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Mathematics Senior High

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解答 (ア)2 (カ) 1 (イ) 1 (ウ) 2 程式の解の個数) (エ) 0 54. よって sin22x 2 ◇◆思考の流れ ◆◇ |sin2x=f(k) のとき,単位円とy=f(k)のグラフ をかき, y=f(k) のグラフを上下に動かして、交 点の個数を調べる。 その際、xの値の範囲に注意が 必要である。 ①の両辺に sinx を掛けると 2sinxcosx-k=0 2倍角の公式により (オ)2 解答 53 三角方程式の解の個数 (カ 正の定数, 0 <x< x< とするxの方程式 2cosx- k sin²x =0...... (キ (サ ついて考えよう。 sin22x =k となる。 加 ①の両辺に sinx を掛け, 2倍角の公式を用いて変形すると 2 用 sin k> のとき, ①を満たすxの個数は エ個である。 ウ 2 sin2x = (1). =k また, 0k< -=k ...... ② 0<x<2であるから ウ ときはカ個である。 のとき,①を満たすxの個数はオ個であり,k= の 02xx 必要あり。 よって 0<sin 2x ≤1 ②から sin22x=2k 上 (2) k>05 sin 2x=√2k1 √2k > 1 すなわち km/ こは? 1 加 い の √2k とき,①を満たすxの個数 は0個である。 -1 O 1X 0 <√2k <1 すなわち 0<k< このとき, ①を満た すxの個数は2個である。 1 2 (3) sinzx=2sin85083 2sinxcosx=KS224sinxtoszX sin^2x 2 0x1/22より ②よりsin^2x=2K sin2x=2K 052K <UCK≤ ± ④ a 0.88 3, p.89 6 タイムリミット10分 ①の解の個数に 5 三角関数の合 a b を定数とす を用いて表したい。 (1) a=1,6=- (2)a=3,b=4 また, 3sinx. sina-- きる。 (3)(2)と同様 sina= at √2k =1 すなわち k=- =1212 のとき,①を満たすxの個数 は1個である。 ◎ここを押さえる! - 三角方程式の解の個数を考える場合, 範囲によっ て解の個数が変化することに注意が必要である。 例えば, 0≦x<2において sinx=k (kは定数) とすると,xの個数は -1<k<1 k=±1 のとき 2個 のとき 1個 k<-1.1<k のとき なし となる。 [参考] 方程式 sin2x=√2k (0<x<2)の解の個数は、 y=sin2x と y=√2k のグラフの共有点の個数から 考えてもよい。 y=sin2x O T 4 2 -y= √2k 別 ADA =±52 ア 2 3 92 イウ

