この問題の（1）ではPが時計回りで転がっていると考えていますが、反時計回りで考えても正しいですか？

重要 例題 178 曲線の長さ (2) 動する 円 C:x2+y2=9 の内側を半径1の円Dが滑らずに転がる。 時刻tにおいて、 Dは点 (3cost,3sint) で Cに接している。が (1) 時刻 t=0 において, 点 (3, 0) にあったD上の点Pの時刻 t における座 2 標(x(t),y(t))を求めよ。ただし, Osts πとする。 (2) (1) の範囲で点Pの描く曲線の長さを求めよ。 MC [類 早稲田大] 基本177 CHART & SOLUTION (1) ベクトルを利用。 円Dの中心をQとするとOP=OQ+QP (Oは原点), 更に円Dと 円Cの接点をTとすると, QP と x軸の正の向きとのなす角はt-∠PQTIVA (2) 求める長さは3{x(t)}+{y'(t)} dt 解答 (1) A(3,0),T(3cost, 3sint) とする。 yhiap th YA C 2 DとCがTで接しているとき, Dの中心Qの座標は (2cost, 2sint) である。また, TP=TA=3t より 3 D T(3cost, 3sint) 2. 3t 2t 3 0 A X ∠PQT =3t であるから, QP がx軸の正の向きとな 角はt-3t=-2t OP=OQ+QP 0を原点とすると -=(2 cost, 2 sint)+(cos(−2t), sin(-2t)) =(2cost+cos2t, 2sint-sin2t) (2)x'(t)=-2sint-2sin2t, y'(t)=2cost-2cos 2t から {x'(t)}+{y'(t)}=4(sin't+2sintsin2t+sin22t) 2 +4(cos't-2costcos2t+cos22t) =4(2-2cos3t)=16sin2/23t osts/3であるから sin t≥0 よって, 求める曲線の長さは 16 sin²t dt= 20 3 4sin tdt =4• - COS 3.1 xb (e == 16 3 inf. 半径, 中心角の 弧の長さは20 ■ sin 20+cos20=1 costcos 2t-sintsin2t = cos(t+2t) C1X0 inf.x' (t) =-2sint(1+2cost) <0 (01/22)より、x(t) は積分区間で単調に減少す るから,Pは曲線上の同じ 部分を2度通ることはない。 PRACTICE 1789

青線引いた部分についてです！ここでなぜ絶対値をとる必要があるんですか？回答よろしくお願いします！

一末問題 にして, bc となり、 ab bc b-a -loga + a c-b 21, √ab+√bc +√ca=1 ca blogs√be ac c-b log c -log+a-c syab+√bc+vcaD ここで、a++√c=1 の両辺を2乗すると, a+b+c+2,/ab+2、bc +2√ca =1 vca > 0 ) (x 第4 .d <rg^(x)=f(x)-1≦1-1<0 0-7(x) ca a log C であるから,g(x)は単調減少な関数である。 ここで,g(0),g(1) を考えると |g(0)=f(0)-0 1 1+e=20 == 1 |g(1)=f(1)-1= 1-(a+b+c) 15. J 1+e e+1-1=<0 したがって,g(x)=0 は 0<x<1にただ1つの解を e e+1 もつ。 2 八 また、√a++√c=1のとき、(2)より,0x よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ (3)(2)において yA y=x/ loga f(x)=x を満たす a+b+c...... laga Co 01 1=x+p+00 ただ1つの解をβと おくと, 0<β<1で あり y=f(x) 2)(am, f(an)) f(x)は 0 1- f(B)=BD an an+1 8 1 x 3 1 ②.③より√ab+√bc+√cas 2 a+b+czy, よって、 ① より, b-a a c-b ab logb+ be log+c logs bc C ca +p+ (1-(a+b+c) ≤1-1 33 b a-c 4 関数f(x)=- について、次の問いに答えよ.hpps-fe また、条件より f(am)=an+1 ......② ①②の辺々の差の絶対値をとると f(am)-f(B)1=lan+183 ここで, an≠β のとき, f(x) に平均値の定理を用い ると, したがっf(am)-f(β) -=f'(c) ••••••④ うになる an-β (021) を満たすc が a と β の間に存在する. ④を変形して, Tx+ 1 1+e (1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ. (2) 方程式 f(x)=x はただ1つの実数解をもつことを示せ.)+(-6) (3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{an} は,初項 α の値によら ず収束し, その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ. (1) f'(x)=1+e^*) (1+e_x)1+2+e_25 1 1 *+2+* e*+. ++2 e₁ (23) \f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-Bl ③を用いると, an+1-Bl=\f'(c)lla-β.......⑤ つまり, ⑤を満たすcが, am とβの間に存在する. (1)より.0<f(x)=1であるので、 >20) 商の微分 分母、分子にe を掛ける。 ①lam+1-Bl=\f'(c)|lam-B グラフ ya a-B ......⑥ よって、グラフ が成り立つ 2 ここで0.12.20 であるから,相加平均・相乗平 均の関係より, 等号成立は,e= 1 e+ +2≥4 また,am=βのときも, ⑥は成り立つ. ⑥をくり返し用いると, したがって f'(x)=- 1 ex+- ex+2 よって、f'(x)の最大値は,1/1 (2)g(x)=f(x)-xとおくと, すなわち, x=0 のとき 両辺ともに正より逆数をと an+1 0<-x) る. したがって, 201 do an-1- a- 0.0<00< -1 lim (1) la.-B1=0 であるから,⑦とはさみ であり, lim うちの原理より,

