Question

みさ

なんで=0になるんですか？
必ずしも、x2＋4x＋a=0になるとは限らないですよね？

後、他の解が1でないときという表記は必要ですか？

例題 3次方程式が2重解をもつ条件
3次方程式x+3x2+(a-4)x-α = 0 が2重解をもつとき、 定数αの
値を求めよ。
12 高次方程式
解答 x+3x2+(a-4)x-a=a(x-1)+x+3x2-4x=a(x-1)+x(x-1)(x+4)
=(x-1)(x2+4x+α)
よって, 方程式は (x-1)(x2+4x+α)=0
①
x-1=0 または x2+4x+α=0
ゆえに
(2)
①が2重解をもつのは,次の [1],[2] のどちらかの場合である。
[1] 2次方程式 ② が1以外の重解をもつとき
②の判別式をDとすると,1/10 から 22-1.a=0
4
......
(x-1)(x² + 4X)
よって α=4
このとき, ① は (x-1)(x+2)=0 となり, x=-2を2重解にもつ。
[2] 2次方程式②の解の1つが1で,他の解が1でないとき
②が1を解にもつから
12 +4.1+a0
よって
を2重解にもつ。
このとき, ① は (x-1)^(x+5)=0 となり, x=1
[1],[2] から α=4, -5
33
a=-5

Answer 1

✨ Best Answer ✨

MMMM.

こんな感じです。分かりにくかったらごめんなさい🙏

みさ

x-1またはx2＋4x＋a=0のときだから必ずしもx2＋4x＋a=0が成り立つとは言えなくないですか？
他の解が1でないとき や 1以外の重解 とは書かなんていいんですか？

しゃむげーむ

①の二重解を持つって言ってる時点で
x2＋4x＋a = 0
は解をもつと思いますよ。

みさ

x-1=0のときだったらx2＋4x＋a=0は成り立たないんじゃないかな？
という意味です。

質問が分かりずらくてすみません💦

しゃむげーむ

もしかして、「または」の意味を間違えてませんか

しゃむげーむ

絶対にどちらか一方しか成り立たないという訳ではないですよ。

みさ

どっちも=0になることもあるってことですか？

MMMM.

そもそも両方0にならないと重解が存在しないことになりますから...

みさ

そうなんですか!?
何回もありがとうございました。

MMMM.

詳しくは下の方の考え方のプロセスにまとめてあるのでそっちも見て改めて考えてみるといいと思います

みさ

長文ありがとうございます

みさ

ちなみに、両方0にならないと重解は存在しないのは何故ですか？
まだ、三次方程式のグラフについて習ってないんですが、、

MMMM.

それについても下の方に書いてあります。2行目〜3行目を読んでもらえれば分かると思うんですが…

Answer 2

MMMM.

改めて考え方を整理するとこんな感じになるんですがどうでしょう…

Answer 3

MMMM.

考え方のプロセスを整理してみましょう
問題文で問われているのは三次方程式x³+3x²+(a-4)x-a=0がニ重解を持つ時のaの値で、この三次方程式が(x-1)(x²+4x+a)=0と因数分解できることから少なくともx=1が解になる事がわかりました。よって、ここからこの三次方程式が解を1つ以上持つためには二次方程式x²+4x+a=0が解を持つ必要がある事がわかります。
ここで、この三次方程式が二重解を持つ条件として考えられるのは『x=1が重解になる』場合か『x＝1以外の解が重解になるか』の2つです。
ここで、最初の『X=1が重解になる場合』を考えると、因数分解された三次方程式の形から二次方程式x²+4x+a=0が異なる2つの実数解をもち、なおかつそのうち1つの解が1になれば良い事がわかります。これがあなたの載せた問題集の模範解答や先ほど僕が載せた写真にある場合分けのうちの［2］に該当します。
次の『1以外の解が重解になる場合』を考えると、これも同じように因数分解された三次方程式の形から二次方程式x²+4x+a=0が1以外の重解を持てば良い事がわかります。これが模範解答や僕の写真の場合分けの［1］に該当します。
他の解が1でない時は場合分けの［2］に含まれていて、1以外の重解は［1］に含まれています。

みさ

少なくともx=1が解になる事がわかりました
→ここが分かりません

MMMM.

ちょっと簡単な例から考えてみましょうか
二次方程式x²+ax+b=0の解を求めようとした時に、x²+ax+b=(x-c)(x-d)と言うように因数分解できるならこの二次方程式の解がX=c,dになることは理解できますね？言っているのはこれと同じことです。
この問題の場合、x³+3X²+(a-4)x-a=(x-1)(x²+4x+a)と因数分解できることから(x-1)(x²+4x+a)=0の解のうち1個はx=1だとわかると言うことです。ここで、この三次方程式が重解を持つ条件を考えると、(x-1)(x²+4x+a)のうちのx²+4x+aの部分に着目して、二次方程式x²+4x+a=0がどのような解を持つかを考える必要があります。そこから先は上で書いたように重解が1なのかそれ以外なのかで分けて考えると言うことです。

みさ

ありがとうございます。
理解出来ました！

MMMM.

考え方のプロセスを改めてまとめ直してみたのでよければ参考にして下さい(下の方に書いてあります)

みさ

ありがとうございます