数学IIの複素数について試験があるのですが、その応用問題として授業では習ってない事がヒントに書かれていて意味が分かりません、。 まず、複素数cは四則演算で閉じているとはどうゆうことでしょうか。 その他も代数閉体がどのようなもので、その後に述べられていることもさっぱり理解でき... Read More

独り言 (テストのヒント) 授業でも述べたが、 複素数Cは非常に美しく有用な世界を持ってい る。 具体的には、 •Cは体(四則演算で閉じている)である。 更に代数閉体である。 すなわち、 「C係数の任意のn次多項式は Cの範囲に重解を含めて n個の解を持つ。 (代数学の基本定理)」 ・R (実数) 係数のn次方程式が複素数 αを解に持つならばその共役 な複素数αもまた解に持つ。 ・その他、 複素数を掛ける演算は実2次元上の回転 拡大を意味す る事、 n 次射影空間の構造がRに比べてCは遥に易しい事、物理特に 交流電流において有用である事等、枚挙に暇がない。 竹下

神戸大学　2018 数学　4.(1)の解答で、 「aは実数であるので、αとβは互いに共役な複素数，すなわちβ＝αバー」 と言うところは何の知識を使ったものでしょうか？ よくわからないので教えていただきたいです。

神戸大-理系前期 2018年度 数学 17 4. 整式f(x) は実数を係数にもつ3次式で、3次の係数は1,定数項は -3 とする.方程式f(x)=0 は, 1と虚数α, βを解にもつとし,αの 実部は1より大きく,αの虚部は正とする. 複素数平面上でα, 3,1 195 が表す点を順にA,B,Cとし、原点をOとする. 以下の問に答え よ(配点30点) Ao 4 四五〇 Strattong-TE (2) 0 をαの偏角とする. △ABCの面積Sを0を用いて表せ。 (1) a の絶対値を求めよ、本を ROK $50-540-640=0 (3) Sを最大にする 0(0 ≦02) とそのときの整式f(x) を求 (原点) めよ. HOSTO (1)

複素数平面の問題です。 zと共役の複素数の和と積が、求められたから二次方程式を立てたのだとおもうのですが、 二次方程式のtの解が、なぜzを示すのか分かりません。

18 重要 例題 8 複素数の実数条件 絶対値が1で,2-zが実数であるような複素数zを求めよ。 CHARTO SOLUTION 複素数の実数条件 αが実数⇔a=d zとえの和と積の値からぇぇを解にもつ2次方程式を作る。 (解答) |z|=1 から また, |z|²=1 zは実数であるから 2³-2=2³-z ここで,z-z=z-z=(z)-zから (z)³-z=z³-z ゆえに したがって 2³—(2)³—(2-2)=0 (左辺)= (z_z) {z2+zz+(z)^}-(z_z) =(z_z){z2+1+(z)²−1} =(z−z){z²+(z)²} (z+z2-2zz=0 よって (z−z){z²+(z)²}=0 ゆえに z=z またはz2+(z)2=0 [1] z = z のとき zは実数である。 よって, |z|=1 から |z =±1 [2] z'+(z)=0 のとき zz=1 z=±1, t2+√2t+1=0 の解である。 よって [1],[2] から 0=8+1 0=80$+01+8 ゆえに (z+z)²=2 よって 2+2=± √2 z+z=√2 のとき, zz = 1 から, 2数z zは2次方程式 t2-√2t+1=0 の解である。 よって √√√2 ± √2i t= 2 z+z=-√2 のときも同様にして2数z zは2次方程式 -√√2+√√2i 2 00000 ==|z|2 t= √√2+√√2i -√√2 ±√√2i 2 2 0=s+ūtu div=5+8+ αが実数α=u ■α-β=a-B a"=(a)" <-a³-6³ 基本 5,6,7 =(a−b)(a²+ab+b³²) <-zz=1 (80)168- (1+zz=1 ◆解の公式を利用。

