高校1年の数学です。 20番の答えがなぜこのようになるのか詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️ 模範解答も載せておきました、、。

20 整数 α, b,cがa+b2=c を満たすとき, a,b,c の □ うち少なくとも1つは偶数であることを証明せよ。 ▽ 116 背理法を用いて証明する。 3つの奇数を, 2l+1, 2m+1,2n+1 と表すこ とができる。

117の（2）を教えてください🙇‍♀️ 範囲は高校一年の集合と命題の証明のところです。

*117 (1) nは整数とする。 次の命題を証明せよ。 n n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である。 (2) 背理法を利用して, 3 が無理数であることを証明せよ。

25.1 少なくとも〜の問題だから 背理法を使うのかなと思ったのですが違いました。 なぜ解答のように考えるのですか？ また、背理法を使う、と思うべき時はどんな時ですか？ あと、少なくとも1つということは2つ以上の可能性もありますが、「または」を使っても良いのですか？「Aまた... Read More

2 東京 例題25 少なくとも~、すべての〜の証明 b,c は実数とする。 abc=1, a+b+c=ab+bc+caのとき, a,b,cのうち少なくとも1つは1 であることを証明せよ。 a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a,b,cはすべて1であることを証明せよ。 (1) 1 まず結論を式で表すことを考えると,次のようになる。 (1) a,b,cのうち少なくとも1つは1である ⇔a=1 または b=1 またはc=1 ⇔ (a-1)+(b-1)+(c-1)=0 よって, 条件式から,これらの式を導くことを考える。 このように,結論から方針を立て ることは,証明に限らず、多くの場面で有効な考え方である。 CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く ⇔a-1=0 または 6-1=0 または c-1=0 ⇔ (a-1)(b-1)(c-1)=0 (2) a,b,c はすべて1である⇔a=1 かつ 6=1 かつc=1 解答 - P=(a-1)(b-1)(c-1) とすると P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1 abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0 練習 25 ⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0 よって α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0 したがって, a,b,cのうち少なくとも1つは1である。 Q=(a-1)^2+(-1)+(c-1)^ とすると Q=a²+b2+c²-2(a+b+c)+3 ここで,(a+b+c)=a+b2+c2+2(ab+bc+ca) であるから a+b2+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=32-2・3=3 Q=3-2・3+3=0 ゆえに よって α-1=0 かつ 6-1 = 0 かつ c-1=0 したがって, a,b,c はすべて1である。 a,b,c,d は実数とする。 1 1 1 (1) + + a b C ことを証明せよ。 a+b+c 一 a 4-12 10 <ABC = 0 ⇔A = 0 または B = 0 または C=0 d+D (1) VIO A²+B²+C²=0 ⇔A=B=C=0 BO**A31 SI TAH *T# のとき, a,b,cのうち、どれか2つの和は0である のとき a=b=c=d=1であることを証明 1章 5等式の証明

113. 「自然数k,l」を「互いに素である自然数k,l」 としたのですが別に良いですか？ また、最後「矛盾している」と書いていますが 同じことを2回書いているように思うのですが、 2回目の「矛盾している」には何の意味があるのですか？

基本例題113 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数a,bに対して, aとbが互いに素ならば, a + b と abは互いに素であるこ とを証明せよ。 091 5: 指針a+b と ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。→a+b と ab が互いに素でない,すなわち a+b と ab はある素数を公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお、次の素数の性質も利用する。 ただし,m,nは整数である。 mnが素数」の倍数であるとき, mまたはnはかの倍数である。 CHART 互いに素であることの証明 解答 a+b と ab が互いに素でない,すなわち a + b と ab はある素 数』を公約数にもつと仮定すると a+b=pk ①, ab=pl ...... p.4762 重要 114 ①1 最大公約数が1を導く 2 背理法 (間接証明法) の利用 ② , lは自然数) to と表される。 ② から, a または6の倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pmとなる自然数mがある。 このとき、①から6=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, bもpの倍数である。 これはαとが互いに素であることに矛盾している。 bがpの倍数であるときも、同様にしてαはかの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって, a +6 と ab は互いに素である。 [番号] 前ページの基本例題 112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」は、整数 この問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 各自=2や 3 などの場合で,このことを検証してみるとよい。 n₁ mとnが互いに素でない ⇔mとnが素数を公約 数にもつ k-mは整数。 TRAF a=pk-b 問題 素数は無限個あることを証明せよ。 [証明] n を2以上の自然数とする。 と+1は互いに素であるから, n2 =n(n+1) は異な る素因数を2個以上もつ。 同様にして。 ns=n(n+1)=n(n+1)(n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから、素数は無限個存在する。 =p(k-m') ( m' は整数) 素数が無限個あることの証明は,ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である け 21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された, とても簡潔な方 a)(w) P 481 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

