急ぎです！ なぜ青の四角でかこった式になるのか教えてください！

562 第9章 整数・数 Think 例題269 不定方程式 57x+13y=1 の整数解を求めよ。 1 考え方 例題268のように特殊解を求めたいが, CE 方程式の整数解(3) Focus 係数が大きいため実際に値を代入して求めるのは困難である. 57 × (整数)+13×(整数) = 1 の式を作るために, ユークリッドの互除法を用いる。 pe TERY 解答 方程式 57x+13y=1 ...... ① の係数 57 と 13 について ユークリッドの互除法を用いる. 57=13×4+5 より, 13=5×2+3 より, 5=3×1+2 より, 3=2×1+1 より, ⑤ に ④ を代入して, m 3-(5-3×1)×1=1 3 ×2-5×1=1 これに3③ を代入して, ( 57-13×4=5 13-5×2=3 5-3×1=2 ...... ④ したがって, ①-⑥ より, ST ( 13-5×2)×2-5×1=1 mmm 13×2-5 ×5=1 これに② を代入して, 3-2×1=1….....⑤ 13 ×2-(57-13×4)×5=1 ax ...... 57 × (−5)+ 13×22=1 ARPETUSS 57(x +5)+13(y-22)=0 ·② ・③ HAI y=-57k+22 at S+AT=N ENSJAASEEBR 6 x+5=13k, すなわち, x=13k-5 これを⑦に代入すると, 57×13k=13(22-y) 57k=22-y より, よって, 求める一般解は, x=13k-5, y=-57k+22 (kは整数) 57(x+5)=13(22-y) ......7v 57 13 は互いに素であるから.x+5は13の倍数となる. したがって, kを整数として 5-3×1 I 1-7 | 13–5x 3 X2- |x= ① の (特殊

問1のクまではいけましたが、ケコ、サシの解き方が分かりません。 また、問2がどうやって解くのか分かりません。 教えて欲しいです！！

+1 (200 1 ユークリッドの互除法を用いて1897 1939 の最大公約数を以下のように求める。 19391897 の商はア 10 1897÷イウの商はエオ余りはカ う カ RP = ネ O イウ+ +-+-1997 1920 以上により, 1897 1939 の最大公約数はクである。 このときク = ケコ ×1897 のはキで, 割り切れる。 LOH SAYA - 。 サシ ×1939となる｡ 問2 △ABCにおいてAB=54, BC=48 とする。 辺AB上に点PをAPPB=5:4 となるようにとり、辺BC上に点QをBQ: QC=3:5 となるようにとる。 また線分AQ と線分 CP の交点をRとする。 このとき, ARス RQ, CR=セ RP である。 さらに4点 P, B, Q, R が同一円周上にあるとすると AR=ソ タチ,RQ=√テト , CR=ナニヌ P ノハ となる。 M ra 間 全

128.1 写真のような解答でも大丈夫ですか？

508 基本例題 1281次不定方程式の整数解 (2) ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 |指針 CHART 不定方程式の整数解 ① ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで, (2) では,次の方針による解答を考えてみよう。 ① aとbの最大公約数を互除法によって求め,その計算過程を逆にたどる。 …………特に,1=ab+bg の形が導かれたら,両辺をc倍してa(cp)+b(cg) = c 情の注意 [②] 係数を小さくして(本書では係数下げと呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお,検討として 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。 (2) 37x-90y=4 1組の解 (b, g) を見つけて α(xp)+b(y-g) = 0 しかし, (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから 解答 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに, 方程式は 7(x-4)+6(y-2)=0 すなわち 7(x-4)=-6(y-2) 7と6は互いに素であるから, kを整数として s-x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって, 解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4..... ① m=37, n=90 とする。 16=5・3+1 90=37･2+16 から 16=90-37・2=n-2m ...... a 37=16・2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ 13 $+(1+)=-17m+7n ゆえに =5m-2n.... から1=16-5・3=(n-2m)-(5m-2n) ・3 37 (-17)-90-(-7)=1 両辺に4を掛けて 37(x+68)-90(y+28)=0 ① ② から すなわち 37(x+68)=90(y+28) 3790 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k,y+28=37k 37 (-68)-90 (-28)=4 と表される。 x=90k-68,y=37k-28(kは整数) よって,解は [解法 [②2] 9037･2+16から, 37x-90y=4は 37x- (37・2+16)y=4 基本 127 演習 131 すなわち 37(x-2y)-16y=4 x-2y=s･･････ ① とおくと 37=16・2+5から (16-2+5)s-16y=4 (2) 37s-16y=4 ■7x+6y=40から 7x=2(20-3y) よって, xは2の倍数であ る。このようにして、方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい。 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16 に を代入して整理す る。 16 に ⓐ 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを90に戻す。 x=-17, y=-7は 37x-90y=1を満たす。 係数下げによる解法。 25 16 192€ b a, ax- 3 #6 aを この また (1) 10 (2 ① よ (2) 2 (3 10 な $12

