極限の存在を判定して極限が存在すれば極限値も答える問題です。僕の解答はこれで正しいですか？ 3枚目の答えと解答が異なっていたので教えて欲しいです

xy² (3) lim (x,y)→(0,0) x² + y²+ y¹

黄色でマーカーを引いた所の意味が分からないので教えてください🙇🏻‍♀️⋱

基本 89 例題 52 関数の極限 (4) ・・・ はさみうちの原理 00000 [3x] x 次の極限値を求めよ。 ただし, [x] は x を超えない最大の整数を表す。 (1) lim (2) lim (3*+5*) 1 x18 0.82 項目 基本 21 指針 極限が直接求めにくい場合は、 はさみうちの原理 (p.82 ①の2) の利用を考える。 (1) n≦x<n+1 ( は整数) のとき [x] = n すなわち [x]≦x<[x]+1 よって [3x]≦3x<[3x]+1 この式を利用してf(x) [3x]≦g(x) x (ただしlimf(x) = limg(x)) となるf(x), g(x) を作り出す。 なお、記号 [ ]はガ ウス記号である。 x→∞ (2)底が最大の項5" でくくり出すと(+5 (1/2)^1^(1/2)+1}* 1 = = (1/3) の極限と {(12/3) +1} の極限を同時に考えていくのは複雑である。そこで. はさみうちの原理を利用する。x→∞ であるから, x1 すなわち 01/12 <1と考 えてよい。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち (1) 不等式 [3x]≦3x<[3x]+1が成り立つ。 x 解答 x>0 のとき,各辺をxで割ると [3x] [3x] 1 ≤3< + x x x [3x] 1 1 ここで,3< + から [3x] 3- x x x x よって 3-1[3x] ≤3 x x lim (3-1) =3であるから [3x] lim =3 x→∞ x はさみうちの原理 f(x)Sh(x)g(x) T limf(x) = limg(x)=α X-1 ならば limh(x)=α 888 2章 関数の極限 x-x (2) (3*+5*)*=[5*{( 3 )*+1}}*=5{(3)*+1}* x→∞であるから,x>10<<1と考えてよい。 x 底が最大の項5でく くり出す。 このとき{(1)+1}°<{(号)+1F <{(12) +1(*) 4>1のとき,a<b すなわち 1<{(1)+1}*<(1) +1 ならば A°<A lim x→∞ {(1/2)+1} =1であるから 1であるから (2) +1-1 lim +1>1であるか ら, (*) が成り立つ。 x→∞ よって lim("+5) -lim5{(2x)+1} =5・1=5 x→∞ 練習 次の極限値を求めよ。 ただし,[]はガウス記号を表す。 052 x+[2x] (1) lim x→∞ x+1 (/)+(2)72 (2) lim{(3)*+(3)*}* p.95 EX 37、

チャート22の⑴の問題の解法がよくわかりません。どなたか詳しく説明していただきたいです。

44 基本(例題 22 数列の極限 (5)･･･ はさみうちの原理 2 nはn≧3の整数とする。 000 200円 (1)不等式が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 (2) lim- n→∞ 2n 6 il ・の値を求めよ。 指針 (1) 2"(1+1)" とみて, 二項定理を用いる。 (a+b)"=a+nCam-16+nCza”-262+....+nCn-1461+6 (2) 直接は求めにくいから、前ページの基本例題 21同様、はさみうちの原理 いる。 (1) で示した不等式も利用。なお, はさみうちの原理を利用する解答の について,次ページの注意も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 基 (1) (1) n≧3のとき 解答 2"=(1+1)"=1+1+nCz+......+nCn-1+1 z1tn+1/21n(n-1)+1/3n(n-1)(n-2) M 5 = -n³ + 6 mil 6n+1>= 6 よって2">1/3 (2)(1)の結果から よって 6 n lim=0であるから n=1,2の場合も は成り立つ。 42"≥1+C+C 成立はカラ き。) 6 0-12 V V ●各辺の逆数をと 6 n > る。 12-0027 =0 ® はさみうちの I はさみうちの原理と二項定理 検討 はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として 理が用いられること 個題のよう

(２)から全体的の流れがよく分からいのと３枚目の写真のまるで囲った式の変形がよく分からないので教えて欲しいです🙏

(1) 次の極限を求めよ. 1 lim n→∞ log n (1+1/2 1 ること + +· 3 n (2) 関数 y=x(x-1)(x-2)(x-n) の極値を与えるxの最小値をπnとす を冷め る。このとき 1 1 1 1 +- +・・・+- In 1-xn 2-xn n-In および0mm = 1/12 を示せ. (3) (2) の xn に対して, 極限 limxnlogn を求めよ. n→∞