（2）についてです。g（x）=0が0<x<1以外に解をもつ場合はないのですか？回答よろしくお願いします！

ま問題 にして, ca be log√bc log√ca 12>04 (x) a-c .d& g'(x)=f'(x)-1≤1-1<0 第4! 微分 a 0=\)\ となり、 bc c-b ab log + be log + a log ca a-c a+b+c+2√ab+2、bc+2√ca =1 ここで、√a+6+√c=1 の両辺を2乗すると, (√a+√√b+√c)²=12 syabtv/bc+√ca ...... ① であるから,g(x)は単調減少な関数である。 ここでg(0),g(1) を考えると, *go g(0)=f(0)-0=1+e=20 g(1)=f(1)-1=1 1+e ab+c+√ca=1-(a+b+c)....② もつ。 したがって,g(x)=0は0<x<1にただ1つの解を == e+1 e+1 中間 2 また、√a++√c=1のとき,(2)より,0x (3)(2)において よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ。 g'(x) ある. Toge f(x)=x を満たす y=x/ 190-18- a+b+c ......3 loga <0 f(x)は logi 01 1=x+p+q s ただ1つの解をβと おくと, 0<β<1で あり、 x)(am,f(an)) y=f(x) 0 1- f(B)=β① an ab b b-a a C ca a b a-c log 4 1 関数f(x)= について,次の問いに答えよ. 1+e c-b ② ③より, ab+√bc+√/ca2 3 よって ①より bc -log- + -log 3 1 a+b+cz . *22 an+1 8 1 x 1-(a+b+c) ≤1-1/2-1/2 また、条件より f(a)=an+1 ② ①②の辺々の差の絶対値をとると 3 f(a)-f(B)1=la,+1βL③) ここで,_amキβ のとき, f(x) に平均値の定理を用い ると, an-B f(an)-f(B)=f'(c) ....... 次のよ (021) (1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ. (2)方程式 f(x)=xはただ1つの実数解をもつことを示せ.p)+(play (3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{a} は,初項 α, の値によら ず収束し、その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ. (1) f'(x)=- (1te_^*) e (1+e) 1+2e+e 2x 1 1 *+2+e__** +++2 ここで0.10 であるから,相加平均・相乗平 を満たすc が と β の間に存在する. ④を変形して, \f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-B ③を用いると, |an+1-Bl=\f'(c)lla-B....... ⑤ つまり、⑤を満たすc が, am とβの間に存在する. (1)より、f'(x)=1であるので, 微分 分母,分子にe を掛ける lam+1-B1=\f'(c)lla-Bl 737 ya laß よって 立つ 均の関係より, e+ +22√2 e+2/+224 したがって, f'(x)=- 1 1 e++2 e* よって、f'(x) の最大値は, (2)g(x)=f(x)-xとおくと, 等号成立は,e=1 すなわち、x=0 のとき 両辺ともに正より逆数をと る. 19480 201 また,am=βのときも ⑥は成り立つ. ⑥をくり返し用いると したがって, のと 0<lan-Bal d であり, lim うちの原理より, Ka a (C -1 と 2a-β=0であるから、⑦とはさみ

最大値を求める問題なのですが、増減表の富豪決定の仕方を教えていただきたいです。

f'(x) = 1 (log x)+x 210gx11 = (log x+2)logx より, 増減は次のようになる. X x (0) f'(x) e-2 *** (1) f(x) + 7 + 0 0 最大 V これより、x=e-2 のとき f(x)は最大となり. 最大値は, f(e-2)=4e-2 (-S)

【平均値の定理】 平均値の定理を使った問題なのですがなぜ二枚目の写真のようにf(x)の導関数が単調減少であることを示さないといけないんですか?

0<a<b のとき, 平均値の定理を用いて logb-loga 1 1 < b b-a a を示せ.

