(4)で、どうしてv=√2gyがこの放物線を表すのかわかりません…。

25. 自由落下 自由落下をする物体について,次の(1)~(4)のグラフをかくと,その グラフは下の①~⑤のどれになるか。 例題6 1) 物体が落ち始めてからの時間tを横軸に, 物体の速さ”を縦軸にとったグラフ 2) 物体が落ち始めてからの時間tを横軸に, 物体の落下距離yを縦軸にとったグラフ 3) 物体が地上Hの高さから自由落下を始めるとき, 落ち始めてからの時間tを横軸に, 地表面からの物体の高さんを縦軸にとったグラフ 4) 物体の落下距離yを横軸に, そのときの物体の速さを縦軸にとったグラフ 120 (3) K KRK L 0 0 0 0 例題6

1の⑴で（i)（ii）(iii)にかいてある条件を満たす満たさないはどうしてわかるのですか？ なぜ上に凸やh(x)=0のとき条件を満たさないのですか？

IⅠ 定数a に対してf(x)=ax²+3a,g(x)=2ax-aとするとき, d- (1) すべての実数xについてf(x) > g(x)が成り立つとき (2) 少なくとも1つの実数xについて f(x)>g(x)が成り立つとき,の条件を求めよ。 の条件を求めよ。実 M (早稲田大) del letto II 1≦x≦2であるすべてのxに対して、不等式x+ax+a-2≦0が成り立つような定数a (大の値の範囲を求めよ. (近畿大) [Solution I (1) すべての実数xについて f(x) > g(x) すなわちf(x)-g(x) > 0 が成り立つのための条件を考える。) f(x)-g(x)=ax+3a- (2ax-a²)=a(x-2x+a+3)=h(x)とおく. (i) α<0 のとき, y=h(x)のグラフは上に凸の放物線となるから、 条件を満たさない。 36-41 (ii) a=0のとき, y=h(x)=0であるから条件を満たさない. (i) a>0 のとき, y=h(x)のグラフは下に凸の放物線となるから, D とすると, D/4 <0 となればよい. 1- (a+3)<0 よって (i), (ii), (i) から, 求める条件は a>0 19 x (d² + x の判別式を x-2x+a+3=0 a>-2

シータを0とπ/2で微分して+∞と-∞が出てきますが、それがx=0と2πで接するのとどう関係しているんですか？

82 媒介変数で y平面上で媒介変数0を用いて 精講 64 で求めた (1) 00 <2のとき, dx dy do do π れる曲線C上の点Pにおける接線がx軸の正方向と 6 (2) 点Pの座標を求めよ。 (1) Cのグラフをかけ. -=1-cos 0, (1) 媒介変数で表された関数の微分については 64 で学びました。 ここでは,それを用いてグラフをかく練習をしましょう。最大の ヤマは増減表のかき方です。 解答の中では,スペースの関係上 d'y をそのまま (途中を省略して) 使ってあります。 dx2 (2) 直線とx軸の正方向とのなす角をaとすると(ただし,一くなくそ の直線の傾きは tan で表せます。 (数学ⅡI・B58 解答 IC {=0 += sin0 より 0-sin0 d'y また, dx² (1-cos)² よって, グラフは上に凸. dy また, -=0 より sin0=0 .. dx <0 y=1-cos 0 sin (2+t) -0 1-cos (2л+t) dy dx dy 1 - cos0 >0 だから, 増減は右表のよう になる.また, 肝型革近線 dy lim =lim 0-2-0 dx t→-0 0-2°= f=2++ (≧0≦) で表さ sin 0 1-cos 11-sino) 1-cosa ((rospa 0 0 タテ型漸近線=dim 8+0 Sine 0 ī +8 の角をなすとき, 並びぶん do Jx 0=π(0<0<2πより) 0 0 IC 0 lim- =lim sin 0(1+cos 0), Sind ([toso) dy dy 0+0 dx 0→+0 1-cos²0 0-2=t とおくと, 02-0 のとき, t-0 の 注参照 √64050² + y 07 1-c050=0 0+0.2 π πC 0 2 50 (5) B 2π 2π 5 0 EXITY 010-20