119. cが3の倍数でないときcの2乗を3で割ったときは2ではないのですか？（a^2+b^2の余りが2でa^2+b^2=c^2なので余りが2だと思いました。）

-9 い。 つ 考え お 。 重要 例題 119 等式 a²+b²=c^に関する証明問題 a,b,cは整数とし,+b2=c^2 とする。a,bのうち、少なくとも1つは3の倍 数であることを証明せよ。 基本 117 指針>「少なくとも1つ」の証明では、間接証明法 (対偶を利用した証明, 背理法) が有効であ る。ここでは,背理法を利用した証明を考えてみよう。 「α, bのうち、少なくとも1つは3の倍数である」の否定は, 「α6はともに3の倍数でない」 であるから, a =3m+1,3m+2;6=3n+1,3n+2 (m,nは整数)と表される。 よって, a,bがともに3の倍数でないと仮定して, d'+b2=c^2 に矛盾することを導く。 CAHOTSAL 08 CHART の倍数に関する証明なら, で割った余りで分類 解答 a,bはともに3の倍数でないと仮定する。 このとき,a2, 62は (3k+1)=3 (3k²+2k)+1, (3k+2)^=3(3k²+4k+1) +1 のどちらかの式のkに適当な整数を代入すると, それぞれ表さ れる。 3k2+2k, 3k²+4k+1は整数であるから、3の倍数でない数α, bの2乗を3で割った余りはともに1である。 [+5] したがって, a2+b2を3で割った余りは2である。…… ① 一方,cが3の倍数のとき, c2は3で割り切れ, cが3の倍数でないとき, cを3で割った余りは1である。 すなわち,c2を3で割った余りは0か1である。 2 ① ② は a²+6°= c2 であることに矛盾する。 -- ゆえに,a^2+b2=cならば、a,b のうち、少なくとも1つは 3の倍数である。 (平方数とは、自然数の2乗になっている数のこと。) DCは奇数である 【検討】 ピタゴラス数とその性質 a2+b2=c2 ゴラス数 (a,b,c) について,次のことが成り立つ。 a, ものうち、少なくとも1つは3の倍数である。 (2) a,bのうち、少なくとも1つは4の倍数である。 a,b,cのうち, 少なくとも1つは5の倍数である。 3 参考 <a =3m+1,b=3n+2 など の場合をまとめて計算。 [①の理由] ( 3K+1)+(3L+1) =3(K+L)+2 AASURA NOTAR 注意 「平方数を3で割った余りは0か1である」 (上の②) も, 覚えておくと便利である。 **a, (K,Lは整数) (から。 (左辺)÷3の余りは2 (右辺) ÷3の余りは0, 1と なっている。 A を満たす自然数の組 (a, b, c) を ピタゴラス数 という。 A を満たすピタ FC <重要例題 119 p.491 EXERCISES 86 p.496 練習 123 (2) ①② から abは12の倍数であり, 1~③から, abc は 60 の倍数である。 b,c, d が等式α'+b'+c2=d2 を満たすとき, dが3の倍数でないな の中に3の倍数がちょうど2つあることを示せ。 [一橋大] Op.491 EX86 489 4章 18 整数の割り算と商および余り あ あ 九

