(6)での、底面の半径(線分TPの長さ？)の求め方が分からないです。御手数ですが教えていただきたいです💦

2 16 2014 年度 数学 座標平面において, 曲線 C : y: = A(√2, √2) T : T 東京理科大 理工 〈B方式 - 2月4日) 2 と直線l:y=x を考える。 また, 2点 T をとる。 ただし, t > 2 とする。 さらに, 点Tを通 り直線lに直交する直線が, 曲線Cと交わる2点のうち, æ座標が大きい方をPと KTA: MA する｡ ANTEOCS (C 標 とするとき、わを用い (1) 点Pの座標をpとするとき, pを用いてを表せ。 (2) 2つの線分 AT, PT と曲線 C で囲まれる図形を,直線ℓのまわりに1回転し て得られる回転体の体積 V(t) を求めよ。 (3) 三角形 APT を,直線ℓのまわりに1回転して得られる回転体の体積 W(t) を 求めよ。 W (t) t→2 V (t) * (4) (2), (3) T*O* V(t), W(t) KT, lim F (30) を求めよ。

下線部で、なぜ新たに商をR(x)などと置かずに、aのみで表せるのですか？ 教えてください🙏

FO CP 26 第1章 式と証明 標問 8 整式の割り算 (2) (1) 整式P(x) を (x+2) で割ると余りがx+3 であり, x+4 で割ると余 りが-3である.P(x) を (x+2)(x+4) で割ったときの余りを求めよ. (佐賀大) (2) 整式x+ax+ax+bx-6が整式 2-2x+1 で割り切れるとき α (千葉大) b の値を求めよ. ○精講 (1) P(x) を3次式で割るのですか ら、求める余りは2次以下の整式で す。 ` (2) 整式 P(x) が2次式 (x-1)^2で割り切れる ということは, P(x) が1次式 (x-1) で割り切れ, そのときの商も(x-1)で割り切れるということ です。 解法のプロセス (1) 3次式で割ったときの余り は、2次以下の整式 ↓ 余りをax+bx+c とおく (2) x-1で2回割る 解答 (1) P(x) を(x+2)(x+4) で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bx+c おくと ←余りは2次以下の整式 P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+ax+bx+c P(x) を (x+2)2で割った余りx+3 は, ax2+bx+c を (x+2) で割っ 余りでもあるから ax²+bx+c=a(x+2)2+x+3 . P(x)=(x+2)(x+4)Q(x)+α(x+2)2+x+3 P(x) を x+4 で割った余りは3であるから, 剰余定理より .P(-4)=-3 .. a(-2)²-4+3=-3 :: a =_ _1C 2 -x²-x+1=(x)) よって、求める余りは1/12(x+2) 2+2+3=-2123- (2) P(x)=xª+ax³+ax²+bx−6 ≥‡<. P(x) 7³ x²−2x+1=(x−1)² · り切れるためには, P(x)がx-1 で割り切れることが必要であり, P(1)=0 ∴.2a+6-5=0 b=5-2a av-evo このとき P(x)=x¹+ax³+ax²+(5-2a)x-6 2 = (x−1){x³+(a+1)x²+(2a+1)x+6} ......(*) よって,Q(x)=x2+(a+1)^²+2a+1)x+6 とおくと, P(x) が ◆P(x) は (x-1)を因数 0830

なぜ、この問題において余りをaＸ＋bとしているのですか？【1】

00000 基本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) 【近畿大 (1) 整式 P(x) を x-1 で割ると余りは5,x-2で割ると余りは7となる。 とき,P(x) をx²-3x+2で割った余りを求めよ。 (2) 整式 P(x) x²-1で割ると4x-3余り, x2-4 で割ると3x+5余る。この とき,P(x) をx+3x+2で割った余りを求めよ。 重要 55 指針 P(x) が具体的に与えられていないから、実際に割り算して余りを求めるわけにはいかな い。 このような場合, 割り算の等式 A = BQ+R を利用する。 ···· 特に、余り R の次数が割る式 B の次数より低いことが重要なポイント! 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける 条件から,このa,bの値を決定しようと考える。 それには、割り算の等式 A=BQ+R^ で, B=0 となるxの値 (これを●とする) を考えて, P(●) の値を利用する。 CHART 割り算の問題 解答 (1) P(x) をx²3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x), 余りをax+bとすると、 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b 条件から ゆえに ゆえに (2) P(1)=5 P(2)=7 ①,②を連立して解くと よって, 求める余りは Bf.) + 基本等式 A=BQ+R 1R の次数に注意 ② B = 0 を考える a+b=5 .... 1 2a+b=7 ...... する a=2, b=3 2x+3 基本 52 ******** 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 <B=(x-1)(x-2) 剰余定理。 またの 両辺にx=1 を代入する と P(1)=a+b