（2）数学的帰納法を使うとどういう回答になりますか？

基礎問 45 はさみうちの原理(Ⅱ) 数列{an} は 0<a1 <3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ... をみたす ものとする。このとき,次の(1),(2),(3)を示せ. (1) n=1,2,3, ･･･ に対して, 0<an<3 よって, n≧2 のとき, 3-a.<(3-an-)<()(-a)<<()(3-a) 78 79 \nl (2) n=1,2,3, に対して, 3-an≦ (3) liman=3 精講 11-0 (1) 漸化式から一般項を求めないで数列の性質を知りたいときま ず数学的帰納法と考えて間違いありません。 (B (2)これも (1) と同様に帰納法で示すこともできますが、 「台」を 「=」としてみると,等比数列の一般項の公式の形になっています。 (3)44 のポイントの形になっています。ニオイプンプンというところでしょう。 解答 (1)0<a<3………①を数学的帰納法で示す. mir (i) n=1 のとき, 条件より 0<a< 3 だから, ① は成りたつ. (ii)n=k(k≧1) のとき, 0<ak <3 と仮定すると, 1 <ak+1<4 .. 1<√1+ak<2 n=1のときも考えて, 3-ans \n-1 (3-a) (3)(1),(2)より 0<3-ans()(3-as) 前に不等式証明 あるので匂いプンプン 11-00 ここで, lim はさみうちの原理より (3- = 0 だから, 42 lim (3-am)=0 liman=3 参 考 43 でグラフを利用して数列の極限 を考えました.今回は, 38の復習も 兼ねて, グラフで考えてみます。 (a) y=x as aa y=f(x) y=f(x)=1+√1+x と y=xのグラフを かき, α1 を 0<x<3 をみたすようにとれば, a2, a, ・・・と, どんどん3に近づいていく様 子が読み取れるはずです . (an) d a 3 10 I ポイント 一般項が求まらない数列{an} に対しても lima は, 次の手順で求めることができる ① anのとりうる値の範囲をおさえる 第4章 両辺に1を加えて 2<1+1+ <3 .. 2<ak+1 <3 よって, 0<ak+1 <3 が成りたつ. (i), (ii)より, すべての自然数nについて ① は成りたつ. (2) an+1=1+√1+an3-an+1=2√1+αn まず,左辺に3+1 (右辺)= (2-√1+am)(2+√1+αn) 2+√1+an をつくると (1)より,1<√1+am<2の両辺に2を加えて3<2+√1+an <4 両辺の逆数をとって1/1 3-4 >0 だから, 2+√1+an 3 3-a (3-an) 2+√1+an3 ∴.3-an+1 < ÷(3- ② liman(=α) を予想する →80 ③ |an+1-α|≦klan-α (0<k<1) の形に変形し て, はさみうち 3-an 2+√1+an <右辺にも3-αがでて くる 演習問題 45 xn²+2 √2+1= 1, 2, ...) で表される数列{rn} に 2.xn ついて 次の(1),(2),(3)を示せ. (1) √2+1<In (2) n+1-v (2) (3)lim=√2 8012

(2)の問題、答えの解説して欲しいです、、

練習 次の極限値を求めよ. ただし, n は自然数とする. 12 n (1) lim *** →∞ 3" 解説を見る 3" 33333 3 (2) = . n! 1 2 3 4 5 n より, n≧4のとき, 0< 3" 333/3-3 9/3\n-3 = n! 123 ここで、 <1より、 2 21780 lim (2) 9/3\ -3 =0 よって, ①,②とはさみうちの原理より, 3" lim non! (2) lim 3" →∞ n! p.61 77 ・① 3 n 書込開始

物理の重心を、おもりを吊るした糸を利用して重心の位置を求める実験で、「なぜ2本の直線の交点が重心なのか」の説明を教えてほしいです🥹分かりそうで分かりません🙏🏻

物体の重心の位置を調べる。 準備 厚紙,糸(長さ30cm程度), おもり(硬貨など), 定規, カッターナイフまたははさみ,千枚通し 方 法 (1) 厚紙を好きな形に切る。 糸の一端におもりを付ける。 糸 結び目 (2) 図のように切り取った厚紙の適当な位置 (端の方がよい)に糸が通る 程度の穴を開け、途中に結び目を作った (1) の糸を通し, 厚紙をつるす。 (3) つるした糸の位置に沿って, 厚紙の上に直線を引く。 (4) 別の位置に穴を開け,(2),(3)を行う。 この2本の直線の交点が重心である。 質問1 3本目の線はどこを通るかな? 質問2 求めた重心の位置で物体を支えられるかな? 質問3 なぜ2本の直線の交点が重心なのか説明しよう。 ⅣV 物体の重心2 おもり 図3