平均値の定理を使うようですが…何から書き始めればいいかわかりません。文系で数三を習っていない私にはこういった証明問題は厳しいです…。どなたか教えて下さい。

問題5 f(x) は [a,b]={x ∈R|a≤x≤ b} を含む開区間上で微分可能とする. このとき次の問い に答えよ. (1) f(x)がce (a,b) で極小となるならば,f'(c) = 0 となることを示せ . (2) すべての∈(a,b) f'(x)<0となるならば, f(x) は [a,b] 上単調減少であることを示せ . (3) f(x) が区間[a,b] で上に凸ならば,f'(x) は [a,b]上で単調減少となることを示せ.

両者の問題の違いは何ですか？ なぜ前者は場合分けが「-かつ-」となっていないのでしょうか？(3)です。頭いい方お願いします🙇‍♂️

( 372 ) [□] 解答 (1) AU 4 配点 (15点(2) 8点 (3) 12点 C G■ 2次関数 (25点) (2) ON 2次関数f(x)=ax²+2ax+3a+1 がある。 ただし,αは0でない定数とする。 (1)a=2のとき、y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。 (2) y=f(x)のグラフをx軸方向に2,y軸方向にだけ平行移動したグラフを表す関数を y=g(x) とする。 y=g(x)のグラフの頂点の座標をGを用いて表せ。 また, y=g(x) の グラフが点 (3,1)を通るときの値を求めよ。 解答の ポイント (3) 正の定数とする。 (2)のとき、ISxSt+3 における g(x) の最大値をM. 最小値を とする。1を用いて表せ。 また、2M-m=6となるようなの値を求めよ。 a=2のとき ∫(x)=2x²+4x+7=2(x+1)+5 よって、y=f(x)のグラフの頂点の座標は (-1, 5) ∫(x) を平方完成することができた。 ⑩平方完成した式から頂点の座標を読み取ることができた。 ∫(x)=ax²+2ax+3a+1=a(x+1)+2a+1 であるからy=f(x)のグラフの頂点の座標は (-1, 2a+1) y=g(x)のグラフの頂点は、y=f(x)のグラフの頂点をx軸方向に2. y 軸方向に3だけ移動したものであるから、その座標は (1, 2a+4) g(x)= a(x-1)¹+2a+4 さらに、 y=g(x)のグラフが点 (31) を通るとき (3) 1 よって 圈 (-1.5) 4a+2x+4=1 a-1/23 これは を満たす。 解答の ポイント 2x²+4x+7=2(x+2x)+7 =2(x+2x+1-1)+7 =2{(x+1)^-1)+7 =2(x+1)+5 ax²+2ax+3a+1 =a(x+2x)+3a+1 =a(x+2x+1-1)+30+1 a{(x+1)^-1)+3g+1 =a(x+1)+2a+1 y=(x)のグラフの頂点は 座標: -1+2=1 y座標: 24+1+3=2a+4 <y=g(x) に x 3. y=1を 入する。 (順に) (1.2g+4), am-12/2 ◎ y=f(x)のグラフの頂点の座標をaを用いて表すことができた。 ○ 平行移動の考えを利用して, y=g(x)のグラフの頂点の座標を求められた。 © 求めた頂点の座標から(x) を表すことができた。 A [□] CO O C [□] C■ (3) (2) のとき (x)=2(x-1)2+3=-212x2+x+2/2 したがって, y=g(x)のグラフは右の図のよ うになる。 t>0 のとき、x+3 における g(x) の 最小値は m=g(t+3)=- である。 また、最大値は (i) 0<t≦1のとき M=g(1)=3 it >1のとき となる。 (i) 01のとき 2.Mm6 より =-12-21+1 t>1のとき 2.M-m6より 2-3-(-12-21+1)=6 12/2+21-1-0 t²+4-2=0 t=-2±√6 場合分けの条件 01 より t=-2+√6 解答の ポイント M=9(1)=²+1+ 2 ( - ² + 1 + ) ( − 1 −2+1)=6 -+-20 -&+40 t=4+2√3 場合分けの条件1>1より 1-4+2√3 (1), ()より、求める」の値は =-2+√6. 4+2 Ot y=g(x)\ 最大 +3: y-g(x) 11+3. 1226-21+1.276.4+2/3 x αは負であるから, y=g(x) の グラフは上に凸の放物線である。 定義III+3 の中央は 1+1/2/2 である。1>0のとき。 2/23 >1 であるから、y=g(x)の グラフの軸x=1は常に定義域の 中央x+2/23 より左側にある。 よって, g(x) は定義域の右端で最 小値をとる。 g(x) が最大となるのは、 0<IS] のとき､グラフの頂点においてであ り、t>1のとき、定義域の左端に おいてである。 場合分けができた。 の大小関係によって、 場合分けの範囲に入るかどうかを 確認する｡ であるから より 26 <3 2+2 <-2+√6 2+3 0-2+√1 また、 -2-√6 <0 場合分けの範囲に入るかどうかを 確認する。 4/9<√12<√16 2D, 3<2√3<4 であるから. 44 < 4-2√ < 4-3 0<4-2/3 <I また、 4+2/51 ○最小値を求められた。 0と1 ⓒ それぞれの場合において, 条件 2M-m6の方程式として表すことができた。 それぞれの場合において､その方程式を 解の味ができた。

