例題 3次方程式が2重解をもつ条件
3次方程式x+3x2+(a-4)x-α = 0 が2重解をもつとき、 定数αの
値を求めよ。
12 高次方程式
解答 x+3x2+(a-4)x-a=a(x-1)+x+3x2-4x=a(x-1)+x(x-1)(x+4)
=(x-1)(x2+4x+α)
よって, 方程式は (x-1)(x2+4x+α)=0
①
x-1=0 または x2+4x+α=0
ゆえに
(2)
①が2重解をもつのは,次の [1],[2] のどちらかの場合である。
[1] 2次方程式 ② が1以外の重解をもつとき
②の判別式をDとすると,1/10 から 22-1.a=0
4
......
(x-1)(x² + 4X)
よって α=4
このとき, ① は (x-1)(x+2)=0 となり, x=-2を2重解にもつ。
[2] 2次方程式②の解の1つが1で,他の解が1でないとき
②が1を解にもつから
12 +4.1+a0
よって
を2重解にもつ。
このとき, ① は (x-1)^(x+5)=0 となり, x=1
[1],[2] から α=4, -5
33
a=-5