126.1 解説の3行目以降の()は何をしているのですか？

504 00000 基本例題126 互除法の応用問題 (1) 2つの整数m,nの最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す ることを示せ。 (2) 7 +48 +5 が互いに素になるような 100 以下の自然数n つあるか。 指針 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項 ① (*)で示した, 右の定理を利用して,数を小さくし ていくと考えやすい。 本問のように,整式が出てくるときは,まず, 2つの 式の関係をa=bg+r の形に表す。 次に, 式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 解答 2 数A, B の最大公約数を (A,B) で表す。 口 (1) 3m+4n=(2m+3m) ・1+m+n, 2m+3n=(m+n) ・2+n, m+n=n·1+m よって (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) =(m+n, n)=(n, m) したがって,m,nの最大公約数と3m+4n,2m+3nの最 大公約数は一致する。 221 DE 01 ① とおくと 2 は全部でいく p.501 基本事項 ① aとbの最大公約数 a=batr 等しい 3m+4n=a m=3a-4b [別解 2m+3n=b n=36-2a mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。 ① より αと6はdで割り切れるから, dはaとbの公約数 である。 ゆえに d≤e ...... e≦d 同様に,②よりはとnの公約数で ③ ④ から d=e よって, 最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1).7-3 ゆえに (8n+5, 7n+4)=(7n+4, n+1)=(n+1, 3) 7 +4と8+5は互いに素であるとき, n+1と3も互いに 素であるから, n +1と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 R-X10 2≦n+1≦101 の範囲に,3の倍数は33個あるから 求める 自然数は 100-3367 (個) 練習 ③ 126 (1)a,bが互いに素な自然数のとき, 3a+7b 2a+5b とrの最大公約数 差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n) = m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n-n=m <m=dm',n=dn', a=ed', b=eb' とする ① は 'd(3m'+4n')=a d(2m'+3n')=b re(3a'-4b')=m e(36'-2a')=n ②は a=bg-r のときも (a, b)=(b, r) が成り立つ。 .501の解説 と同じ要領で証明できる。 は既約分数であることを示せ。 (2) 3n+1と4n+3の最大公約数が5になるような50以下の自然数nは全部で いくつあるか。 Op.514 EX87.88 以下 1 フ r 角 例1 た た x 例2 方 a VE x ア G C Q Ve 3

整数の問題です。青マーカー部分の分からないところ3点を解説して欲しいです。 (2)g≧3とa-b≧2はどのように求められたのですか？ (3)p≧5はどのように求められたのですか？ また、p≧5よりm≧2もどのような思考プロセスで導いたのですか？ お願いします。

88 (10nが正の偶数のとき, "-1は3の倍数であることを示せ。 ? X (2) nを自然数とする。 2" + 1 と 2 -1 は互いに素であることを示せ。 (3),gを異なる素数とする。 - を満たすか、4の組をすべて求 めよ。 [15 九州大〕

（3）解説のgcdの二行目の式変形が分からないです

8.6 数列{an} を次の条件によって定める。 8 ・g a=1, 2=2, an+2=2an+1+a (n=1, 2, 3, ...) (1) as, ai, as を求めなさい。 9.) (2)についての1次不定方程式 〇 ash+αy=1の整数解をすべて求めなさい (3) すべての自然数nに対して, an と +1 が 互いに素であることを示しなさい。 (17 首都大・文系)