二次関数の問題です。 解答のなみなみ線部分がわかりません。なぜ頂点のx座標がこの範囲にあるとするのでしょうか。他の場合分けが不要な理由がわからないです。お願いします

m 各) 8 2次関数の最大・最小/定義域が動く場合 a を実数とする. 定義域が α ≦x≦a +4 である関数f(x)=-x-4-6の最大値は α の関数で あるので,これをM (α) と表す. 同じく, 最小値をm (a) と表す. M (α), m (α) を求め b=M(a), b=m(α) のグラフを ab平面に (別々に)書け. (名古屋学院大) 最大・最小となる候補を利用 前問は,定義域が一定区間に決まっていて、 関数の方が変化したが, 本間は、関数の方が決まっていて、定義域の方が動く問題である。とは言っても,前問と同様に解くこ とができる.ここでは,前間と違うアプローチを紹介しよう。(なお,これらの解法は, 関数と定義域が ともに変化するときも通用する。) 左ページの①~⑦のグラフから分かるように,y=d(xp)+gのグラフが下に凸の場合, ・区間α ≦x≦B における最小値は, x=pが区間内にあれば, 頂点のy座標 q そうでなければ,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの小さい方 ・区間α ≦x≦B における最大値は,区間の端点での値f(α), f (B) のうちの大きい方 である。結局,「最大値や最小値になる可能性のある点は,頂点と両端点の3つのみ｣であるから, 「頂点のy座標(頂点が区間内にあるとき), および区間の端点のy座標からなる3つのグラフを描い ておき,最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小 値のグラフである｣ これは, グラフが下に凸な場合のみならず, 上に凸な場合についても成り立つ. 解答 y=f(x)のグラフは上に凸である.f(z)=-(x+2)²−2(a≦x≦a+4) であるから、頂点の座標がa≦x≦at4 にあるとき (as−2≦a+4), 6≦a≦2のとき, M(α)=f(-2)=-2 すなわち, それ以外のとき, M(α)=max{f(a), f(a+4)} つぎに f(x) の最小値は定義域の端点で取るから, m (a)=min{f(a), f(a+4)} ここで, f(a)=-(a+2) 2-2 f(a+4)=-{(a+4)+2}2-2=-(α+6) ²-2 であるから, b= f(a), b=f(a+4) のグラフは図1のようになる. よって, b=M(α), b=m(α) のグラフは, 図 2, 図3の太線である. bto 図3 bto 図 2-6 -2 1 -6 -4 -20. a M. -6 b=f(a+4) b=f(a) b=-2 b=-(a+2)²—2 b=-(a+6)-2 a -2 -6 -4 b=-(a+2)²X -2 max {p,q}は,pg のうちの大 きい方 (小さくない方) の値を表 (1 < す (min{p,g}は,p,gのうち の小さい方 (大きくない方) の値 を表す) MAR -6 ←一般にb=f (a+4) のグラフは, b=f(α)のグラフをα軸方向に -4だけ平行移動したものである. (p.32, 51) MX-2-5 b=-(a+6)²-2 08 演習題(解答は p.57 ) (ア) f(x)=x2+2x+2a≦x≦a+1における最大値をM, 最小値をm とする。 | のとき最小値 M-m=1を満たすaの値は であり, M-mはa= をとる。 2次関数のグラフ ち書き、その交点! (星城大 一部省略) (イ)/ 関数f(x)=x2-2xla≦x≦a+1 (a≧0) における最大値g(α)を求めよ. またg(α) を最小にする α を求めよ. (明星大) (ア) 7,08 のどちら の解法で解いてもよい ろう. (イ) 最大値の候補を活 用しよう. 4

