pan
エ
基本例題 105 an+1
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。
a1 = 3, an+1=2an-n
nds=ind
CHART SOLUTION
漸化式 an+1= pan+ (n の1次式) (1)
階差数列の利用
2 an+1-f(n+1)=p{an-f(n)} と変形・・・・
②の変形については右ページのズームUP を参照。
下の解答は1の方針による解法で、 別解 は2の方針による解法である。
「解答」
an+2=2an+1−(n+1)
an+1=2an-n
辺々引いて
an+2an+1=2(an+1-αn)-1
bn=an+1-an とおくと
bn+1=26-1 ･①
また
b1=a2-α=(2・3-1)-3=2
①から
bn+1-1=2(bn-1)
更に
b₁-1=1
ゆえに, 数列{bm-1} は初項1,公比2の等比数列となり
bn-1=1・2n-1
すなわち
bn=2n-1+1
よって, n ≧2のとき
n-1
2-1-1
an= a₁ +(2k-¹+1)=3+-
+(n-1)
k=1
2-1
=2"-1+n+1
α=3であるから,この式はn=1のときにも成り立つ。
したがって an=2n-1+n+1
別解an+1=2an-n を変形すると↓
an+1-(n+2)=2{an-(n+1)}
TOTSDAY
また
a-(1+1)=3-2=1
S&
ゆえに, 数列{an- (n+1)}は,初項1,公比2の等比数列と
なり
an-(n+1)=1・2″-1
したがって an=2"-1+n+1
00000
ゴーマ
基本103,104
α=2α-1 を解くと
α=1
inf. bn=2"-1+1 を求め
た後は
Jan+1=2an-n
lan+1-an=2" 1+1
から an+1 を消去して
an=27-1+n+1
と求めてもよい。
◆ n=1 とすると
2°+1+1=3
この変形については
ページのズームUP
参照。