この問題の(1)の答えがx=-6k+28,y=7k+12でも正解になりますか？

508 基本例題 128 1次不定方程式の整数解 (2)... ax+by=c 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (1) 7x+6y=40 kx (2) 37x-90y=4 A 7.2² 指針ax+by=cの整数解 が第一の方針。 ない。そこで,(2)では, 次の方針による解答を考えてみよう。 (121 CHART 不定方程式の整数解 内にあわせる 1組の解 (p.g) を見つけて a(x-p)+b(y-q=0 しかし (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから aとbの最大公約数を互除法によって求め、その計算過程を逆にたどる。 ・特に, 1 = ap+bg の形が導かれたら、 両辺を倍して4(cp)+b(cq)= 47100-4 [2] 係数を小さくして (本書では係数下げ と呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。 なお、検討として, [3] 合同式を利用する 解法も取り上げた。 解答 7(x-4) +6(y-2)=0 (1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。 ゆえに、方程式は すなわち とは互いに素であるから, kを整数として 7(x-4)=-6(y-2) x-4=6k, -(y-2)=7k と表される。 よって解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数) (2) [解法] 37x-90y=4 m=37, n=90 とする。 (a) 90=37・2+16 から 16=90-37.2=n-2m 37=16･2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2 ****** =5m-2n 解がすぐに見つからなければ 互除法 または 係数下げ ⑤⑥ 16-5-3+1 5 1-16-5-3-(n-2m)-(5m-2n).3 -**--. ****** =-17m+7m 37-(-17)-90-(-7)=1 基本127 演 131, ゆえに ○ 両辺に4を掛けて ! ①② から 37(x+68)-90(y+28) = 0. すなわち 37(x+68)=90(y+28) 37 90 は互いに素であるから, kを整数として x+68=90k, y+28=37k 37 (68) -90(-28) =4..... ② と表される。 よって, 解は x=90k-68, y=37k-28 (kは整数) 7x+6y40 から 7x=2(20-3y) よってxは2の倍数であ る。このようにして, 方程 式を満たす整数解を見つけ る目安を付けるとよい｡ 互除法 の利用。 文字におき換えて変形。 前ページ参照。 16② を代入して整理す 16② 5 ⑥ を代入し て整理する。 m²を37, nを0に戻す。 x=-17, y=-7 は 37x-90y=1を満たす。

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, ・① LA HILC ax+by = c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解) を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-xo)=-b(y-yo) [x-xo = bk, ly-yo-ak (kは整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

不定方程式の整数解についての質問です。1枚目の写真はbk,-akとなり異符号で2枚目の写真は5k,3kとなり同符号です。なぜこのようになるんですか？異符号だからですか？ a-2=-5k,b-1=-3kやx-x_0=-bk,y-y_0=akと表していいんですか？

aとbを互いに素である整数として, c も整数とするとき, 1 (Ax-B)(Cyax+by=c を満たす整数解 (一般解) は, ① を満たす1組の整数の組(xo,yo) (特殊解)を求め ると, ① から, と変形できるから, a(x-x)=-b(y-yo) x-xo= bk, y-yo=-ak ly- ne 2 11 (は整数) として求められる. この特殊解が見つけにくいときは,ユークリッドの互除法を利用する.

下線部のところは1個ずつ代入して確認して求めればいいのですか？

基本例題 24 1次不定方程式の自然数解 00000 等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は組ある｡ それらのうち が2桁で最小である組は(x,y)=(イ である。 [福岡工大] CHART Sc OLUTION 方程式の自然数解 不等式で範囲を絞り込む ・・・・・・ が自然数になるように絞り込んでもよい。 TERRAS MOVANO 「x, y が自然数」 すなわち x≧1, y ≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利 [別] 基本例題122と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x, 用して, 最初からx,yの値の範囲を絞り込むとよい。 2x+3y=33 から すなわち 2x=33-3y 2x=3(11-y) ① と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。 1 において, y ≧1 であるから 11-v≦10 2x≦3.10=30 よって 更に, x≧1 であるから 1≤x≤15 2③から x=3, 6, 9,12,15 ゆえに, 等式を満たす自然数x,yの組は それらのうちxが2桁で最小である組は 制解 x=0, y=11は, 2x+3y=33 であるから 2.0+3・11=33 2x+3(y-11)=0 ①-② から すなわち 2x=-3(y-11) とはだいに素であるから 3 ② 5組 (x, y)=(¹12, 3) ① の整数解の1つ ② ① すべての整数解は 基本122 重要 125 11-yは2の倍数である からyは奇数。 こちら から絞り込んでもよい。 それぞれのxに対して, は自然数になる。 2x=33-3y 429 = 3(11-y) と変形してもよい。 660 4章 15 ユークリッドの互除法