数学の問題でこの写真の別解の解き方が分からないので教えて下さい

実施日 [ 月 26 kは実数とする。 2次方程式x2+kx+13=0が3-2i を解にもつとき,定数kの値を求 めよ。 また、他の解を求めよ。 他の解をα とおくと, 解と係数の関係から (3-2i) +α=-k (3-2i)a=13 13 3-2i 13(3+2i) (3-2i)(3+2i) ②から α= これを①に代入して したがって k=-6,他の解 3 +2i 別解 3-2i がこの方程式の解であるから 整理して3(k+6)-2(k+6)i=0 3(k+6), -2(k+6) は実数であるから すなわち k=-6 このとき, 方程式は x2-6x+13=0 よって、 他の解は 3 +2i (1) (2) 13(3+2i) 13(3+2i) 32 +22 13 すなわち k=-6 ( 3 -2i) + (3+2i)=-k (3-2i)²+k(3-2 -26- =3+2i —2i) +13=0 3(k+6)=0, -2(k+6)=0 これを解くと x=3±2i [参考 一般に,実数を係数とする2次方程式の解の1つが虚数 a+bi ならば,もう1つ の解はそれと共役な複素数 a-bi である。 このことを用いると, 3 + 2i も 2次方程式x2+kx+13=0の解である。 よって、 解と係数の関係から (3-2i) +(3+2i)=-k したがって k=-6

マーク付けてある問題で、｢a>1のとき、共役な2つの虚数解｣ではなく｢a>1のとき、解なし｣としたら不正解ですか？

*(3) (x-2)(x-4) = -2 *(4)_3(x − 1)² + 3(x − 1) + 1 = 0 - 37 次の2次方程式の解を判別せよ.ただし, a b は実数の定数とする *(1) 22-2(a-1)x+α²-1=0 (2) x2ax+4= 0

(2)から(5)を教えて頂きたいです

問題 2. Gを位数nの有限群とする. a∈G と be G について, a = g-1-b-g となるg∈Gが存在する ときa~b と定め, 二項関係を定義する. (1) 二項関係~は同値関係であることを示せ . (2) 同値関係~による同値類の個数をmとする. Gが可換であるための必要十分条件は, m=nであ ることを示せ . (3) a∈Gについて, N (a) == {g ∈G|a = g-1.a-g} とおく. N (a) はGの部分群であることを示せ . (4) [a] == {b∈G|a ~ b} とおく. [a] の元の個数は G/N (α)の元の個数と等しいことを示せ . (5) nが素数pの平方と等しいとする. Gは可換であることを示せ。

この問題の(2)において、｜z｜^2=zz"(z"はzと共役な複素数)を用いて解いていますが、なぜz"を使っていいのかわかりません。tは複素数なので、たとえば分子の1+tiのtは実数とは限らないですよね？複素数a+biの共役複素数を考えていいのは、a,bが共に実数のときだけ... Read More

8 よって, 3 a=-1 ABRASC tをiとは異なる複素数とする。z=1 (1) tが実数のとき, |z|=1 であることを示せ. (2) |z|=1 ならば, t は実数であることを示せ. (1) 21-ti 1+ti+ <考え方〉 (1) tが実数より、 t=t であり, これより|zzz=1 を示す. (2)|zzz=1 であり, これより t=1 を示す。 のとき, = | 21²=22=1-ti = (2) (8) 191-ti 1+ti ti 1+ti 1-ti 1-ti 1+ti 1-ti+ti+tt 1+ti-ti+tt |z|=1のとき, z=1 であるから, 1-ti+ti+tt -=1 .87% 1+ti-ti+tt 分母を払って, **#071-ti+ti+tt=1+ti-ti+tt とおく。 パートが実数のとき,t= であるから 1+ti 1-ti |2|²2=1-ti 1+ti =1 よって, z≧0より tが実数のとき, |z|=1_ (2) |z|2= 2ti-2ti=0 2i(t-t)=0 }+'s £!** _0=s-s 1+ti (1+ti\ I-²,080 TV-s (1 1-ti) 585 1+ti_1-ti-+15+1=1+35)-4) S $300-5-5 (2) 2051645 kallx0=x+8+J/v αが実数⇔ α = a VES THIST 0+8+p <d 3435833 1-18+0/-/8/-10/ (8+). 18+6)=1(8+1=k Rela+pl 01.0=x+ よって, t-t=0,すなわち,t=が成り立つので、αが実数α |z|=1 ならば, t は実数である. (8+b)(C+D)=