線で囲ってある部分について質問です。 なぜ商が定数になるのですか？

112 第2章 高次方程式 Check 例題 54 剰余定理(2) 整式 P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1, x-1 で割ると余りは 11のとき,P(x) を x-1 で割った余りを求めよ. (東京電機大改) STOLOM (1 %) ²0 [考え方 P(x) を2次式x+x+1で割った商をQ(x) とすると、余りはx+1. この商をさら にx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数αとして, P(x) を考える. ここで,P(1)=11 となることから,定数aの値を求める. 解答 Focus P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると,余りは x+1 より, P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1 ① さらに,Q(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 αとすると, Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ..2 ②を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 =(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 =(x-1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 P(x) をx-1で割ると余りは11より, P(1)=11 したがって, ③より, P(1)=a(12+1+1)+1+1=11 よって, 求める余りは, a=3 3(x2+x+1)+x+1=3x²+4x+4 P=BQ+R 商のQをさらに割ってみる *** .....3 R(x)=a(x2+x+1)+x+1 ここで②① に代入してP(x) を考えてもよい. ...... 1次式で割ったとき の余りは定数 注> P(x) を x-1=(x-1)(x2+x+1) で割った商をQ(x), 余りをR(x) (2次以下)とす ると, 剰余の定理 P(x)=(x-1)(x2+x+1)Q(x)+R(x) ・・・・・① さらに,R(x) を x2+x+1 で割った商を定数aとすると,余りはx+1 より, ·②

なぜここでは商のQ(x)を更にx－1で割ってるのですか？

Check! 例題 56 剰余定理(2) CIBOA *** 整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1,x-1で割ると 余りは11のとき, P(x) を x-1で割った余りを求めよ. (東京電機大・改) 考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である」 "{S+(S-x)}(S) P(x)=(x²+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 Poal beh =(x-1)(x²+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1となる。焼 1 解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは x+1 より, ^ (1) 46 + - = (1) J P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1° ...... ① (8) A さらにQ(x) をx-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 a とすると, ? Q(x)=(x-1)Q'(x)+α ...... ② ② を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 P(x) を x-1で割ると余りは11より, したがって ③より. =(x-1)(x²+x+1) Q'(x)+ a(x²+x+1)+x+1et =(x-1)Q'(x)+α(x²+x+1)+x +1 ..... ③ "(SŤ (S) P(1)=11 P(1)=α (12+1+1)+1+1=11 43 a=3 よって, 求める余りは, 3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4 1次式で割ったときの 余りは定数 BRE 剰余の定理)

(2)で、p(1)、p(2)ではダメな理由が知りたいです。🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

88 基本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1) (1) 整式P(x) をx-1で割ると余りは5,x-2で割ると余りはと *-* とき,P(x) をx-3x+2で割った余りを求めよ。 + XD- (2) 整式P(x) x-1で割ると4x-3余り, xー4で割ると3x+5余る。 とき,P(x) をx2+3x+2で割った余りを求めよ。 + "xD+ CHART 割り算の問題 バカにされていないかの漁を求めるわけ い。このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。 2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+6 とおける。 特に, 余り R の次数が割式B の次数より低いことが重要なポイント! 条件から、このa,b の値を決定しようと考える。それには、割り算の等式 A=B0% で, B=0 となるxの値 (これを●とする)を考えて, P(●) の値を利用する。 CROSSISTENT P(1)=5 P(2)=7 ①,②を連立して解くと 条件から 解答 (1) P(x) をx2-3x+2 すなわち (x-1)(x-2) で割ったとき の商をQ(x), acf 余りをax+bとすると, 次の等式が成り立つ。 P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+bB=(x-1)(x-2) 基本等式 A=BQ+R ① R の次数に注意 2 B=0 を考える ゆえに ゆえに ①から P(-1)=-7 ② から P(-2)=-1 ③,④を連立して解くと a+b=5 2a+b=7 a=2, b=3 よって, 求める余りは 2x+3 (2) P(x) をx2+3x+2 すなわち (x+1)(x+2) で割ったとき 商をQ(x), 余りをax+b とすると,次の等式が成り立つ。 P(x)=(x+1)(x+2)Q(x)+ax+b また, P(x) を x2-1, x2 - 4 すなわち (x+1)(x-1), P(x)=(x+1)(x-1)Qi(x)+4x-3 P(x)=(x+2)(x-2)Qz(x)+3x+5 0000 ...... 11 ② 練習 (1) 整式 P(x) x+2で割った ② 253 をx2 (x)q 基本52 これとイから -a+b=-7 これとイから -2a+b=-1 a=-6, b=-13 - ■2次式で割った余りは、 1次式または定数。 (x+2)(x-2)で割ったときの商をそれぞれ Qi(x), Qz(x)と)には,P(-1), P(-2)が すると 要。 そこで, ①,②にそれ ① 20ぞれx=-1, x=2を代 入する (3) 整式 ペーシ この。 剰余定理。 また,⑦ 両辺にx=1 を代入する と P(1)=a+b 割り算の基本 2次式で割った余りは, 1次式または定数。 &B=(x+1)(x+2) q a,b の値を決定するため ます 余り ズ ......st 求める余りは-6x-13 S>NTJES

