数学的機能法の問題だとn＝1だけを使うものが多いと思うんですが、この問題みたいに n＝1、2の２つ使う時のはどうしてですか？どういう考えで２つ使おうと思いつくんですか？

立つ. 【解答】 D (I) とおくとき すべての自然数nについて, x+y=2a, xy=26 (a,b) P(n): x+y" は偶数である が成り立つことを数学的帰納法で示す。 [I] n=1, 2 のとき, x+y=2a, 1+1=1Jx² x+y=(x+y)²-2xy=2(2a²-2b) であるから, x+y, r'+g はともに偶数となり,P(1), P (2) は成り立つ。 [I]P(k),P(k+1) (k≧1) がともに成り立つと仮定すると, xk+yk=2M, xk+1+gk+1=2N この形ほしい を満たす整数 M, N が存在する このとき (xck+iy+xy+) いらない分ひく zk+2+yk+2=(x+y) (zck+1+yk+1)-xy(z+y^) =2a・2N-26・2M=2(2aN-26M) であるから,xk+2+yk+2は偶数となり,P(k+2) も成り立つ。 [1],[Ⅱ]より, すべての自然数nについてP(n) は成り立つ. 2) z=1+v3, y=1-v3 のとき, x, y はともに整数でない実数であり、 はともに偶数となる. ...① x+y=2,xy=-2 よって求める (x,y) の例の1つは、 (x,y)=(1+√3, 1-√3). イト

数Ⅲの極限の問題です。 (1)の解答の波線｢帰納法で〜がいえる.｣のくだりについて、帰納法がどのような内容になるのかがわからず、教えていただきたいです🙇‍♀️

20-0 以下で Xn, am を含む式はn = 1, 2,... で成り立つものと する. (1) Xn+1= 2xn+ 示し 2.xn Xn+1-√a≤ (xn-√a) a >√a (a>0) のとき,XnVaを を示せ. 〔名古屋大 〕 (2) a₁ = 2, an+1 = an +2 のとき,an>1を示し an+1 |an+1-√2|≤ √21|an - √2| を示せ. (3) 0 < a₁ ≤ 1 , an+1= 2 [徳島大〕 2am(1 - am) のとき, 0 < an≦1/12 an ≦ an+1 を示し lim an 848 = を示せ. 2 〔三重大〕 《方針》 次の原則 (例外はあります) 漸化式で定義された数列の一般項についての証明 ⇒ 帰納法 に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま す。また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです. Xn+1-Va= から 《 解答》(1) x1 > √a と 2xn xn><a= ⇒Xn+1>√a がいえるので、帰納法でxn>√(n=1,2, ...) がいえる. 次に③から xn2+a-2√axn=(xn-va)2 2xn Xn+1- √a= 1Xn-va 2 (xn−√a) Xn であり、ここで 0< Xn-√a =1- Xn Va xn ≤1 だから

3かける3のK乗になってるのはなんでですか🙇‍♂️

日本 例題 45 数学的帰納法と式の証明 nが自然数のとき,数学的帰納法によって、次の等式 00000 1+3+32 +....+3"-1=1 2 (3-1) を証明せよ。 数学的帰納法 (基本) CHART & SOLUTION Op. 420 基本事項 1章 5 [1] n=1のときを証明 [2]nkのときを仮定し,n=k+1のときを証明 等式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等しいと結論する。 または,左辺 (または右辺) を変形して, 右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1 のとき (左辺)=1,(右辺 = 1/12(3-1)=1 ゆえに、 ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1+3+3²+…......+3*−1=(3-1) +1 の場合を考えると ・・・・・・② ① に n=k を代入。 (*) 数学的帰納法 ②から1+3+3+3+3=1/12 (3-1)+3* 2 =1/12 (331) =1/12 (11) よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 ①の左辺のnをk+1と して,に②を代入。 1/12(3-1)は、①の右 辺に n=k+1 を代入し 式。

