1次不定方程式の問題です。 やり方を教えて欲しいです。 互除法を使って余り=まではできるのですが、そこからがよく分かりません

6 1次不定方程式 A 問題 284 次の等式を満たす整数x,yの組を1つ求めよ。 24x+19y=1 *

解答見て、どうしてこの答えになるのかは理解できましたが、どうして私の回答が間違いですか？

めよ。 基本 122 れる｡ Ax ev 女を をg, とし =1 =71- ) ば 124 1次不定方程式の自然数解 基本例題 xが2桁で最小である組は (x,y)=(1, 等式2x+3y=33 を満たす自然数x,yの組は CHART O SOLUTION 方程式の自然数解 ...... 不等式で範囲を絞り込む 「x,yが自然数」すなわち x≧1,y≧1 (あるいは x>0,y>0) という条件を利 用して、最初からx,yの値の範囲を絞り込むとよい。 別] 基本例題122と同様にして方程式 2x+3y=33 の整数解を求めた後で, x, が自然数になるように絞り込んでもよい。 解答 2x+3y=33 から 2x=33-3y すなわち 2x=3(11-y) 2と3は互いに素であるから, xは3の倍数である。 ① において, y ≧1 であるから 11-y≤10 よって 2x≦3・10=30 更に, x≧1 であるから 1≤x≤15 ②③から x = 3, 6,9,12,15 ゆえに,等式を満たす自然数x,yの組は それらのうちxが2桁で最小である組は 別解x=0,y=11 は, 2x+3y=33 であるから 2.0+3・11=33 ① ② から 2x+3(y-11)=0 すなわち 2x=-3(y-11) 2と3は互いに素であるから, ① のすべての整数解は x=3k, y=-2+11 (kは整数) と伝定して ..... 0000 | 組ある。 それらのうち である。 |基本 122 [福岡工大] 5組 (x,y)=(112,3) ① の整数解の1つ と表される。 x≧1, y ≧1 であるから よって ≤ks5 kは整数であるから k=1,2,3,4,5 ゆえに,①を満たす自然数x,yの組は『5組 xが2桁で最小となるのはk=4のときであり, (x,y)=(112, 3) このときの組は 3k≧1, -2k+11≧1 重要 125 11-yは2の倍数である からyは奇数。 こちら から絞り込んでもよい。 429 ◆それぞれのxに対して, yは自然数になる。 2x=33-3y =3(11-y) と変形してもよい。 2k≧10から k≤5 不等号の向きに注意。 ←xが2桁のとき x=3k≧10 4章 15 ユークリッドの互除法 (E ス 免

互除法を活用してする問題です。 17x + 14y = 1 の等式を満たす整数x,yの組みをひとつ求めよ。 です。 答えはx=5 ,y=-6なのですが、途中式が分かりません。わかる方おられましたら、教えて頂きたいです!! よろしくお願いします🙇‍♂️💦

解答の下から3行目から分かりません。 なぜ-13,36なのですか？？ また下から2行目もなぜ0、17、34なが出てきたのか教えて下さい。 よろしくお願いします🙇

650.7n+4と6n+1の最大公約数が17 になるような50以下の自然数nをすべて 求めよ。

0＜3n＜56になる理由と、そこからn＝7、14になる導き方教えてください

007, 299 07 大公利数を 2次不定方程 ツドの互除法で求め) 5 1次不定方程式 自然数m,nが等式 7m+3n=56 ･･･① を満たしている。 等式 ①は,3n=7(ネ-m) と変形できる。 3と7は互いに素であるから, nは [ E), ■ 数となり, 等式 ① を満たす自然数m,nの組は, (m,n) = (ハ である。 の倍 ヘホ

