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206- 一数学Ⅱ
2
a>0, a≠1,6>0 とする。 2次方程式 4x2+4xlogab+1=0が0<x<の範囲内にただ1つの
f(x)=4x2+4xl0gab+1とし 2次方程式f(x)=0の判別式
をDとすると,f(x) =0が重解をもつための条件はD=0
解をもつようなすべてのα, b を 座標平面上の点(a, b) として図示せよ。
←まず,重解の場合につ
[類 宮崎大 ]
①
いて調べる。
ここで
4
=(210gab)²-4.1=4{(loga b)² −1}
よって
(10gab)=1 すなわち 10gab=±1
+b=a¹, a¹
ゆえに
b=a,
a
4loga b
loga b
このとき,f(x)=0の重解は
x=-
2.4
2
1
b=αのとき x=-
6=
b=110
1
のとき x=
2
a
2
この重解は0<x<
の範囲内にない。
2
また,f(0)=1> 0, 軸は直線x=- 2
loga bol
であるから,
=0 かつ 0
20
[1]のとき,f(1/2)=2
f(x)=00<x<1/1の範囲内にただ1つの解をもつための条←放物線y=f(x)は下
件は,次 [1] [2] のいずれかが成り立つことである。
\[1] √(2) <012] √ ( 2 ) = 0 %
=2+210gabであるから 2+2loga b<0
に凸。
[1]
+
0
x
10gab
2
よって logab<-1 すなわち 10gab <10ga
1
a
[2]
0<a<1のとき
b> 11
←不等号の向きが変わる。
軸
X3
AST
+
a
α>1のとき
b<1
1
a
b>0 であるから0<b>1
0
1-2
[2] のとき,(12) =0から logb=-1... ①
loga b 1
0 <--
2
から
2
-1<loga b<0
① ②を同時に満たす組 (α, b) はない。
以上から、条件を満たす α, bを座標
平面上の点 (a, b) として図示する
←表す領域は、
と、右図の斜線部分のようになる。
ただし,境界線を含まない。
双曲線 b= -
( 反比例の
1
b=
グラフ)の上側の部分で
a
ある。
0