至急！ 数1の問題です πが無理数であることを用いて、次の命題を証明せよ。 ‪√‬πは無理数である。 という問題です

113. mとnが互いに素でないことを言い換えると mとnが素数を公約数にもつ となるのはなぜですか？ 例えばm=20,n=4のときm,nは互いに素でなく、 公約数は4で素数ではないですよね？

基本例題 113 互いに素に関する証明問題 (2) 00000 自然数 α, bに対して, aとbが互いに素ならば, a+babは互いに素であるこ とを証明せよ。 p.476 基本事項 [②] 重要 114 指針a+b と ab の最大公約数が1となることを直接示すのは糸口を見つけにくい。 そこで,背理法(間接証明法)を利用する。 →a+b と ab が互いに素でない,すなわち a+b と ab はある素数』を公約数にもつ,と仮定して矛盾を導く。 なお,次の素数の性質も利用する。 ただし, m, nは整数である。 mnが素数」の倍数であるとき, mまたはn はかの倍数である。 CHART 互いに素であることの証明 ① 最大公約数が1を導く ② 背理法 (間接証明法) の利用 解答 a+b と ab が互いに素でない, すなわちa+b ab ある素 数』を公約数にもつと仮定すると ② (k, lは自然数) a+b=pk...・・･ ①, ab=pl と表される。 ② から, a または6の倍数である。 aがpの倍数であるとき, a=pm となる自然数mがある。 このとき, ①から6=pk-a=pk-pm=p(k-m) となり, ももかの倍数である。 これはaとbが互いに素であることに矛盾している。 bがpの倍数であるときも、同様にしてαはpの倍数であり, aとbが互いに素であることに矛盾する。 したがって,a+b と αb は互いに素である。 mとnが互いに素でない ⇒ m nが素数を公約 数にもつ <k-mは整数。 <a=pk-b =p(k-m') ( m'は整数) [参考] 前ページの基本例題112 (2) の結果 「連続する2つの自然数は互いに素である」 は, 整数 の問題を解くのに利用できることがある。 興味深い例を1つあげておこう。 問題 素数は無限個あることを証明せよ。 [証明] を2以上の自然数とすると+1は互いに素であるから,(n+1) は異な 」 る素因数を2個以上もつ。 同様にして, n=n(n+1)=n(n+1) (n2+1) は異なる素因数を3個以上もつ。 この操作は無限に続けることができるから, 素数は無限個存在する。 ※各自=2や=3などの場合で,このことを検証してみるとよい。 素数が無限個あることの証明は, ユークリッドが発見した背理法を利用する方法が有名である が、上の証明は、21世紀に入って (2006年), サイダックによって提示された, とても簡潔な方 法で 481 4章 17 約数と倍数、最大公約数と最小公倍数

整数の問題です。青マーカー部分の分からないところ3点を解説して欲しいです。 (2)g≧3とa-b≧2はどのように求められたのですか？ (3)p≧5はどのように求められたのですか？ また、p≧5よりm≧2もどのような思考プロセスで導いたのですか？ お願いします。

88 (10nが正の偶数のとき, "-1は3の倍数であることを示せ。 ? X (2) nを自然数とする。 2" + 1 と 2 -1 は互いに素であることを示せ。 (3),gを異なる素数とする。 - を満たすか、4の組をすべて求 めよ。 [15 九州大〕

証明の仕方がわかりません よろしくお願いします🙇‍♀️

【定石問題 M 7 レベル4- 類題1】 次の問に答えよ。 (1) a b は有理数とするとき, 次の命題を証明せよ。 a+bv5=0 ならば a = 0 かつ b = 0 ただし, V5 が無理数であることを用いてよい｡ (2) a, b は有理数とするとき､ 次の等式を満たす α, bの値を求めよ。 (1+2√5) a+(-1+√5) b=4-V5

証明の仕方がわかりません よろしくお願いします🙇‍♀️

定石 7. 背理法 【定石問題 M 7- レベル4例題】 正の数a, b について, 1/3+2 75-33 この問題は提出課題です V 1372 ならば、a,b の 少なくとも一方は4より大きいことを証明せよ。