) 糸が棒を引く力の大きさ T[N] を求めよ。 (2) ちょうつがいから棒にはたらく力の水平成分の大 きさ FA[N] と鉛直成分の大きさ FB [N] を求めよ。 糸 30° A B

なんで、 f’(0)=0 f’(2)=0 になるのか、 c=0はどうやったら出てくるのか、 a,bの値の求め方も分かりません。

340 基本 例 2133次関数の極値の条件から関数決定 00000 3次関数f(x)=ax+bx+cx+d がx=0 で極大値2をとり, x=2で極小値 6 をとるとき, 定数a, b, c, d の値を求めよ。 [近畿大] 基本 20 指針 f(x) がx=αで極値をとる f'(α) =0 であるが,この逆は成り立たない。 よって、題意が成り立つための必要十分条件は (A) x=0で極大値 2 → f(0)=2, f'(0)=0 x=2で極小値-6f(2)=-6, f'(2) = 0 (B) x=0の前後でf'(x) が正から負に, x=2の前後でf'(x) が負から正に変わる。 を同時に満たすことである。 ここでは,必要条件(A) から, まず a, b, c, d の値を求め, 逆に,これらの値をもと の関数に代入し,増減表から題意の条件を満たす(十分条件)ことを確かめる。 f'(x)=3ax2+2bx+c 基本 例 (1) 関数 囲を (2)関 ただ 指針 解答 x=0で極大値2をとるから f(0)=2, f'(0)=0 x=2で極小値-6をとるから f(2)=-6, f'(2)=0 よって d=2,c=0, (*) 8a+46+2c+d=-6, 12a+4b+c=0 これを解いて a=2,b=-6,c=0,d=2 逆に,このとき f(x)=2x3-6x2+2 f'(x) =0 とすると ①, f'(x)=6x2-12x=6x(x-2) x ... x=0, 2 f'(x) + 0-0 ... 20 関数 ① の増減表は右のよ うになり、条件を満たす。 したがって f(x) 7 極大 2 7 -6 a=2,b=-6,c=0,d=2 必要条件(変数4個で条 件式が4個であるから、 係数は決定する)。 |極小 | ... + 指針_ の方針。 (*)の方程式から求めた 条件では,x=0,2の前 後でf'(x) の符号が変化 するか,つまり、実際に 極値をとるかはわからな い。 実際に増減表を作り、 極値の条件が満たされる ことを確かめる (十分条 件の確認)。 検討 極値をとるxの値 では, 2次方程式3ax2+2bx+c=0の解がx=0, 2である。 したがって, 解と係数の関係 3次関数f(x) の極値をとるxの値は, 2次方程式f'(x)=0の実数解であるから, 上の例題 により 0+2=- 2b 3a' 0.2=L 3a ゆえに b=-3a,c=0 このように, 極値をとるxの値が2つ与えられたときには、 解と係数の関係を利用すると, 文字定数の値や関係式を導くことができる。 練習 3次関数f(x)=ax+bx+cx+dはx=1, x=3 で極値をとる ② 213 極大値は2で, 極小値は? また、その 解答

1番、3番の前半、4、5が分かりません。 自分で調べながらやっているつもりなのですが、式の関係性などが全然掴めず、解けません。過程と共に教えて欲しいです。

確認問題 #01 ドブロイ波長 1.ド・ブロイ波長は、運動量p=mv の物質が持つ波 (物質波) の波長であり、 入=h/p=h/mv と表される。ここで、 hはプランク定数、mは質量、 v は速度である。従って、運動エネル ギーEの粒子についてのド・ブロイ波長はと表される。 電子について、波長入を À 単位、 運動エネルギーをV単位で表すとき、 [Å] 150.4 == と書けることを示しなさい。 プランク [E[ev] 定数は6.626×10-34 [Js]、 電子の質量は9.109 ×10-31 [kg] 1 [eV] = 1.602 × 10-19 [J]、1[Å] = 1 × 10-10 [m] とする。 2. 運動エネルギーが50eV の電子のド・ブロイ波長を求めなさい。 3. 光の粒子性を表す光量子仮説での式により、光子エネルギーE=hv と光の波長 入の関係式 がE [eV] = 1240/2 [nm] と書けることを示しなさい。 また、波長が400nmの光について 光子エネルギーをV単位で求めなさい。 4. Ni 単結晶表面での最近接原子間距離は 0.249mm である。 電子のエネルギーが100eV の とき、n (回折の次数) がいくつまでの回折スポットが出現するか述べなさい。 また、 それ ぞれの回折角度を求めなさい。 同様に、電子のエネルギーが150eVのとき、 nがいくつま での回折スポットが出現するかと、それぞれの回折角度を求めなさい。 be 101 be 入 02 d d sine₁ =λ d sin0222 5. 運動エネルギーが100eV の電子をある金属の結晶表面に対して垂直に照射したとき、 表 面の法線方向から 25.2° と 58.3° の方向に回折スポットが観測された。 これらが、 1次お よび2次の回折スポットに対応する場合、この金属の原子間距離を A単位で求めなさい。

