n=k n=k+1を計算してその後どうすれば良いでしょうか

課題2 (1) 27 21+n+ n(n-1) を数学的帰納法で証明せよ. 2 (2) (1) を利用し, はさみうちの原理により n lim n→o 27 0 を証明せよ. I ※ (1) が解けなかった場合, (1)の結果だけ用いて(2)を解くのも可とします。

数学的帰納法がどういうものかはわかるのですが、n=kのときどう書いたらいいのか教えて下さい。

課題2 (1) 27 21+n+ n(n-1) を数学的帰納法で証明せよ. 2 (2) (1) を利用し, はさみうちの原理により n lim n→o 27 0 を証明せよ. I ※ (1) が解けなかった場合, (1)の結果だけ用いて(2)を解くのも可とします。

赤で囲った部分について質問です。 n≧2のときと書いていますが、なぜ式変形の途中でan−2,an−3,…を書いていいのでしょうか？ 例えば、それぞれnに2を代入したときに、a0，a−1，a−2，…となってしまうと思うのですが

192 重要 例跡113 新化式と極限 (5) 0 数列 (an)が0<a<3, ants=1+V1+an (n=D1, 2, 3, …)を満たすとき (2) 3-an+」< (3-an) を証明せよ。 事項 (1) 0<an<3を証明せよ。 物 p.174 基本事項 3, 基本 重要 ③ 数列 (an) の極限値を求めよ。 る場 指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利田 (2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0であることを利用。 とよ (3) 漸化式を変形して, 一般項 a, をnの式で表すのは難しい。そこで, (2) で示しか。 式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列 (3-an}の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて pSanいg,のとき lima,=α lim p=limg,=αならば →の なお,次ページの補足事項も参照。 はさみうち CHART 求めにくい極限 不等式利用で 解答 1 数学的帰納法による。 のとする。 [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<aぇ<3 n=k+1のときを考えると, 0<an<3であるから ah+1=1+/1+ae >2>0 ah+1=1+/1+a <1+V1+3%=3 (1) 0<anく3 … 40<a<3 40<ak から 1+a,>1 Ma<3から 「1+a<! したがって 0<ak+1<3 よって, n=k+1のときにも① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数 nについて① は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-V1+an = 3-an く (3-an>0であり, a,>02 ら 2+1+a,>3 (3)(1), (2) から 0<3-a.s()(3-a) lim(3-a)-0であるから 「成立はれl 11-1 1カ-1 3 イn22のとき, (2) から 5はれに! (ワー8)->D-8 く0-) lim(3-an)=0 1→0 したがって liman=3 ワー8))> n→0 (ワー9).(). 練習 a=2, n>2のとき an=Van-1 - 113 (1) すべての自然数nに対して an>1であることを証明せよ。 (2) 数列 (an} の極限値を求めよ。 3 2 を満たす数列{an} について 【類関西大

(2)の1行目で、なぜ0<・・・の条件が出てくるのか教えてください。はさみうちを使うことを見越していい感じの条件見つけてきたって感じですか？

例 題 100 はさみうちの原理3 のさであ 次の極限値を求めよ、の大景き タェ x] X imn2 2k-1)(2k+1)) 226 第3章 数列の極限 Check 例題1 (東京理料) a=1+ 1 (2) lim(n 2れ n→ 0 k=n R 1/1 (2) li え方 (1 ーD24+)-(2-1- 24+1) と部分分数に分解する。 (2) k21 のとき, 0<(4R-1)<だくだ+k であるから、, 1 考え方 (1) 4 考え方(1) くより、K(R+1)<声く(2k-1)(2k+1) が導かれる +k 4°-1 2 1」 2n 三-1)2k+1)=(2ォ-1 2k+1) |2k-1 解答(1) k=n (1 1| 4n-1 4n+1 解答 2n-1 2n+ 1/"(2n+1 2n+3, 1/1 2n-1 よって、 1 4n+1 J 2n n 2k-1)(2k+1)) n = lim カー 2(2n-1 4n+1/ lim → 0 k=n エ - = im 1 1/1 1 2 n 4+ n (2) k21より、0<ー(4R°-1)<だくだ+k が成り立つから、 1 4 *+k 4-1,つまり, n2 。R)くくー <n意く --点 k(R+1) (2k-1)(2k+! 2n よって、 1 2n …0 k=n (2k-1)(2k+1) 21 1 k=n ここで、 2n lim{n =lim{n 1 1→ k=n k+1 n 1 →0 n n+1 2n+! n+2 2n =lim n → 0 n 2n+1 また。-e 2n 、n 2 (1の結果を用いると、lim nこ 2k-1)(2k+1) 4 (2k-1)(2k+1)-4:n2 =(2々-1)(2k+1) より, 1 よって、①, ②, ③とはさみうちの原理より, 4. 8 k=n 2 102 練習 次の極限値を求めよ lim(n k=n n→0 100 22 3

至急❗️❗️❗️❗️❗️ マーカー部分が分かりません。

sin x 8·4 ェ>0の範囲で, 関数f(z)=- を考える。 df rca f(x)は, 0<zハェにおいて減少することを示 せ。 2 nを自然数とする. f(z) が極小値, 極大値を とるrのうちで, (2n-1)πSxハ (2n+1)πをみた すものが,それぞれちょうど1つずつ存在すること を示せ。

⑴についてです。 n≧3はどこからきましたか？

重要例題10 次の(1), (2) が成り立つことを示せ。 n =2 27 n=1 n (1) lim =0 カ→ 27 SOLUTION CHART (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二項定理を用いて, に Cnae をはさみうちにする(重要例題 2" n S-rS の利用 (2) 無限級数Enr" まず部分和 S, を求め, n→ の極限をとる。 kl1\k-1 部分和 S.=2-と2(G)は、 S.--S, をf は, Sー- S を代 k=1 k=1 解答 (1) n23 のとき, 二項定理により n(n-1) n(n-1) 2 2 0<くカー1 よって 2 2" n-1 ここで, 2 lim =0 であるから n n→o n-1 lim -=0 n→。 22

この極限のロピタル以外の解き方を教えて欲しいです。どなたかお願いします🙇‍♂️

Iim

1行目で絶対値ついてないのに2行目でいきなり絶対値でてくるのはなんでですか🙇‍♀️ 至急です🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

1+ sin x (2) lim ズ→-8 x

(3)で、なぜ矢印のところのようになるのか教えて欲しいです！

O or 8 SCheck Box 解答は別冊 p.22 数列 {an} を初項 a,=1, 漸化式 an+1=Van+2 (n21)により定義する。 このとき,以下の問いに答えよ. (1) すべての自然数nに対して, 1San<2 が成り立つことを証明せよ。 1 (2-4,)が成り立つことを 2+/3 (2) すべての自然数nに対して, 2-an+1< 証明せよ。 (3) 数列 {an} が収束することを示し,極限値 liman を求めよ。 n→0 (首都大東京)

185と187で、はさみうちの原理を使う場合と、＝Θなどのように置き換える場合の違いを教えてください