重要 例題 71 平面に下ろした垂線 (3)
四面体OABCの4つの面はすべて合同で, OA=√10,
OB=2, OC=3であるとする。このとき,
AB･AC="
三角形ABCの面積は
であり,
である。 また, 3点 A, B, C を通る平面をα
とし, 点0 から平面αに垂線 OH を下ろすと, AHは
AB と AC を用いてAH = " と表される。
[類 慶応大]
指針▷ (ウ) 考え方は例題69 と同じで, s, tを実数として、 次の条件を利用する。
[点 Hは平面 ABC 上にある]
AH=sAB+tAC
OH･AB=0, OH･AC=0 [直線OH は平面ABC に垂直である]
内積の計算では, (ア), AB・AO, ACAO の値が必要となるが, その値は
|BC|=|AC-AB=|AB-2AB・AC+ JACなどを利用して求める。
解答
四面体OABCの4つの面は合同で, OA=√10,OB=2,
OC =3であるから AB=3,BC=√10, CA=2
このとき |BC|=|AC-AB=|AB-2AB・AC+ JAC
_ |AB|²+|AC|²—|BC|²_7 3
よって
AB･AC=
2
2
同様にAB・AD=12, AC・AD=2/2 (*)
'+
(*) [OB-1AB-AO
|ABP-2AB・AD+|AOP.
基本69
IOC-IAC-AO
=JACP-2AC･AO+IAOP
から導くことができる。
9
3√15
2V
4
4
三角形ABCの面積は √|AB|²|AC|²—(AB·AC)². 36-
Hは平面ABC 上にあるから AH=sAB+tAC を満たす実数 s, tが存在する。
ゆえに |OH=OA+AH=A0+sAB+tAC
] 直線 OH は平面αと垂直であるから OH⊥AB, OH⊥AC
よって
OH・AB=0, OH･AC=0
ここで
OH・AB=(-AG+sAB+FAC)AB--12 +9s+2/24
5
OH・AC=(-AG+sAB+tAC) ・AC= -123+1/28 +4t
・+
1921= 95+23/1-1/2=0, 2s+4-2=0
ゆえに
t-
これを解くと 1717.11/23 したがって AH=AB+ AC