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Mathematics Senior High

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4. 数学ⅠAⅡBC PLAN 100 7. 《放物線の平行移動 解答 (2 (イ) 5 (ウエ) -1 (オ) 4 (カキ) -1 (ケ) 2 (コ) 5 (サ) 4 (ク) 8 (セ) 4 (タ) 4 (シス) 16 ◇◆思考の流れ◆◇ 2次関数のグラフの頂点の座標は, 2次関数を平方 完成することで求められる。 また, 2次関数のグラフの平行移動については, 頂点をどのように移動しているかに注目して考える とよい。 グラフGが点(-2, 3)を通るから 3=2(-2)^+α・(-2)+6 よって b=24-5 このとき y=2x2+ax+2a-5 =2(x+1/x)+2 +2a-5 f(x)=x2+2a-3)x2+3+5 =(x+(a-3))-(a-3)2-a2+3a +5 =(x-(3-a))-2a2+9a-4 よって, y=f(x)のグラフの頂点のx座標は p=3-a > 0 であるからp=3-a<3 [1] 1≦x≦5 におけるf(x) の最小値がf (1) となると き, 軸について 3-1 よって [2] 1≦x≦5におけるf(x) の最小値がf (p) となると き,軸について 135 よって −2≦a≦2 [1] >0であるから0<a≦2 x=p 最小 +2a-5 x=1x=5 =2(x+1)-(量)}+ =2(x+2)-1+20-5 8 よって、頂点の座標は (11/2/103+20-5) 頂点 (1/10,1/202 +20-5)が直線 y=2x+3上に あるから a²+2a-5=2-(-a)+3 [1] のとき,f(1) = 0 とすると -a²+5a=0 a²-5a=0 [2] 最小 x=p x=1 x=5 ⑧⑧ 文字を含む2次関数の最小 a を正の定数とし(x)=x+2(a-3)x+3a+5 とする。 タイムリミット10分 2次関数y=f(x)のグラフの頂点のx座標を とすると,αである。 1≦x5 における関数 y=f(x)の最小値がf(1) となるようなαの値の範囲はイ である。 また、1≦x5 における関数 y=f(x)の最小値がff> となるようなαの値の範囲は as である。 したがって, 1≦x≦5 における関数 y=f(x) の最小値が0であるのはαエ または オ a= のときである。 ▷ p.13 x+(-3)3-10-6att) a²+3at5 -2a²tqu 7+ 24-6-a²-3075 -42+50 7 ≤ 3-a €5 4 a(a-5)=0 42 を満たすαの値は a=5 [2] のとき,f(p)= 0 とすると ゆえに よって 整理すると 2-20a+64=0 a=4,16 -2a2+9a-4=0 1 (a-4Xa-16)=0 2a2-9a+4=0 2 (a-4X2a-1)=0 2 →4→ -1->> 4 -8 1 -25-9€ 2 2:00-2 33-9€5 -9 a=4のとき,Gの頂点の座標は(-1, 1) また y=2x2-12x+15 0 <a≦2 を満たすαの値は 1 a=2 a≤2 -2≤9≤2 21-1 2(x-3)2-3 よって,この関数のグラフの頂点の座標は (3,3) このとき -1+p=3,1+g=3 したがって p=4,g=-4 したがって, 1≦x≦5 における f(x) の最小値が0であ るのは, α5 または α = a=1/2のときである。 2a²-9a+4=0 1.4_8 (za-1)(a-4)=0 1.4 8. 《文字を含む2次関数の最小》 解答 (ア) 2 (ウ) 2 (エ)5 (イ) (オ) 1 (カ) 2 ◎ここを押さえる! - >0のとき 2次関数f(x) =a(x-p2gの axβにおける最小値は,軸の直線x=pの 位置により次のようになる。 [1] 軸が区間の左外(p<α) のとき m = f(a) [2] 軸が区間の内 (αPB)のとき m=f(p) [3] 軸が区間の右外 (S<p)のとき m=f(β) ◇◆思考の流れ◆◇ y=f(x)のグラフの軸の位置は,4の値によって変 化する。 そのため, 軸が区間1≦x≦5 の 「左外」, 「内」 「右外」 のどこにあるかで, f(x) の最小値を とるxの値が決まる。 この問題では,軸の方程式はx=3-4 で, a>0 か ら3-a<3 よって, [1] [2] の場合のみとなる。 ア イ ウ て エ 3224 オ 2 2 2 2 2 2 8/101