⑵あっていますか？💦

5 関数 f(x) ax x²-2x+2 ;があり、f'(2)= == を満たしている。このとき、次の問いに答えよ。 ただし αは実数の定数であ る。 (20点) (1)q の値を求めよ。 また, 極限 lim f (x) を求めよ。 →80 (2) 関数 f(x) について、増減を調べ, 極値を求めよ。 また, 曲線y=f(x)の漸近線を求め, グラフの概形をかけ。 ただし, 凹凸は調べなくてよい。

なんでこの問題って場合分けしないといけないんですか？

252 y=2sint-sint (0≧≦) と表される右図の曲線と, x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積 面 媒介変数によって,x=2cost-cos2t 6 y CHART & SOLUTION 基本 156 基本例題156 では,tの変化に伴ってxは常に増加したが, この問題ではの変化が単調でないところがある。 とする y2 この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり x軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。 したがって, 曲線 AB を y, 曲線 BC を y2 とすると 求め る面積Sは 右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな る点を B(t=tでx座標が最大になるとする),t=xのとoco きの点をCとする。 B i-3 0 1 A xx t=0 t=to 曲線が往復 している区間 (a>0) S=Sydx-Sy yi dx x0 ! ら と表される。 よって,xの値の増減を調べ,x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。 また,定積分の計算は,置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。 解答 図から,0≦t≦πでは常に 2x-1200=xb (-xhie) logob log3-2 『 y≥0 onial また y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost -Dial =2sint(1-cost) inf. Ost≤ DE sint≧0, cost ≦1 から Dy=2sint(1-cost)≥0 としても, y≧0 がわかる。 よって, y=0 とすると sint = 0 または cost=1 0 から t=0, π 次に, x=2cost-cos 2t から から dxc == -2sint+2sin2t dt D =2sint+2(2sintcost) (小平 (八 =2sint(2cost-1) << において x=0 とすると, sint>0 で dt あるから t 20 π ・・・ cost= 2 ゆ t= + 3 0 「 よって、xの値の増減は右の表のようになる。分するよう! 1 XC -> 32 T ← B

数1 この問題の①の条件がいらない理由を教えてください。また、このような正と負の解がある問題で、①の条件はあってもなくても良いと言っている動画もありました。実際①の条件はあってもいいのですか？わかる方よろしくお願いします。

x-mx-m+8=0が正解を負の解を 持つときの値の範囲は? こういう問題ってだいたい 2 m-m+8 12 (±m, 7m²-m+8) ①がいらない理由 ① D≧、DCのやつ ②軸の位置 ③切片の位置 だけど、今回必要なのは③だけ ③がいる理由 (切片の位置の話だから70の時) 5m+8<0 ②がいらない理由 -m+850 関係ない -mtg m>8 A #4 これ だけ m

どこからf'(x)がx≧0で増加していることがわかるのでしょうか？？

数Ⅲ 微分の不等式への応用②) ◎x>0のとき、不等式+x>1+1/2x-1℃を証明せよ。 f(x)-(+x-(1+1/x/x)とおく。ゴール ρ)・21(12/24) -x) 21+x + = (1+x)=-1 f(x)>0 不 f(x)>0 f(x)=-4(1+x)+ 4 4(1+x) = f(x) > 0 x=0のとき、f(x)>0より f(x)がx≧0で増加、f'(0) = 0 f(x)より f(x)=0をやってみた. 2 ×11+x 2-X 2=(+x(2x) 4=(1+x)(4-4x+x) 4x-3x+4 X³-3x²-0 ズ(x-3)-0 20.8.3 ①を満たさない

右辺を1少なくしても影響無いのってなんで分かるんですか？🙇‍♂️

100回 15 等比数列と対数 00000 数列{an} は初項1, 公比5の等比数列である。 α+az+......+an≧10100 を満 [学習院大 ] 373 たす最小のnを求めよ。 ただし, 10g102=0.3010 とする。 p.365 基本事項 3. 基本11 1章 2 CHART & SOLUTION 等比数列の和と指数の問題 対数の利用 不等式の左辺を計算して整理すると 5"≧4・10200 +1 い。 等比数列 このままでは,nの値を求めるのは難しい。 そこで、対数(数学IIの内容) を利用するとよ なお、54・10100 +1 のままでは、両辺の常用対数をとって も右辺の計算がうまくできない。 そこで, nが自然数のとき 54.1000 +1と5"> 4101 は同値であるから, 5410100 の両辺の常用対数をとって計算するとよい。 5>4.10:00 5 ≧410100 +1 4.10100 4.10100+1 解答 a+a+......+an= 1・(5"-1)=1(5"−1) 5-1 S=(-1) r-1 よって与えられた不等式から 15-1)1000 整理して 5"≧4・1010 +1 ゆえに, 5>4・1010 を満たす最小の自然数nを求めればよ い。 両辺の常用対数をとると n10g10510g104+100 n(1-10g102)>210g102+100 log102=0.3010 であるから 100.6020 0.6990>100.6020 よって n> = 143.9······ 0.6990 ゆえに,n144 のとき 5">4・10100 が成り立つ。 したがって、求める最小のnの値は n=144 右辺を少なくしても 式の形からnに影響を 及ぼさない。 ←log15"=nlog105, 10g10410100 =log104+logio10100 = 2log102+100 10g105=10g10 10 2 =10g1010-10g 10 2 =1-10g102 5" は単調に増加する。