丸をつけたところがなぜ正だとわかるのかわかりません。教えてください🙏

8 数学的帰納法 (II) nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を 伺いて証明せよ。 ) 1²+2²+ ··· +n² = — —½n(n+1)(2n+1)………………….①℗ 1+ 1 1 3 1 + ・+・・・+ n 2n n+1 (2) i) n=1のとき 左辺 = 1, 右辺 = 2.1 1+1 -=1 となり, n=1のとき②は成立する. ii) n=k のとき, ② が成立すると仮定すると 1+ 2 ++ 1 1 2k +・・・+ M ......②' kk+1 eɛ1 ②' の両辺に 1 を加えると k+1 左辺を証明したい式 2 左辺 =1+1/+1/3+..+/+/ath にする +・・・+ kk+1 2k 1 2k+1 右辺 = + k+1 k+1 k+1 2(k+1) k k+1 k+2 ->0 (k+1)(k+2) <ここがポイント 1 1+ ・+・・・+ 1 2k+12(k+1) 2 k+1 k+1 k+2 すなわち, 1+1/2 1 2(k+1) +・・・+ k+1 k+2 手順は 37 と同じですが,n=kのときの式から,n=k+1のとき の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に 違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。 解答 i) n=1のとき 左辺=1,右辺 = 1/2・1・2・3=1 よって, n=1のとき, ① は成立する. ) n=kのとき 12+2+... +k^= = k(k+1)(2k+1)..... ここで, 2k+1 が成立すると仮定する. ①の両辺に(k+1)2 を加えて 左辺 =12+22+..+k²+(k+1)2 右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2 ◆左辺に, 12+22+... +k²+(k+1)2 を作ることを考える -1/2 (k+1){(2k+k)+6(k+1)} =- =1/2 (k+1)(x+2)(2k+3) これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである. よって, ① は n=k+1 でも成立する. ゴ), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する. これは, ② に n=k+1 を代入したものである. よって, n=k+1 でも②は成立する. i), ii)より, すべての自然数nについて ② は成立する. ポイント 数学的帰納法を使って証明するとき, n=k のときを 仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお 2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき 作業を決める 演習問題 138 nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を用 いて証明せよ. 1 +・・・+ 1-2 + 2-3++ (n+1)+1 (1) 1 1 (2) + + 22 + 32 + +.... 1 ≦2- n

なぜ黄色の部分がk^2になるのかが分かりません！誰か教えてくださると嬉しいです！よろしくお願いいたします🙇

数学的帰納法による等式の証明 』を自然数とするとき, 数学的帰納法を用いて,次の等式を証明せよ。 1+3+5+･･･+ (2n-1) = n² 視点 19ページでは①が成り立つことを,図や等差数列の和の公式を利用して考 えた。数学的帰納法を用いることでも ①を証明できるだろうか。 証明 [1] n=1のとき (左辺) = 1 (右辺) = 12=1 よって、 ① は n=1のとき成り立つ。 [2] ① が n=kのとき成り立つ,すなわち 1 +3+5+ ･･･+(2k-1)=k と仮定して, n=k+1 のとき ①が成り立つことを示す。 n=k+1 のとき,①の左辺を ② を用いて変形すると = 1 +3 +5 + ･･･ +(2k-1)+{2(k+1)-1} = k + (2k+1) = (k+1)2 n=k+1 のとき, ①の右辺は (k+1) よって, ① は n = k+1のときにも成り立つ。 [1], [2] より すべての自然数nについて ①が成り立つ。 弘法を用

数学Bの漸化式と数学的帰納法のとこです。 数列｛α_n｝が α_1=4, α_n+1=3α_n－5 (n=1,2,3,…)で定められるとき、第5項を求めなさい。 という問題です。計算過程も教えていただけたら嬉しいです。とても苦手なのでできるだけ簡単に教えていただけると幸... Read More

¥234 {an}. が A₁ = 4, An+1=3An-5 (n=1,2,3..) で定められるとき、第5項を 求めなさい

n＜=Kと仮定しなければならない理由が読んでもよく分からないです。

重要 例題 61 n≦k の仮定 数列{an} (ただしan> 0) について,関係式 (a+az+......+an)=a3+a2+....+α が成り立つとき, an=nであることを証明せよ。 指針 自然数nの問題であるから、数学的帰納法で証明する。 「n=kのときan=n が成り立つ」 と仮定した場合, a1=k-1,-2=k-2, ***** ・ 成り立つことを仮定していないこととなり, n=k+1のときについての次の等式 A が 作れなくなってしまう。 (1+2+......+k+ax+1)=1+2+......+k+α+13 ****** したがって,nkの仮定が必要となる。 そこで, 次の [1], [2] を示す数学的帰納法 を利用する。 下の検討も参照。 [1] n=1のとき成り立つ。 [2] n≦kのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。 CHART 数学的帰納法 n≦k で成立を仮定する場合あり

