マークした所がなんで二乗が無くなって、2が±√2になるのかが分からないです。 解説お願いします🙇🏻‍♀️

練習問題 16 CHECK 1 CHECK2 CHECY 3 互いに異なる実数a,bが, ²-263=0.① をみたすものとする。 を示して、 の値を求めよ。 背理法 = 0 と仮定して, 矛盾を導くのが背理法なんだね。 頑張ろう! b = 0…..... ② と仮定して, ② を①に代入すると, '-20'=0 より, α²=0 α=0 となり, a = b = 0 となって, aとbが互いに異なる実数であることに矛盾する。 ゆえに, 背理法により, b0...... ③ である。 よって, 620 より ① の両辺を62(0)で割って, と最 9² ²-2=0, ( ² ) ² = 2 b ²/² = ± √2 =±√2が導けて,答えだ。 納得いった 背理法: b=0と仮定して, 矛盾を導き, よって, b≠0を示す。 12 集合と論理 2次関数 3

このような複雑な記述文を書く問題は どのようにすると自分の力で（解答を見ずに） 解けるようになるのですか？ 何度も同じような問題を定期的に解き続けて 頭に覚えさせるのですか？

100 S 00000 基本例題 58 背理法による証明 √5 +√7 は無理数であることを証明せよ。 ただし, √7 は無理数であることは 知られているものとする。 指針 無理数である (=有理数でない)ことを直接示すの は困難。 そこで, 証明しようとする事柄が成り立た ないと仮定して, 矛盾を導き, その事柄が成り立つ ことを証明する方法,すなわち 背理法で証明する。 【CHART 背理法 実数 直接がだめなら間接で 背理法 「でない」 「少なくとも1つ」 の証明に有効 解答 √5 +√7 が無理数でないと仮定する。 このとき, √5+√7 は有理数であるから, r を有理数として √5 +√7 = とおくと √5=r-√7 両辺を2乗して ゆえに 5=r²-2√7r+7 2√7r=r²+2 p.96 基本事項 有理数 (無理数でない実数) 無理数(有理数でない実数) ²+2 r=0 であるから √7= 2r r² + 2, 2r は有理数であるから, ① の右辺も有理数である(*)。 よって、①から7は有理数となり, √7 が無理数であること に矛盾する。 したがって, √5 +√7 は無理数である。 1.5 +√7 は実数であり. 無理数でないと仮定してい るから, 有理数である。 2乗して、 √5 を消す。 (*) 有理数の和・差・積・商 は有理数である。 検討) √5 が無理数であることを仮 定すれば,√7=-√5の両 辺を2乗して、 同様に証明で きる｡ 検討 背理法による証明と対偶による証明の違い 命題 導くが,結論の「q でない」に対する矛盾でも, 仮定の 「かである」 に対する矛盾でもどちらで もよい。後者の場合,｢7 万」つまり対偶が真であることを示したことになる。 このように考えると,背理法による証明と対側による証明は似ているように感じられるが,本質 的には異なるものである。 対偶による証明は「7万を示す、つまり, でない」 (命題が成り立たない)として矛盾を について,背理法では「かであって」 で)導く結論がp とはっきりしている。これに対し, 背理法の場合,「ででない して矛盾が生じることを示す、つまり,(証明を始める段階では)どういった矛盾が生じるのか と ははっきりしていない。

【1】や【2】の最後の ーーーは整数であるから、n^2は３の倍数ではない。（①） は2枚目の写真のように、 よって、3の倍数ではない でもいいですか？ また①は3でくくったものは整数より、3(----)は3の倍数で、それと別に1が残っているから３の倍数ではない。 というこ... Read More

98 00000 対偶を利用した証明 (1) 基本例題 56 整数 n の平方が3の倍数ならば,nは3の倍数であることを証明せよ。 指針n² が3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, ｢n² が3の倍数」 が扱いにくいの で面倒である。 そこで, 対偶を利用した (間接) 証明を考える。 対偶を考えるとき,「nが3の倍数でない」ということを、どのような式で表すかがポイン トとなるが,これは次のように表す (検討 参照 )。 n=3k+1[3で割った余りが1], n=3k+2[3で割った余りが2] なお,命題を証明するのに,仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明は を直接証明法という。これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 解答 与えられた命題の対偶は 「nが3の倍数でないならば,n²は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, n=3k+1またはn=3k+2 と表される。 [1] n=3k+1のとき n²=(3k+1)^=9k²+6k+1 =3(3k²+2k)+1 3k²+2k は整数であるから,n²は3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき n²=(3k+2)^=9k²+12k+4 =3(3k²+4k+1)+1 3k²+4k+1は整数であるから, n²は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって, 与えられた命題も真である。 基本 55 0, 1) 2で割った余りが ① 直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) 検討 整数の表し方 整数nは次のように場合分けして表すことができる (kは整数)。 ① 2k, 2k+1 (個数、奇数 ② 3k, 3k+1, 3k+2 (3で割った余りが 0 1,2) ③ ph, pk+1, pk+2, ., pk+(p−1) (pで割った余りが 0, 1,2, ...... 詳しくは数学A で学習する。 3× (整数)+1の形の数は, 3で割った余りが1の数で､ 3の倍数ではない。 [¯¯¯

