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(3)四面体 OABC の体積を求めよ。 △計ミ
[13 福井大 教育地域科学 ]
183. 〈座標空間における垂線の足の座標〉
足の座標
1/6
原点を0とする座標空間に, 3点A(1, 0, 0),B(0, 0, 2), C(-2, 1, 3) がある。
7/13X
=AQ
48 12 ベクトル
必解 182. <四面体の体積とベクトルの内積〉
四面体 OABC の各辺の長さをそれぞれ
7/5 9/130
AB=√7,BC=3,CA=√5,OA=2,OB=√3OC=√7
とする。 OA=d, OB = 1, OC = とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積,c,d を求めよ。
(
(S))
(2) 三角形 OAB を含む平面をαとし, 点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点を
Hとする。このとき, OH をà, 方で表せ。 X
ゆえに、四面体 OABCの体積は 1/2×△OAB×ICH|=
指針 183 〈座標空間における垂線の足の座標>
(1) ∠B が鈍角ならば cos ∠B <0
(2)Hは直線BC上 OH = OB+tBC (tは実数) と表せる
AH BC0 から を求める。
(3) △OAH=
2
OAMOHF-(OA・OH)
(1) BẢ=(1−0, 0–0, 0−2)=(1, 0, −2),
BC=(-2-0,1-0, 3-2) = (-2, 1, 1),
|BA|=√12+0°+(-2)^=√5, |BC|=√(-2)2+1+1=√6,
BA・BC=1×(-2)+0×1+(-2)×1=-4
BA-BC
4
よって
cos B=
<0
|BA||BC|
√30
(1)△ABCにおいて,∠Bはより大きいことを示せ
(2)点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする。 点Hの座標を
求めよ。
(3)△OAHの面積を求めよ。 X
■184. 〈球に内接する四面体の体積の最大値 7/7 9114
したがって <B>
(2)Hは直線BC上にあるから, OH = OB+tBC (tは実数と表
すことができる。
◆Hは直線 BC
5 BH=1BC
と表される。
[12 九州大・文系]
よって OH (0, 0, 2)+t(-2, 1, 1)=(-2t, t, t+2) ......
AH-OH-OA=(-2t-1, t, t+2)
・①
よってOH=
したがって
AH・BC=(-2t-1)×(-2)+t×1+(t+2)×1
= 6t+4
とる。
A
(1)△ABC の面積を求めよ。 Q
座標空間内の球面 x2+y2+22=9上に3点A(3, 0, 0), B2, 1, 2), 1, 2, 2) を
AH BC より AHBC = 0 であるから
6t+4=0
-183Rも同じだか
ゆえに t=
t = -2/3
(2)3点A,B,Cを通る平面に, 原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体 PABC を考え,その体積をVとする。Vの
最大値と、 そのときの点Pの座標を求めよ。
[ 14 同志社大 ]
よって,①から OF = (13一号
したがって,点の座標は (1413 - 11/3)
(1)より,△ABCにおいて,<B>であるから
OHの成分
一致する。
<Bから
