第9章 整数・数学と人間の活動
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よって、等式①は成り立つ。
(1)〜(曲)より、すべての実数xに対して, 等式①は成り
立つ。
[x]≦x<[x]+1 より
[x] <x<[x]+1
n
n
[x] は整数であるから,[nx] は, nk, nk+1,nk+2,
.........nktn-1 (kは整数)のいずれかで表される.
[nx]=nk+r(r=0, 1, 2,…, n-1)
kt1≦x<k+r+1
とすると,①より
......③
n
n
ここで,m=0,1,2,
…………, n-1 として ③の各辺
に皿を加えると,
n
m+r
m
k+
≦x+
m+r+1
<k+
n
n
n
m+r+1
22
m+r
k≦k+
n
m
n
-≦1,すなわち,0≦m≦n-r-1 のとき,
-≤ x + <h+
m+r+1
≦k+1
n
より[x+m-k
=k
n
m+r,すなわち, n-r≧m≦n-1のとき,
n
m
k+1≦k+m+rsxt. <k+
n
m+r+1
<k+2
n
n
より,[x+m]=k+1
n
したがって,
[x]+[x+/-]+[x+2]+...
+
[x+
n-r
n
] + [x
x+
n-r
n
+x+
n.
n
=(n-r)k+r(k+1)=nk+r
また②より
よって、等式
[nx]=nktr
[x]+[x+2]+[x+2]+....+[x+タリー[28]
は成り立つ.
注 (1)において, m = 0, 1, 2 として
ktmtr
r≤x+.
m
m+r+1
<h+
のときの [x+7]
3
3
3
3
の他に着目すると,
m+r+11 のとき [+]
3
mtr
=
21のとき, [x+k+1
m =k
r=0 のときは,これを満
すmの値はない。
kとなるのは, [x],
n-r
k+1となるのは、
n
の(n-r) 個
[ x + 1 = 1 ] 0
n-
の個