数列の問題です。 私の解答は不正解なのですが、このやり方のどこがダメなのか教えてほしいです。🙇‍♀️

B1-72 (90) 第1章 Think 例題 B1.39 分数型の漸化式 (1) 1 an a1=2' an+1 2-an で定義される数列{a} の一般項 am を求めよ. **** (a) di (南山大) am の逆数をb, とおくと, 与えられた漸化式は,例題 B1.33 [考え方 これまでに学んだ漸化式の解法が利用できないか考える.ここで は,漸化式の両辺の逆数をとって考える. a の逆数 解答 an+1=0 と仮定すると, これをくり返すと, an=0 となりα = 1/20 と矛盾するので, an 0 (n≥1) 与えられた漸化式の両辺の逆数をとると, an (p.B1-63) のタイプ (a+1=pan+g) となる. (((+3)(+税)(+3) an-1=an-2=...=a=0 >3 (1+) (S+d an an+1= 2-an =0 an=0 1 2-an 2 -1 8+ an+1 an an 1 ここで,bm=— とおくと, b+1=26-1,b==2 a=2α-1 より, a1 an a=1 利用 bn+1-1=2(0-1), b-1=1 したがって 数列{bm-1} は初項1 公比2の等比数列だ のときを調 から、 b-1=1.2"-1より,b=2"- '+1 のときも成 11+1 より an D 1 よって, an=2+1 1 an 2"-1+1 ocus 主 ( an+1= an+1=_ran 型の分数の漸化式は逆数で考える + pan+g 例題 B1.39 で am≠0 は,これから学ぶ数学的帰納法 (p. B1-108~) を用いた証明 きる. <a=0 の数学的帰納法による証明> n=1のとき、4=1/20 (1) d n=k のとき, a,≠0 と仮定すると, n=k+1 のとき, ak+1= ¥0 ak

矢印のところの式の変形が分かりません。 解説をお願いします🙇‍♀️

8/7+ 〈例題31> (1) (a + 1) の展開式を求めてください。 (2)(1)を用いて, 6-1は5の倍数であることを示してください. i+1 (3) 任意の自然数nに対して, 「65-1 は 5" の倍数である」 が成立することを数学的帰 納法を用いて証明してください。 (1) (a+1) 5 =sCoa°+sCia'+6Cza+sCa2+5C,a +55 1 = a+5a+10a³+10a²+5a+1 二項定理 (a+b)"=„C₁a"+C₁a”¯¹b+„C₂a” -Ca*** +...+C₂ b (2)65-1= (5+1)-1 =55+5・5+10・5°+10・52+5・5+1 -1 =5°(5+5°+10・5+10+1) よって65-1 は 52 の倍数である. (3)65-1は5+1 の倍数であることを数学的帰納法で示す. n=1のとき61は(2)の結果より 5の倍数である. よって成立する. n=kのとき65-1=5+1l (lは整数) が成立すると仮定する. 65+1_1654.5-1 = (5*+1+1)5-11 (5+15+5(5+11)+10(5+1)+10(5+11)2+5(5k+1) +1-1 =5k+2(54k+35+53k+34+10.52k+13+10.5ki2+L) n=k+1のとき成立する. よって、数学的帰納法より, すべての自然数nに対して, 「65-1は5+1 の倍数である」ことは成立する. -80-

解説よろしくお願いします🙇

1-2 以下の問いに答えよ. m (1)入を正則行列Aの0でない固有値, xをその固有ベクトルとする.このとき, (i + 1)"は行列 (A + A-1)m の固有値で, xはその固有ベクトルとなることを示せ. (2) 行列Aが次式で与えられるとき, (A+ A-1)mを求めよ. 13 2 A = \2 3.