284 第7章 数列
練習問題 5
(1) 次の和を計算せよ.
(i) Ź (k²+2k+3)
(2) 次の和を計算せよ.
(i) 1².2+2².3+·····+n²(n+1)
(ii) 1·n+2.(n-1)+3· (n − 2) + +n·1
精講
「多項式」で表されるような数列の和を, 効率良く計算することがで
和の公式 ①~④と和の法則を組み合わせることで,一般項が「kの
きます.ただし, シグマを「分配」 することができるのは, 数列の「和」のと
きだけですので, 「積」 の場合は
n
k=1
のようにシグマを分けることはできません. 一般項に積が含まれている場合は、
まず式を展開して和の形にしてから,シグマを「分配」してあげます。
解答
和の公式
n
2ab₂ = ªx 2b₂
ak
k=1
k=1
k=
n
n
(1Xi) (k²+2k+3)= Σk²+2k + 23 和の性質 ④
k=1
k=1
和の性質 B
(ii) (3k-1)²
=
k=1
n
k=1
k=1
3
n
= Σk² +2k+3Σ1
k=1
k=1
n
=9. • n(n+1
n
-n(n+1) (2n+1) +2• n(n+1
-n{(n+1)(2n+1)+6(n+1)+18}
-n (2n²+9n+25)
n(2
× できない
k=1
(ii) Σ (3k-1)² = Σ (9k² −6k+1)<EHLCHOEEKFZ
展開して和の形を
k=1
k=1
作る
n
=9Σk²-6Σk+Σl 和の性質 A, B
k=1
n
k=1
-n(n+1)+3n
n(n+1)(2n+1)-6･
-n(n+1)(2n+1)-3n(n+1)+n
•6• _—_n(n+1)+n<
訓でくくる
和の公式
12/2でくる
(2Xi
=1/11n{3(n+1)(2n+1)-6(n+1)+2}=n(6n²+3n-1)