x²-2x+3がx=1+√2iのとき0になるのは何故ですか？

基本例題 57 高次式の値 x=1+√2iのとき, 次の式の値を求めよ。 指針> x = 1+√2iをそのまま代入すると, 計算が大変である。 このようなタイプの問題では, 計 算が複雑になる要因を解消する手段 (次の手順 ①,②)を考える。 [ ① 根号と虚数単位をなくす] x=1+√2iから x=1+√2のとき, = 0 L1次以下 x=1+√2i を代入すると,右辺は0.Q(1+√2)+R(1+√2) となり, 1次式の値を求めることになる。 CHART 高次式の値 次数を下げる 解答 両辺を2乗して x=1+√2iから x-1=√2i 整理すると x2-2x+3=0 ① P(x) を x2-2x+3で割ると, 右のようになり 商x2-2x-5, 余り 2x+8 PULSA である。よって ! x=1+√2のとき, ① から 練習 x-1=√2i この両辺を2乗すると (x-1)=-2 ← 根号とiが消える [②] 求める式の次数を下げる] (x-1)=-2を整理すると x2-2x+3=0 P(x) すなわち x-4x3+2x2+6x-7をx²-2x+3で割ったときの商 Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式 (恒等式) が導かれる。 P(x)=(x2-2x+3)Q(x)+R(x) P(x)=(x2-2x+3)(x2-2x-5)+2x+8 別解 ①まで同じ。 ①から よって ゆえに よって 57 P(x)=x^-4x3+2x2+6x-7 P(1+√2i) =0+2(1+√2i) +8=10+2√2 i x= -√3i 2 0000 <x=1+√2iは①の解。 1- 検討参照。 (x-1)²=-2 x2=2x-3 x=x2.x=(2x-3)x=2x²-3x=2(2x-3)-3x=x-6 x=x3.x=(x-6)x=x2-6x=(2x-3)-6x=-4x-3 P(x)=(-4x-3)-4(x-6)+2(2x-3)+6x-7=2x+8 P(1+√2i) = 2(1+√2)+8=10+2√2i 基本8 次数を 1 -2 -5 1 2 3) 1 -4 2 6 -7 1381-2 3 -2-1 -2 4 -5 -5 RE げる 章 剰余定理と因数定理 6 -6 検討 恒等式は複素数でも成り立つ 複素数の和・差・積・商もまた複素数であり,実数と同じように,交換法則・結合法則・分配法 則が成り立つ。 よって,恒等式に複素数を代入してもよい。 したがって, P(x)=(x2-2x+3)(x-2x-5)+2x+8にx=1+√2i を代入してもよい。 93 12 -7 10 -15 2 8 DE THIH のとき, x+x4-2x3+x²-3x+1の値を求めよ。 p.94 EX41 2章 10