⑴に関してです。 共役な複素数も代入するとゼロになるのは分かるんですが なぜ波線部分も因数に持つと分かるのですか？

③ [a,b,c を整数とし、こを虚数単位 とする。整式f(x)=x3+ax+bx+c が Brª f ( (+3³ 1 ) = 0 E H LIU‡, (1)a,bをCを用いて表せ。 (2) f(リを7で割と4余り、払いを いで割と2余子とする。IC≦40 のとき、方程式fa=0の解を すべて求めよ。 三 x= 1-√3i 2 (x-111i)(x-1-5₂) 2 2 E E E E

なぜ一つの実数解を持つと分かるのか教えて下さい🙇‍♀️

II (3) ① から,α, β,1の少なくとも1つは虚数である。 よって, 方程式x3+kx+20=0 (kは実数) は 1つの実数解と2つの 虚数解をもつ｡ (2つの虚数解は互いに共役である αが虚数であるとすると,∠A="から, α, β,r はすべて虚数となり不適。(右の 図は,β= α の場合。 i = α の場合も同様) ゆえに, α は実数であり,r=1である。 解と係数の関係から hoqque -20 a+B+B=0 aβ+B+Ba=k a=-20 よって (8-Jan --) mila mania = 2x=-α O B(β) すなわち x=-1 a る。 A(α) ② から B+B=-α90 β=x+yi(x, y は実数) とすると ß+B= (x+yi) + (x − yi) = 2x ■I 複素数平面 C(r) (3) (4) miai(αが虚数で α の場合) Practice 2 *** 異なる複素数 α, B, yが2c²+B2+y²-2a-2ay=0 を満たすとき r-a (1) ya の値を求めよ。 B-a Support 互いに共役な複素数は、 複素数平面上において, 実軸に関 して対称な位置にある。 (2) 複素数平面上で, 3点A(α), B(B), C(y) を頂点とする△ABCはどのよ うな三角形か。 α, B, yxの3次方程式x+kx+20=0 (kは実数の定数)の解である とき, α, β, yおよびんの値を求めよ。 [04 横浜国大〕 00000000000 F (2 ★★★★☆ 11 Z

シャーペンで引いた下線部(よって…割り切れる。の所)は何故そう言えるのですか？

題 50 高次方程式の虚数解 複素数 3-iが3次方程式x+ax+b=0 の解となるような実数の 定数a,b の値を求めよ。 また、残りの解を求めよ。 思考プロセス << Action 実数係数の方程式の虚数解が与えられたときは, 共役な複素数も解とせよ 条件の言い換え (解の1つが) x=3-i (共役な複素数 x=3+iも解 (a+2)x+(b-20) この余りは0となるから a+2=0, b-20 = 0 これを解くと 〔本解〕 3-iと3+iを解にもつ2次方程式 KATCHE (2次式)=0 に対して 〔別解1] 方程式にx=3-i を代入 a=-2,6=20 解係数がすべて実数であるから, 3-iと共役な複素数 3 + iPoint 参照 例題も解である。 31 ここで, 3-iと3+iを解にもつ2次方程式の1つは 37 x² − {(3−i)+(3+i)}x+(3−i)(3+i) = 0 このとき、方程式は 〔別解2] 残り1つの解をα とすると すなわち x²-6x+10=0 よって,x-4x+ax+bは3-6x+10で割り切れる。)、 右の計算より 商はx+2 余りは x +2 x² - 6x +10) x³-4x² + x-6x2+ (x+2)(x2-6x+10) = 0, x 2.3 ±i (2次式) (1次式) と因数分解できる。 解と係数の関係より [(3−i)+(3+i)+a= [ これを解くと したがって, 求める残りの解は 〔別解 1) (3-i) (3+i)+(3+i)a+a(3−i)= |(3− i)(3+i)a=0 2x2- ax+b 10x 2x2+(a-10)x +6 12x+20 (a+2)x + (b-20 ) x = -2,3+i 2数を解にもつ2次方程 式の1つは x2-(和)x+(積) = 0 x=3i を解にもつ2次 方程式は x-3=-i0 両辺を2乗して x2-6x+9= -1 x2-6x+10 = 0 としてもよい｡ 「割り切れる」 (余り) = 0