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Mathematics Undergraduate

数学の整数の問題です アイウまではわかるのですがそこからがわかりません。 どなたか説明していただきたいです🙇

[29] 【数学A 整数の性質】 ( 10分( 点 / 20点) 2020 は 2020=101 x 20 と表せる。 (1) 20の倍数の判定する方法について考えよう。 すべての自然数 N は, 自然数a, bを用いて, N = 100g+b (a≧0,00せる。 100g+b= 20.5g+b であるから, 20 の倍数の判定する方法は「下の ア 当 ただし, ア 桁がイウ の倍数である」ことである。 イウにはできるだけ小さい数を答えなさい。 € 2 10- (2) 101 の倍数を判定する方法について考えよう。 ④20m まず, 8桁の自然数について考えて、1の位から2桁ずつ区切り位が小さい方から 1, 2, 3, 4 とする。 例えば,N=20200119 のとき, 119,02=1,03=20,0420 である。 8桁の自然数Ⅳは, N = 1 + 102.62 + 101.03 + 10-a」 {1, 2, 03 は0以上 99 以下の整数, G4は10以上99以下の整数) ポステ また と表せる。 102101で割った余りはエオカ 104101 で割った余りは キ 106 101 で割った余りは クケコ であるから, 8桁の数が101 の倍数であるためには 101 の倍数になればよい。 同様に, すべての自然数 N で 101 の倍数を判定する方法が導くことができる。 サ に当てはまるものを,次の①~⑦のうちから一つ選べ。 01+a2+ as +Q4 ① [1+a2+a3- a +02-a3+04 01 02 +03 + ag (11-02 - a3+04 1 +02-03-04 (5) 01-02 + 03-4 01-02-0344 (3) 百の位がα, 十の位がり,一の位がcである10桁の整数 がある。 2228831abe この整数が2020 の倍数であるとき, α= シ b= ス C= である。

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English Junior High

英語の長文についてです。 写真↓の長文の音読に10分も時間がかかりました。5分に縮めるための解決策を教えて下さい。 ○今の自分の読み方 ・読んでいるところを見失わないように指でなぞる ・英文を1語1語読み込みすぎない ・英文を和訳するときに戻り読みをしてない        ... Read More

都立プレOP 1015 次の文章を読んで, あとの各問に答えなさい。 3 (*印がついている単語・語句には、本文のあとに 〔注〕 がある。) Food is useful and delicious. It gives us energy for daily life and many good things for our bodies. But if we do not take care of food, we may get *food poisoning. So, how can food *stay good for a longer time? And what can you do at home to make your food safe? Fresh food does not stay good for a long time. Many foods *go bad in a few days. Some change fast even in a few hours. Warm weather and water make this problem bigger. Very small living things can grow on food and in food. These living things are *microorganisms, and some of them are *bacteria. They can come from the air, hands, tools, and tables. When they become many, food can change. The color can change, and a strange *smell may appear. So people keep creating many ways to *preserve food. This means that food stays good longer, and it is safer to eat. One of the oldest ways is drying. Drying takes water out of food. With less water, microorganisms do not grow fast. Then food can stay good longer. Look at Picture 1. Long ago, people put food under the sun and in the wind for many hours. Dried fish and dried fruit are good examples. Drying makes food light and (1)-a So dried food was useful for travelers on long trips. However, dried food can change quickly after it becomes wet again. So people needed a dry place and a closed bag. 1 II Li Drying can also change the *taste and the feeling in the mouth. For example, grapes can become (1)-b Dried grapes taste good. On the other hand, when a bag of dried food is open on a very easy to carry very small and sawetan take in water. Then it may not taste good, and bacteria may start to grow. After that, the food may go bad soon. boll To make food drier, people used more ideas than just the sun and wind. One idea was salt. Salt could pull water out of food, and the food could become drier. For example, people put salt on fish, and then they put it outside. The fish became dry and very salty. It stayed good for many days, so people could eat it later. Before cooking, people often washed the fish in water, and some salt went away. Another idea was *smoke from a fire. People hung meat or fish over a small fire for many hours. The smoke made the food drier, and it could give a special smell and taste. This food stayed good longer than fresh food. But if the inside was still wet, it could go bad. These ways are still used today in many places.00 yw yron al sobi blo Another old idea is cooling. When the temperature goes down, changes in food become slower. Bacteria also grow more slowly. Today, many homes have a *fridge, but long ago, people used nature. In cold areas, people used snow and ice. In other places, people used cool places in the mountains or cold river water. Later, people built special places for ice. They put ice in ice houses with thick walls, and the ice stayed (1)-c . Look at Picture 2. In Japan, people built a special building. It was a himuro. They used it old for many mice for the summer. In winter, they brought snow and ice from cold places and put them inside. Even today, the same idea is useful. An *ice pack can alad be(2) But it slowly turns cool a lunchbox for some time. 9

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