超簡単な対称移動の問題です。答えも解説も全て載ってます👍🏻👍🏻 解答１解答2があると思いますが、この答えは答える時平方完成の式でも平方完成をする前のy=ax²+bx+Cの式でも正解なのでしょうか？？？

例題 34 対称移動 放物線 y=x2-2x+5 を、 次のものに関して対称移動した放物線の方 程式を求めよ. (1) x軸 [考え方] x軸対称 解答2(1) (x,y) (2) y軸 Focus y軸対称 Her y) (x,-y) 解答 1 y=x²-2x+5=(x-1)*+4 (-x, y) より,頂点は点(14) で下に凸の放物線である. (1) 頂点が (1,4) (1, -4) で上に凸となる. よって, (2) 頂点が (1,4)→(-1,4) で下に凸となる. よって, y=(x+1)2+4 (3) 頂点が (1,4)→(-1, -4) で上に凸となる. よって, y=-(x+1)^-4 y=-(x-1)²-4 (3) 原点 軸に関して対称移動y を -y におき換える. -y=x²-2x+5 より. y=-x²+2x-5 (-x-y) (2) y軸に関して対称移動 x を xにおき換える. y=(-x)-2(-x)+5 より, y=x2+2x+5 (3) 原点に関して対称移動 x をx, y を -y におき換 える. y=(-x)-2(-x)+5 より, y=-x-2x-5 X 軸対称・・・ を -y におき換え ****** 原点対称 各軸や原点に関する2次関数のグラフの対称移動 ① 頂点の移動と、凹凸の変化 >例題 34 のように、 答えは標準形でも一般形でもよい。 y軸対称・･・ xをxにおき換え ****** 原点対称･･ x-xをy におき換え 2 (3) **** Exk AV 放物線y=3x-6x-7 について 次の問いに答えよ. 34 (1) x軸、y軸, 原点に関して対称移動した放物線の方程式をそれぞれ求めよ。 に関して対称移動した放物線の方程式

二次関数の問題です。解き方が分かりません。教えていただけると幸いです…

99 2次関数 y=-x2+2x+2 (a≦x≦a+1) の最大値を. 次の各場合につい て求めよ。 (1) a<0 JA 3 2 a+1 (2) 0≦a<1 YA 3 (3) 1≦a YA 3 れ

高一の数1の二次関数の問題です😭 わかる方教えてください😣

④y=-(x+2) 2 -4 06 x y *** ... -3 -2 -3 -2 -1 0 1 2 「 頂点 (0,4 軸 向き に凸 y=-x2の グラフを 軸方向に だけ 平行移動した

二次関数なのですが問題の言っている意味がよくわからなくて解けないです、💦 どなたか教えてください🙇🙇

[y=-f(-x)] STEPA 129 次の2次関数のグラフをかけ。 また, その放物線は上に凸, 下に凸のどちらで あるか。 (1)y=-3.x² 2 (2) y = ²/3x² (3) y=- 3 x² 130 次の各点をx軸方向に 2,y 軸方向に-3だけ移動した点の座標を求めよ。 また、この移動によって, 次の点に移される点の座標を求めよ。 *(1) (3, 5) (2) (-1,2) *(3) (-3, -4) (4) (1, -1)