この解き方じゃダメな理由を教えて欲しいです よろしくお願いします🙏

0000 -3x+70a を求めよ。 53 ける。 1)(x-2)で 余りを考える。 つった余りは、こ 式または定数。 かりを見つける。 下の練習50 有効である。 割ったときの すると、 2) Q(x) -2) +R(x) +al+R(x) を代入。 がらであ 電機大) 重要 例題 55 高次式を割ったときの余り 000 (1)を2以上の自然数とするとき､x-1 を (x-1)" で割ったときの余りを求 【学習院大) (2) 3.x+2x7 +1をx+1で割ったときの余りを求めよ。 実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。 .88~90 でも学習したように､ ① 割り算の問題 等式 A-BQ+R の利用 Rの次数に注意 B=0 を考える がポイント。 (1) (2) ともに割る式は2次式であるから、余りは ax+b とおける (1) 割り算の等式を書いてx=1 を代入することは思いつくが、それだけでは足りない。 そこで、次の等式を利用する。 ただしnは2以上の自然数 α=1,0=1 a”—b²=(a−b)(a +a*b+a b²+ + ab + b¹) (2)x+1=0の解はx=± x=iを割り算の等式に代入して、 複素数の相等条件 A. B が実数のとき A+ Bi=0A=0.B=0 を利用。 (1)x1(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+b (1) 二項定理の利用。 とすると、次の等式が成り立つ。 x-1={(x-1)+1}"-1 x-1=(x-1) Q(x) +ax+b...... ① =.Ca(x-1)*+..+αCa(x-1) +Cl(x-1)+1-1 =(x-1)^{(x-1)^2+..+*C2) 両辺にx=1 を代入すると ① に代入して x-1=(x-1)* Q(x)+ax-a 0=a+b すなわち b=-a =(x-1){(x-1) Q(x)+α} ここで、x-1=(x-1)(x-1+x+.・.・.・+1) であるから +++1=(x-1)Q(x)+a この式の両辺にx=1 を代入すると 1+1+ ······ +1=a b=-αであるから ゆえに、求める余りは nx-n (2) 3x+2x+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b (a,b は実数) とすると､次の等式が成り立つ。 x+2x+1=(x+1)Q(x)+ax+b 両辺にx=i を代入すると 31¹00+21+1=ai+b it = (r)=(-1)=1, = (r) i=(-1)*i=i であるから 3-1+2i+1=ai+b 4+2i=b+ai すなわち a b は実数であるから したがって、求める余りは 基本 53.54 bn a=2, b=4 2x+4 ¥55 (2)x+4で割ったときの余りを求めよ。 +nxn ゆえに、余りはnx-n また、(x-α)の割り算は微 分法(第6章)を利用するのも 有効である (p.305 重要例題 194 など)｡ 微分法を学習す る時期になったら、ぜひ参照 してほしい。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 実数係数の整式の割り算で あるから、余りの係数も当 然実数である。 以上の自然数とするとき､ x を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。 Cp.94 EX39 91 2章 10 剰余の定理と因数定理

分からないので教えてください。群論です。

(1) 加法群の部分群は巡回群であることを示せ . (2) 以下の群 G1, G2, 3, G4 巡回群かどうかを理由をつけて答えよ. (a) G1 は加法群 R の部分群で、 18 と 200 で生成される群. (b) G2 は加法群 R の部分群で, V20 と 200 で生成される群. (c) G3は4次対称群 S4 の部分群で,2つの互換 (12), (34) で生成される群. (d) G4 = Z/2Z × Z/3Z.

書いてあることが分かりません。噛み砕いて教えて欲しいです🙏

Check! 例題 56 剰余定理(②2) *** 整式P(x) を x2+x+1 で割ると余りはx+1, x-1 で割ると 余りは11のとき, P(x) を x1で割った余りを求めよ. (東京電機大改) 考え方 x-1=(x-1)(x2+x+1) である。"{S+(S-x)} P(x)=(x2+x+1)Q(x)+x+1,Q(x)=(x-1)Q'(x)+α とおくと,4より P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1のPC (2)=(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 となる。 xxx +3 8420 ps & 解答 P(x) を x2+x+1 で割った商をQ(x) とすると、余りは 1 x+1 より. P(x)=(x²+x+1) Q(x)+x+1S......S=(S) 9 さらに,Q(x) を x-1で割った商をQ'(x), 余りを定数 aとすると,(-2)-(-2)+(-2)^+4=0 S + ( + ) 1 0 a=3 よって, 求める余りは, Q(x)=(x-1)Q'(x) + a2+z)Sm& .....(z) ② を①に代入すると, P(x)=(x2+x+1){(x-1)Q'(x)+α}+x+1 (2) P(x)=(x-1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 ……③ P(x) をx-1で割ると余りは11より, P(1)=11 * { s + (S-剰金の 剰余の定理 (28) +"(S-*) したがって、③より 0P(1)=a(12+1+1)+1+1=11 =(x-1)(x2+x+1)Q'(x)+α(x2+x+1)+x+1 とたるものであく 焼 Donos +2x+6 3(x2+x+1)+x+1=3x2+4x+4 1次式で割ったときの 余りは定数 約 BHS XD (7) 10 Jp12.50