一時不定方程式の計算の仕組みがよく分からないので教えていただきたいです。赤線のところが、どう式が変形しているのか全く理解できません😿教えていただけたら嬉しいです

284 (12419 24 19・1+5 19=53+4 5=4･1+1 よって に互除法の計算を行うと 移項すると 5=2419-1 移項すると 4=105:3 移項すると1=5-4・1 1=5-4-1 =5-(19-5-3) -1 =5.4+19.(-1) =(24-19-1)・4+19. (-1) =24.4+19.(-5) すなわち 24.4+19・(−5)=1 よって, 求める整数 x,yの組の1つは x=4, y=-5

下線への式変形の仕方がわからないです💦 教えてください🙇‍♀️

13, 26 284 (124と19に互除法の計算を行うと、次の ようになる。 24=19.1+5 移項すると 524-19.1 19=5-3+4 移項すると 419-53 5=4-1+1 移項すると ④, ②, ① の式から 1=5-4-1 (2) 1541 ...... ③ 5-19+5+50万 -5-(19-5-3) -1 -14 +5+5+3 -5-4+19-(-1) =(24-19-1)-4+19-(-1) =24-4+19-(-5) すなわち 24-4+19-(-5)=1 したがって、求める整数x,yの組の1つは x=4. y=-5

2点質問したいことを書きました！ 解説お願いします🙇‍♀️

基本例題 51 1次不定方程式・ 方程式 3x-7y=1・･･･ ① の整数解を考える。 ( ① を満たす1桁の自然数x,yの組はx=ア,y=イであるから, (x-ア 7( POINT ! その イ)=ウが成り立つ。3と7が互いに素であるから, ① の整数解は,整数kを用いて, x=エ k+ア,y=オk+イ] と表 される。 解答 ① を満たす1桁の自然数x,yの組は x=75, y=12 1+= ①-②から 1次不定方程式 ax+by=cの解き方 (a,bは整数で互いに素) [1] 方程式を満たす整数解x=p, y=gを1組見つける。 〔2〕 ax+by=c と ap+by=cの差を考え, a(x-p)+b(y-g)=0 の形 にする。 〔3〕a,bは互いに素であるから, 整数を用いて x-p=bk, y-g=-ak→x=bk+p, y=-ak+α DIEOA (1) よって 3･5-7・2=1 あの最大 ...... ② 第7章 整数の性質 3(x-5)-7(y-2)=ウ0 : 特定 3と7は互いに素であるから, ③ より 2181 x-5=7k, y-2=3k (kは整数) よってx=±7k+5, y=ォ3k+2 st'ndt = DI POINT! [1] 125 (1) 22.0 3.A# POINT! [2]= ③1 X-5=7Kとした時 y-2-3kと計算 せずに式の形が 判断するのか? (2) 3 (1-5) 21 (4-2) 20-- 7 2-5=7kをしたら、数 計算せずに y-2=3kg 質 POINT! 〔3〕 ここに関係なく、毎回決めれるのか 参考 a,b の値によっては, ax+by=cの整数解の1組が容易に見つからない場合 がある。その場合は ユークリッドの互除法を用いる(重要例題 29 参照)。 所を用して 最大公約数を求める方法 7-711"OFA:+

