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複素数と
つかってい
・差・
数です
を保
ついて
が成り
基本例題 67 3次方程式が2重解をもつ条件
3次方程式(a-2)x2-4a=0が2重解をもつように, 実数の定数αの値を定
めよ。
解答
類 東北学院大】
基本 65
方程式(x-3)(x+2)=0の解x=3を,この方程式の2重解という。また,
方程式(x+2)(x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。
まず, 方程式の左辺を因数分解して、 (1次式)×(2次式) = 0 の形に直す。
方程式が(x-a)(x2+px+g)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は
[1] x2+px+q=0が重解をもち, その重解は xキα
[2] x2+px+g= 0 が α とα 以外の解をもつ。 → 2重解はx=α
であるが,一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。
EX
111
なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解がxキαである(x=αが3重
解ではない)ことを必ず確認するように。
与えられた3次方程式の左辺をαについて整理すると
(x2-4)a+x-2x2=0
(x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0
(x-2){x2+(x+2)a}=0
(x-2)(x²+ax+2a)=00
または x2+ax+2a=0
x-2=0
次数が最低のαについ
て整理する。 また
P(x)=x+(a-2)x2-4a
とするとP(2)=0
よって, P(x) は x-2を
因数にもつ。
してもよい。
2章 1 高次方程式
よって
この3次方程式が2重解をもつのは、次の [1] または
[2] の場合である。
これを利用して因数分解
[1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ場合。
420が2
判別式をDとすると
→2
D=0 かつ
a
≠2
2.1
2次方程式
D=α2-4・1・2a=a(a-8) であり, D=0 とすると
a=0,8
a
ここで,
≠2から αキー4
2･1
a=0,8はαキー4 を満たす。
[2] x2+ax+2a=0の解の1つが2で,他の解が2でな
い場合。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0
これを解いて
a=-1
このとき, 方程式は
(x-2)(x2-x-2)=0
したがって
(x-2)(x+1)=0
ゆえに、x=2は2重解である。
以上から
a=-1,0,8
| Ax2+Bx+C=0 の重解
x=
B
2A
x+ax+20=0
[2] 他の解が2でないと
いう条件を次のように考え
てもよい。
他の解をβとすると,解
と係数の関係から
2β=2a
β≠2 から a=2
a を実数の定数とする。 3次方程式 x+(a+1)x2=?
