重要例題)114 f(n)an= b, とおく漸化式
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ。
an
(2) ai=2, nan+1=(n+1)an+1
an+1
n+1
U
基本 95,103
CHART O
S
lOLUTION
an+1, Qn の係数がnの式の問題では, an+1, an の係数がそれぞれ f(n+1)
f(n)となるように式変形をする。
an+1の係数が
n
となっている。
1
(1) 与えられた漸化式は, anの係数が
両辺に n(n+1)を掛けることで
an+1
an
(n+1)an+1=nam
n
n+1
an の係数が n, an+1 の係数が(n+1) となる。
(2)(1)と同様に両辺をn(n+1)で割ると
an+1
an
man+1=(n+1)an+1
n+1
n
(解答
(n+1)an+1=nan
(1) 両辺に n(n+1)を掛けると
bn=nan とおくと
また,b=1·ai=1 から bn=bn-1=……=Dbi=1
bn+1=bm
bn+1=(n+1)an+1
bn_1
したがって
bn=1
よって
anミ
n
n
(2) 両辺を n(+1)で割ると
An+1
an
1
1n(n+1)キ0
n+1
n
an
bn=
n
とおくと
bn+1= bn+
an+1
n+1
bn+1=
1
bn+1-b,=-
1
n+1
また め=4=2
ゆえに
ai
1
1
1
n
n
n+1
よって, n>2 のとき
b。ーか+一-2+(1-)-3--
n-1
*数列(bn+1-b) は, 数
列{b)の階差数列。
k=1、k
b=2 であるから,この式は n=1 のときにも成り立つ。
ゆえに
bn=3--(n21)
よって
an=nbn=3n-1
n
