-3/4x^2-x+1とは、写真の上半分に載ってますが
y=-3/4x^2+1とy=x
の交点を求める方程式
-3/4x^2+1=xより得られるものです。xを左辺に移行すれば
-3/4x^2-x+1=0という二次方程式が得られます。
一般にa≠0の元で二次方程式
ax^2+bx+c=0の解がx=p,qのとき
(与式左辺)=a(x-p)(x-q)と因数分解される必要があります。
a(x-p)(x-q)=0でないと、解がx=p,qにならないからです。
-3/4x^2-x+1=0・・・①より
(x+2)(3x-2)=0であるからx=-2,2/3です。
ということは、①の左辺は以下のように因数分解されるということです。
(左辺)=-3/4(x+2)(x-2/3)
実際、これを展開すれば①の左辺に戻ります。
よって、その因数分解は実際にその場でたすき掛けや暗算で求める(別に求めても良いが)わけでなく、写真の前半の結果をしれっと使っているだけです。
一般にa≠0の元で二次方程式
ax^2+bx+c=0の解がx=p,qのとき
(与式左辺)=a(x-p)(x-q)と因数分解される必要があります。
a(x-p)(x-q)=0でないと、解がx=p,qにならないからです。
この部分について、両辺aで割って
(x-p)(x-q)=0じゃないのか？と思うかもしれませんが、今回は展開して元の式に戻る必要があるので残します。
積分を解くときは
a(x-p)(x-q)=0
という右辺0の方程式でないためaで両辺を割るという操作ができず、x^2の係数aで式全体をくくるしかないからです。