この問題が分からないのでおしえてほしいです。

大問6 次の各問に答えなさい。 [1]0が鈍角で、sine=2のときの、cose の値を求めたい。 (1) その際に利用する関係式を、 下記の選択肢より選べ。 (2) (1) で選択した関係式を用いて cose の値を求めると、cose() 0 だ から、cose = ( )となる。 空欄に当てはまる不等号や値を求めよ。 [2]〔1〕に引き続き、母が鈍角でsine=2のときの、tane の値を求めたい。 (1) 利用する関係式を、下記の選択肢より選べ。 (2) (1)で選択した関係式を用いて tan 0 の値を求めよ。 選択肢 a b C sinA sinB sinC a2=b2+c2+2bc cosA b2=c2+a2+2ca cosB c2=a2+b2+2ab cosC tan 0 =. sin e cos e sin2日 + cos20=1 [3]eが鈍角で、sine=2のとき、cose の値を求めよ。 4 3 [4][3]に引き続き、 0が鈍角で sinQ=このときの、tane を求めよ。 4 大問7 次の△ABCについて、それぞれの値を求めなさい。 (1) b=3、c=4、A=120°のとき、 △ABCの面積Sを求めよ。 (2)c=2、b=2/2 (2)c=2、b=2 2、A=135°のときの aの値を求めよ。

数Ⅱの問題で、（3）の問題で0°≦t≦90°のときは−1≦X≦0、1≦Y≦2になって、30°≦t≦120°のときは0≦X≦1/2、1/2≦Y≦√3/2+1になるんですか？また、この1はどこから来たのですか？どなたか教えてくださいませんか？🙇

をつけましょ ポイント 習問題 45 軌跡を求めるときは, 媒介変数の消去が だが,x,yに範囲がつく可能性を忘れて tが実数値をとって変化するとき、次の関係式 P(x, y) の軌跡を求め, 図示せよ。 Jx=-t+2 Q (1) y=2t+1 △ (2) x=1-\t\ y=t2-1 x=1-sint △(3) (30°t≦120°) y=1+cost

10^m÷10^nが10^m-nになる途中式というか理由を教えてほしいです

(10の乗)で表し, 問題2 指数の計算 m. nが整数のとき 10m×10=10m+税 10m 10m+10*= =10仇-n 0 と書く。 10" 合は,それぞれ次の (10m)=10m×n また、一般に, a≠0, b≠0のとき (ab)*=a*b* (一番 )(4)² いては考慮しないものとする。 いて表せ。 ただし 2 指数の計算 要項の関係式を利用して次の計 の中を埋めよ。 算をし 例題 (i) 10°×10°=(10×10)×(10×10×10) e. =10813円 105 する (ii) 102+10% 102 105 =102- 5. 10×10 10×10×10×10×10 10-3 x

数２の質問です！ 47の(2)の3行目はなぜ a+b ab ということが分かるんですか？？ 分かりやすく教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

80 基本 例題 47 2次方程式の作成 00000 (1) 2次方程式+3x+4=0 の2つの解をα β とするとき、α、Bを解 とする2次方程式を1つ作れ。 (2) ab とする。 2次方程式+αx+b=0の2つの解の和と積が、2次 方程式+bx+α=0 の2つの解である。 このとき、定数a, bの値を求 めよ。 CHART & SOLUTION p.73 基本事項 3基本44 2次方程式の2つの解の関係 解と係数の関係を書き出す (1) 2数 2次方程式の1つは を解とする x²-(a²+ẞ²)x+a²ẞ²=0 和 積 (2)2つの2次方程式の解と係数の関係を書き出し, a,bの関係式を導く。 解答 (1) 解と係数の関係により よって α+β=-3, aβ=4 (-3)2-2.4 +B2=(α+B)2-2aß= =1 α2β2=(aβ)2=42=16 ゆえに、求める2次方程式の1つは x2-x+16=0 (2) 2次方程式 x2+ax+b=0の解をα, β とすると,解と 係数の関係により a+β=-a... ①, aβ=b... ② 2次方程式 x2+bx+α = 0 の解が α+ β, αβ であるから, 解と係数の関係により (α+B)+αß=-b, (a+β)aß=a ① ② を代入して -a+b=-b... ③, -ab=a... ④ ④から a+ab=0 すなわち よって α = 0 または b=-1 α(1+b)=0 α, β は2次方程式 +3x+4=0 の2つの 2数α2, β2 の和。 2数2, B2の積。 2つの解の和と積。 上の4つの式 (赤字) らα, βを消去。 [1] a=0 のとき ③から 6=0 [2] 6=-1 のとき ③ から α=-2 これは a<bを満たす。 [1] [2] から a=-2,b=-1 これは a<bを満たさない。 ← ③ から a=26 条件を確認する。 MOITANS