数A整数 (2)の線のところがどうして等号で結ばれているのか分かりません。

004 as 00000 基本例題 126 互除法の応用問題 (1) 2 つの整数 m, n の最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致す ることを示せ。 (2)7+4と8+5が互いに素になるような 100 以下の自然数nは全部でいく p.501 基本事項 ①) つあるか。 aとbの最大公約数 指針 最大公約数が関係した問題では, p.501 基本事項 ① (*)で示した、 右の定理を利用して,数を小さくし ていくと考えやすい。 本問のように,整式が出てくるときは,まず, 2つの 式の関係をa=bg+r の形に表す。 次に, 式の係数や次数を下げる要領で変形していくとよい。 解答 2 数A, B の最大公約数を (A, B) で表す。 (1) 3m+4n=(2m+3n)·1+m+n, 2m+3n (m+n)•2+n, m+n=n・1+m a=bg+r (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) =(m+n, n)=(n, m) したがって,m,nの最大公約数と3m+4n, 2m +3n の最 大公約数は一致する。 よって 3m+4n=a m=3a-4b 「別解 ① とおくと 2m+3n=b |n=36-2a mとnの最大公約数をd, aとbの最大公約数をeとする。 ① より α とは dで割り切れるから, dはaとbの公約数 d≦e である。 ゆえに e≦d 同様に, ② より,eはmとnの公約数で ③④ から d=e よって, 最大公約数は一致する。 (2) 8n+5=(7n+4)·1+n+1, 7n+4=(n+1) 7-3 ゆえに 7 +4と8+5は互いに素であるとき, n +1と3も互いに 素であるから, n +1と3が互いに素であるようなnの個数 を求めればよい。 2≦n+1≦101の範囲に,3の倍数は33個あるから求める 100-3367 (個) 自然数は 等しい bとrの最大公約数 差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n m+2n-(m+n)=n m+n-n=m ◄m=dm', n=dn', a=ed', b=eb' とする ①は [d(3m'+4n')=a |d(2m'+3n')=b [e(3a²-4b')=m le(36'-2a')=n ②は 正員を無視してOK (8n+5, 7n+4)=(7n+4, n+1)=(n+1, (3) しょり a=bgr のときも (a, b)=(b, r) が成り立つ。 .501の解説 と同じ要領で証明できる。 ES ESS

答えが違う理由を教えて下さい。

426 基 本 例題 122 1次不定方程式の整数解 (2) 次の方程式の整数解をすべて求めよ｡ (1) 3x-7y=1 CHARTO SOLUTION 1次不定方程式 ax+by=c の整数解 1組の解 (p, g) を見つけて a(x-p)+b(y-g)=0...... (1) 係数が小さいから, 1組の解が見つけやすい。 (2) 係数が大きいから, 1組の解が見つけにくい。 そこで,基本例題121 のように 3x-7y=1 x=5, y=2 は, ① の整数解の1つである。 よって 3-5-7-2=1 ① ①② から 3(x-5)-7(y-2)=0 すなわち 3(x-5)=7(y-2) 3と7は互いに素であるから ③ より (2) 22x+37y=2 ① ax+by=1 の整数解 x=p, y = g を互除法を用いて求める。 a(cp)+b(cq)=c ② ap+bg=1 から, 両辺にcを掛けて の手順で進める。最後の式とax+by=c から a(x-cp)+b(y-cg) = 0 したがって, ① のすべての整数解は x-5=7k, y-23k (kは整数) 3 x=7k+5,y=3k+2 (kは整数) 22x+37y=2 p.423 基本事項 基本 21 (2) x= -5, y=3 は, 22x+37y=1の整数解の1つである。 よって 22・(-5)+37・3=1 したがって, ① のすべての整数解は 両辺に2を掛けると 22・(-10)+37・6=2 ...... (2) M ①-② から 22(x+10)+37(y-6)=0 すなわち 22(x+10)=-37(y-6) 22 37 は互いに素であるから, ③ より x+10=37k, y-6-22k (kは整数) よって (3) x=37k-10,y=-22k+6 (kは整数) 10000 Int. 22と37 に互除法を用いると 22=15・1+7→722-15・1,157・2+11=15-7･2 の断りは重要。 x-5が7の倍数となる から x-5=7k ③に代入すると 3.7k=7(y-2) 1-15-7-2-15-(22-15-1)-2-22-(-2)+15.3 -22-(-2)+(37-22-1)-3-22-(-5)+37-3 PRACTICE･･･ 122 次の方程式の整数解をすべて求めよ。 (2) (1) 5x+7y=1 (2) 35x-29y=3 x=-5, y=3 の求め方 は、下のinf を参照 37=22・1+15→15=37-22・1, の断りは重要。 ズーム UP 基本例題 122- 現方法や, 1 1組の 基本例題 y=2を 例えば, 様に解く 例題の y=3(k x=7k と同 「基本例 そのた に方程 37= 22 m ●例な法整