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例題 30
係数に虚数を含む2次方程式の実数解
kを実数とする。xの2次方程式 (1+)x+(k+3i)x+6+2ki =0
数解をもつとき, kの値, およびこの方程式の解を求めよ。
係数に虚数を含む2次方程式では, 「実数解をもつ→DEとしてはいけない。
実数解をもっ
x= 0, i ←
例 2次方程式 xーx30は, x(x-i)3D0 より
D=(-i)° =-1<0
ところが
未知のものを文字でおく
実数解をaとおくと
フイ
(1+)a°+(k+3i)α+6+2ki=0
コi=0 の形になる。
atbi=0> a-0 m b=0
S moits/ Y
%3
%D
0
Action》虚数係数の方程式の実数解は, 複素数の相等を用いよ
4与えられた方程式は係数
に虚数を含むから, 判別
式は使えない。x=aを
大服評の 0方程式に代入する。
鋼この方程式の実数解を αとおくと
(1+)α°+(k+3i)α+6+2ki=0
(+ ka+6)+(α?+3α+2k)i = 0
k, aは実数より, α'+ka+6, α°+3a+2kも実数である
[+ ka+6=0
la+ 3a+2k =0
から
(k-3)α+6-2k = 0 →
(k-3)(α-2) =0←
(3-リマータ(に)
(k-3)α-2(k-3) =0
0-2より
よって
k=3 または α=2
(ア) k=3のとき
①より α'+3α+6=0 となるが,この方程式は実数解
をもたないから, 不適。
2)
判別式をDとすると
D=3°-4-1·6=-15<0
(イ) a=2のとき
*a=2 は実数解である。
のより 2k+10 = 0 となり
このとき,与えられた方程式は
(1+)x+(-5+3i)x+6-10i=0
(x°-5x+6)+(x+3x-10)i =0
(x-2)(x-3) +(x-2)(x+5)i= 04
(x-2){(x-3)+(x+5)i}=04(xつ)でeる
(x-2){(1+i)x-3+5}=02
k=-5
)最用に対期、
イる
この方程式は α=2 を
解にもつから,左辺は
x-2を因数にもつ。次
の節で学習する因数定理
と組立除法を用いて因数
分解してもよい。
2|1+i -5+3i
向と理
3-5i
6-10i
2+2i -6+10i
よって
x= 2,
1+i
(3-5)(1-i)
1-2
1+i -3+5i
3-5i
=-1-4i
(左辺)=
(x-2){(1+i)x-3+5i}
ここで
0
1+i
(ア), (イ)より, 求めるkの値は
このとき,与えられた方程式の解は
k= -5
x= 2, -1ー4i
思考のプロセス