マーカーを引いた部分が求められる理由を教えてください。 公式などがあるのでしょうか？💦

AA A3 A2 基本 例題 29 無限等比級数の応用 (2) XOY [=60°] の2辺 OX, OY に接する半径1の 円の中心を とする。 線分00 と円0 との交点 を中心とし、 2辺OX, OY に接する円を Oとする。 以下、同じようにして,順に円 03, 0, 00000 Y O₁ 59 A1 253 基本事項 21 を作る。このとき,円 01,02, 求めよ。 X ･･････ の面積の総和を 60° 基本28 2章 4 総和, CHART & SOLUTION 図形と極限 無限級数 用いると,次 えることが +A2A3 2番目と (n+1) 番目の関係を調べて漸化式を作る ① 00+1の半径をそれぞれn, n+1として, n と n+1の関係式 (漸化式) を導く。直角 三角形に注目するとよい。 そして, 数列{r} の一般項を求め, 面積の総和を無限等比級数 の和として求める。 解答 Y 円0mの半径,面積を,それぞれ回 S とする。 円O は 2 辺 OX, OY に 接しているので, 円 0 の中心On は, 2辺 OX, OY から等距離にある。 27 2+1 +...... ar) よって,点0m は XOY の二等分線 上にある。 O.. +1 X H S 30°+1 (0, ar3) +....... +……) をαと JJR これとOm0n+1=00-00n+1 から rn=2rn-2rn+1 ゆえに,XOO=60°÷2=30°であ るから 00=2rn 円とOX との接点 をHとすると, OOH は3辺が 2:1:√3 の からの直角三角形。これ 着目して,n+1 rn 1 きる ゆえに rn+1= またn=1の関係を調べる。 2 n-1 n-1 60° よって- (1/2) したがってSx (1) 30° 00 ゆえに,円 01, O2, の面積の総和 ΣSn は, 初項 π, 公 n=1 比 1/3の無限等比級数である。 141 であるから,無限等 比級数は収束し、その和は π 4 1-1 (初) (公) の PRACTICE 29 3 正方形 Sn, 円 Cn (n=1, 2,.....) を次のように定める。 Cm は Sm に内接し, Sn+1 は 1である。 Cn に内接する。 Sの1辺の長さをαとするとき 円周の総和は [ [工学院大 ]

X,Yはそのままx,yに置き換えていいんですか？教えてください🙇🏻

指針 x+y=X, xy= Y とおいて,X,Yの関係式を導けばよい。 ①条件式x2+y2≦1 を X,Yで表す。 →x2+y=(x+y)^2xy を使うと しかし、これだけでは誤り! X2-2Y≦1 ② x, yが実数として保証されるようなX,Yの条件を求める。 →xyは2次方程式(x+y)t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0の2つ あるから、その実数条件として 判別式 D=X2-4Y≧0 実数条件に注意 X=x+y, Y=xy とおく。 解答 x+y'≦1から したがって Y≥ X2 1 2 2 (x+y)²-2xy≦1 すなわち X2-2Y≤ 1 ① 大 まる 喚を また,x,yは2次方程式2-(x+y) t+xy=0 すなわち f-Xt+Y=0の2つの実数解であるから, 判別式をDとす ると ここで D≧0 D=(-X)2-4・1・Y=X2-4Ytay よって、X2-4Y≧0から! よって, X2-4Y≧0 から 12a, B13 p=a+B, g とすると, 解とする 式の1つは x²-px+ Y≤ ・X2... 4 ② ①,②から X21 X2 Y≤ 2 2 4 y=22 AST 日本 4 変数を x, y におき換えて x21 2 Sy≤ 2 x2 したがって、求める領域は,右の図の 斜線部分。 ただし、 境界線を含む。 実数条件(上の指針の2)が必要な理由 (税抜) 0. 12 1= 12 12 るとx=±√ 1_1i のとき x+y=1 x+y=X, xy=Yが実数であったとしても,それが x2+y'≦1 を満たす虚数x, yに対応 X,Yの値と