例題 68 三角形の形状
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(1) 次の3点A, B, Cを頂点とする △ABC はどんな三角形か、
(7) A(-2, 3), B(0, -1), C(5, 4)
(1) A(-2, 2), B(2, −1), C(1, 6)
(2) 平面上の2点 0(0, 0) P(22) に対し, △OPQ が正三角形とな
るような点 Q の座標をすべて求めよ.
考え方 (1) 3辺の長さ AB, BC, CA をそれぞれ
(東京電機大)
正三角形
二等辺三角形・・・・・・2辺が等しい
求めて,三角形の形を決定する.
直角三角形
OPPQOQ を解けばよい
(2)「正三角形」だから 「3辺が等しい」
つまり、OP=PQ=0Q より,
(06
3辺が等しい
三平方の定理
が成り立つ
解答
を頂点とする女の重心
(1) (7) AB²={0-(-2))²+(-1-3)=20
BC2=(5-0)2+{4-(-1)}=50
CA’=(-2-5)2+(3-4)²=50
BC> 0, CA>0より,
よって
BC=CA
AC=BC の二等辺三角形
(1) AB²=(2-(-2)}+(-1-2)²=25-)
ABC-(1-2)²+ {6-(-1))2=50
734) CA²=(-2-1)²+(2-6)²=25
AB> 0, CA>0より,
であり、 BC2=AB'+CA2
AB=CA
よって、 ∠A=90°の直角二等辺三角形
(2) OP°=2'+2°=8であり, Q(x, y) とおくと,
OP2=OQ2 より
AT
OP2=PQ2 より
①
8=x2+y2
8=(x-2)+(y-2)
x2+y²-4x-4y=0 ......
②
①を②に代入して, 8-4x-4y=0 より,
y=-x+2
IB
x
どの辺が等しいかを明
する。
A
•Bx
最大辺の対角が直角
どの角が直角かを明記
OP=PQ=OQより、
JOP'=OQ2
OP2=PQ2
①,②より,xとye
あ
する.
・③
次の①に代入して整理すると, x²-2x-2=0 より
x=1±√3
YA
Q
P
-3=0
③ より x=1+√3 のとき, y=1-√3
のとき,y=1-√3
x=1-√3 のとき,y=1+√3
の
よって,
(1+√31-√3) (1-√31+√3)
x
点Qは2つある。
