188
基礎問
124 2項間の新化式
注
a=1, an+1=3an+4n (n>1) で表される数列{an} がある。
(1) an+2n=Dbn とおくとき, bn, bn+1 の間に成りたつ関係式を
求めよ。
(3) anを求めよ.
(2) bnを求めよ。
an+1=pa,+qn+r(カキ1) …① 型の漸化式の解き方には次の
3通りがあります。
I. antan=Db, とおいて, bn+1= pbn+q 型になるように, αを決める
I. a,tan+8= 6, とおいて, bn+1=rb» 型になるように,α, Bを決める
精講
I.番号を1つ上げて an+2=pan+1+q(n+1)+r 2
ロー )
を用意して2-① を計算し,
an+1-an= bn とおいて, 階差数列の考え方にもちこむ
この問題では,Iを要求していますので, II, IⅢの解答は
参 を見て下さい。
解答
(1) an=bn-2n, an+1=bn+1-2(n+1) だから, d) 民 1
与式= bn+1-2(n+1)=3(bn-2n)+4n 2ポ
→ bn+1=36n+2
an+1= panta 型
(2) bn+1=36,+2 → bn+1+1=3(bn+1)
ゆえに,数列{bn+1} は,
初項 b+1=(a+2)+1=4, 公比3の等比数列.
よって, bn+1=4·3"-1
(3) an=bn-2n=4·3"-1_2n-1
α=3«+2 より
α=-1(123
. bn=4·37-1-1
(その1) (IⅡの考え方で)
antan+β=bn とおくと,
参考
an= bn-an-B, an+1=bn+1-Q(n+1)-B
与えられた漸化式に代入して
bat1-a(n+1)-β=3(bn-an-B)+4n
演
- n+1=36n+ (4-2α)n-28+α
ここで、4-2a=0,-28+α=0 をみたす α, Bは, α=2, β=1
よって, an+2n+13D bn とおけば, bn+1=3bn, b=4