ガウスを不等式の中に入れてるのってどういう意味ですか？

基本 例題 23 数列の極限 (6) ・・・ はさみうちの原理 3 △ 45 ①①① (1) 実数x に対して[x]をm≦x< m+1 を満たす整数とする。 このとき, [102] lim 102m を求めよ。 (2) 数列{an) の第n項 α7 はn桁の正の整数とする。 このとき, 極限 [山梨大) logio an lim を求めよ。 72 [広島市大〕 基本21 指針 この問題も、極限が直接求めにくいので、はさみうちの原理を利用する。 (1) [x] をはさむ形を作る。 x]はガウス記号であり (「チャート式基礎からの数学 I+A」 p.121 参照) [x]≦x< [x]+1 が成り立つ。 これから (2) α は n桁の正の整数 10" 'Man<10" (数学ⅡI) (1)任意自然数nに対して, [102] 10°"z<[10%"z]+1 102-1< [102]≦102 1 [102] < 10²n 102n x-1<[x]≦x <[x]≦x<[x]+1 2章 ③数列の極限 2限 [102] をはさむ形。 から 解答 よって 1 limπ 201 102πであるから [102] lim π はさみうちの原理。 102n 12-00 (2) α は n桁の正の整数であるから 各辺の常用対数をとると 10"-1≦an<10" n-1≦10g10an<n 10g1010=n よって 1 log10 an <1 n n lim (1-1) =1であるから lim log10 an 1 はさみうちの原理。 12-00 n 7→80 注注意 はさみうちの原理を誤って使用した記述例 例えば、前ページの例題22の解答で, A 以降を次のように書くと正しくない答案となる。 0<<6 Aから n² 0<lim- <lim → 2 6 n =0 よって lim n2 =0 2 [説明] はさみうちの原理は 818 an≦cn≦bn のとき lima= limb = αならば limc=α →80 n00 これは, 「acn≦bn が成り立つとき, 極限lima, limb が存在し, それらがαで一致する ならば,{c}についても極限limc が存在し, それはαに一致する」という意味である。 72700 72100 において, 存在がまだ確認できていない極限lim を有限な値として存 上の答案では, 在するように書いてしまっているところが正しくない。 正しくは、 前ページの解答のA, B のような流れで書く必要がある。 n² 11-00271 練習 実数 α に対してαを超えない最大の整数を [α] と書く。 [ ]をガウス記号という。 23 (1) 自然数の桁数kをガウス記号を用いて表すと, k =[[ ] である。 (2)自然数nに対して3”の桁数を km で表すと, lim- kn 12-00 n "である。 [慶応大]

（3）について （1）より、のあとどっから出てきた値ですか？ どう出てきたか分からないので教えて欲しいです。 また、どうやって赤色の式を立式したのか。 立式後の計算過程はわかるのですが、 最後の1文の式も理解出来ません。 多いですが全て教えて欲しいです。

政宗 3 単調 基本 例題 019 有界で単調減少する数列の極限 次の条件で定められる数列{an} について,以下のことを示せ。 ★★ [基本 a>2 この 1 a=2, an+1= an an 2) =(a+) (n=1, 2, 3, ....) (1) すべてのnについて an≧2 (2)数列{az} は単調に減少する。 指針 (3) 数列{a} は √2 に収束する。 指針 この漸化式はニュートン法(p.96 参照) によって構成され, 近似値 2 を与える計算方法 1つである。 (1)帰納的にa>0であるから,相加平均≧相乗平均の関係を利用する。 (3) はさみうちの原理を利用して, lim an-√21=0 を示す。 12100 解答 (1) α=2>0 であり,漸化式の形から,すべての自然数nについてan>0である。 よって,相加平均と相乗平均の関係から,任意の自然数nについて 11 = 1/2 (an + 2 ) 2 1 1 · 2 √an · 2 =√2 an+1=- an an =2√2 であるから,すべてのnについて 全体 > 「or an≧√2 ord -ano (2) 任意の自然数nについて anz anti-an= 2 = (a + 2) - 2-an -an= 両認して、 2 2an (1)より, an≧√2 であるから an = 2 2. an²≤0 ゆえに 2-an≤0 anti-an 解答 よって, an+1≦an であるから, 数列{az} は単調に減少する。■ (3) 与えられた漸化式により an-√2 より 2an an+1 1 an2-2√2 an+2(an-√2)2 S an 2an 2-12 であるから 2an √2 = 1½ (an - √2) 0≤an-√2 ≤ (1) (a-√2) よって lim (1) (-√2)=0であるから 1\n-1 2an an-√2 antl 20n -(an-√2) F=/(an-2) a) - 2 ½ £ (an-√=)) ant-2FanF liman=√2 818 an an 089-2 osan- 2 参考 lin n- 0500-12