問 √3が無理数であることを用いて、次の数が無理数であることを証明せよ。 (1) 1+√3 (2) 2+√3分の1 ( 1 / 2+√3 ) 画像で間違っているところがあれば 教えて頂きたいです🙏🏻 入試で丸を貰えるような採点をお願いしたいです➰🖐🏻

15 (1) 1+1が有理数であると仮定すると、 1=とする(ただし、aとは互いに素である 自然数とする) √√₂ = a b li √√3= 13:00 1① =A-b Ja aとbは自然数より、器は有理数なので ①はが無理数であることに矛盾する。 (+Jは無理数である。 (2) 2+Jが有理数であると仮定すると、 2+3=をする(r:有理数とする) 〃 1 - 2r+√√3r Jr=1-2r 13=12r r (① rは有理数なので、も有理数である。 ①は、「が無理数であることに矛盾する。 2+度は無理数である。

(１)は解答を見たら背理法を用いて証明していましたが　対偶を用いても証明をすることが出来ますか？ できるとしたら、どのようように証明すれば良いですか？ 教えてください🙇‍♀️

20 4. 次の問いに答えよ。 (1)a,b は有理数とする。 √2が無理数であることを用いて,次の命題 を証明せよ。 a+b√2=0⇒a=b=0 (2)a+b√2=1+3√2 を満たす有理数 α, b の値を求めよ。 → p.66

6.5の証明が合っているか教えていただきたいです。 可能であれば6.6の背理法の書き方も教えていただきたいです。

問 6.5 「『任意の∈Rに対し, -' +2ax+2a-2<y<-2(a-1)x+3』 を 満たす y∈が存在する。」 が成り立つためのα∈ R の範囲を求めよ。 問 6.6 命題 「任意のn∈Nに対し, n3が偶数ならば, n は偶数である。」 を背理法, 対偶法, 転換法のそれぞれで証明せよ。

数Aの背理法の問題です。誰か分かりやすく解説をお願いできますか?

「もしょ + +1が3の倍数なら、 ヒント:x²+x+1は3の倍数で を背理法で示せ。 は3の倍数でない」 = 3m とかける。 も3の倍数と仮定すると､

√2が無理数であることの証明のときに、√2＝ｎ分のmとしたときに、nとmに一以外の公約数が出ないようにしなければいけないのは何でですか？？

高1｢命題と証明｣ ‪√‬7が無理数であることを用いて、‪√‬5＋‪√‬7は無理数であることを証明せよ。 これで合ってますか？

Date 570 が無 無理数であることを用いて、55+「7は無理数であることを 証明せよ。 [S+クが有理数であると仮定する。 このとき √5 +√7 √ 5 .2m. 0でない2つの整数、nを使って と表せる。 ·m. n 5 W n m. A² -7だから両辺を2乗して W m² 71² M 25 ·2.m. A 4.2 17+7 ·n. m 100000000 n は有理数であるから、「も有理数となり、 m 2n 「が無理数であることに矛盾する。 したがって、「+7は無理数である。

この問題の(2)について。 私は次のような解答を作りました。 a,b,cの少なくとも1つが3の倍数ならば積abcは3の倍数である。 ここで、a,b,cがすべて3の倍数でないと仮定する。 このとき、a^2+b^2を3で割った余りは2 ((1)より) c^2を3で割った... Read More

XA 解答は27ページ **************. 11 Lv.★★★ a,b,c を正の整数とする。 (1) α²を3で割った余りは0または1であることを示せ。 (2) d'+6°= c° を満たすとき, a,b,cの積abe が3の倍数であることを示せ。 (8) a²+6°= 225 を満たす a b の値を求めよ。 (関西大)