有理数であると仮定する時、なぜ約分できない分数にしないといけないのでしょうか。

応用 例題 1 2は無理数であることを証明せよ。 解説 √2は無理数でない, すなわち有理数であると仮定して矛盾を 導く。 また, 65 ページの例題1で証明した次のことを用いる。 nを整数とするとき, n² が偶数ならば, nは偶数である。 証明 2 は無理数でない,すなわち有理数であると仮定すると, 1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a,bを用いて √√2 = ²/ a 1 b と表される。 このとき a = √2b 両辺を2乗すると a²=262 ① よって, d² は偶数,したがって, a も偶数である。 ゆえに, αは、 ある自然数c を用いて a=2c 1 ② と表される。 ② を①に代入すると 4c²=262 すなわち b2=2c2 よって, 62 は偶数, したがって, も偶数である。 aとbはともに偶数であり, 公約数2をもつ。 このことは,aとbが1以外に正の公約数をもたないことに 矛盾する。 したがって√2は無理数である。

波線で引いたn2乗は3の倍数ではないってどこからくるのですか？

98 基本 例題 56 対偶を利用した証明(1) 整数nの平方が3の倍数ならば, nは3の倍数であることを証明せよ。 指針nが3の倍数→nが3の倍数 を直接証明するのは, 「n² が3の倍数」 が扱いにくいの で面倒である。そこで, 対偶を利用した (間接)証明 を考える。 対偶を考えるとき, 「nが3の倍数でない」ということを,どのような式で表すかがポイン n=3k+2[3で割った余りが2] トとなるが, これは次のように表す (検討 参照)。 n=3k+1[3で割った余りが1], なお、命題を証明するのに, 仮定から出発して順に正しい推論を進め、結論を導く証明 解答 CENER 与えられた命題の対偶は 「nが3の倍数でないならば, n2は3の倍数でない」 である。 nが3の倍数でないとき, kを整数として, n=3k+1またはn=3k+2 を直接証明法という。 これに対して, 背理法や対偶を利用する証明のように, 仮定から 間接的に結論を導く証明法を間接証明法 という。 と表される。 [1] n=3k+1のとき n²=(3k+1)=9k²+6k+1 =3(3k²+2k)+1 3k²+2k は整数であるから n²は3の倍数ではない。 [2] n=3k+2のとき 基本55 ......... n²=(3k+2)^=9k²+12k +4 =3(3k²+4k+1)+1 ( 3k²+4k+1は整数であるから n²は3の倍数ではない。 [1], [2] により, 対偶が真である。 したがって、与えられた命題も真である。 ① 直接がだめなら間接で 対偶の利用 (p.99 の検討も参照。) 2 13× (整数)+1の形の数は 3で割った余りが1の数 3の倍数ではない。

なんで√2＝b分のAなんですか？

10 前ページの例題2、 √2が無理数であることを証明せずに用いた。 √2が無理数であることは, 背理法を用いて次のように証明できる。 応用 例題 2 は無理数であることを証明せよ。 1 証明 第2章 | 集合と命題 解説 √2は無理数でない、 すなわち有理数であると仮定して矛盾を 導く。 また, 65ページの例題1で証明した次のことを用いる。 nを整数とするとき ²が偶数ならば, n は偶数である。 √2は無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると, 1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a, bを用いて と表される。 このと √2-16 2=9 b 67 第2章 a=√2b 両辺を2乗すると a²=26² ① よっては偶数,したがって, α も偶数である。 a ゆえに, a は, ある自然数 c を用いて a=2c と表される。 ② を①に代入すると 4c²=262 すなわち b2=2c² よって, 62 は偶数, したがって, bも偶数である。 とはともに偶数であり, 公約数2をもつ。 このことは, ともが1以外に正の公約数をもたないことに 矛盾する。 したがって2は無理数である。 R |集合と命題

数Aです。何故「ある素数」なのですか？「ある自然数pを約数にもつ」では成り立たないのでしょうか？

例題259 互いに素な自然数の性質(2) C a,bを自然数とするとき,次の命題を示せ. 「α+ b と ab が互いに素であるとき, αとも互いに素である.｣ [考え方 例題 258 と同様の考え方で示すこともできるが,ここでは背理法 (p.202参照) を利用 した証明を考えてみよう。 示したい結論が,「aとbが互いに素である」 なので, その 解答 aとbが互いに素でないと仮定すると, α, bはある素数 を約数にもつから, ? a=pk, b=pl (k, lは整数) DJ a+b=pk+pl=p(k+l) 「αと6が互いに素でない」ことを仮定して,矛盾を導く. とおくと, *** ab=p²kl となり,a+b, abは公約数をもち、p≠1より, a+b, ab が互いに素であることに矛盾する. よって, αと6は互いに素である。 矛盾する内容を導く、

クリアー数学です。 ⑴だけでいいので教えてほしいです。

Practice 46 ***** 381300m (8) a=1, an+1an+2an+1-an=0(n=1, 2, 3, ....･･) で定められる数列{an}に ついて,次の各問いに答えよ。 (1) 自然数nについて an≠0 を示せ。 1 (2) bm= とおくとき, bmと6+1 の関係式を求めよ。 an (3) an をnの式で表せ。 [17 名城大〕

整数の性質の問題です。解答にもあるように、基本背理法で解くようなのですが、よく分からないです。解説お願いします。 分からない部分 ・そもそも「２つの〜であるとき、」「a+b〜である と」のどちらをまたは、両方証明していくのか ・aとbが互いに素であることに矛... Read More

00 はとも ど、ま いほど、 とき 例題234 互いに素な自然数の性質 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+b と abも互いに素である ことを証明せよ。 思考プロセス 条件の言い換え ｢~ない」 の証明は ⇒ a+ b と ab が共通な素因数をもたない 「難しいので, 背理法 a + b と ab が互いに素 Action》互いに素であることの証明は,背理法を用いよ 開a + b と ab が互いに素ではないと仮定すると, a+b, ab は素数の公約数を用いて a+b=pm... ①, ab = pn ... 2 とける。 ただし, m, nは整数である。 このとき ② より paまたは6の約数である。 (ア) pαの数であるとき a = pk(kは整数)とおくと, ① より b=(m-k)p m-kは整数であるから, pは6の約数でもある。 (イ)が6の約数であるとき (ア)と同様に (ア),(イ)より,かはaとbの公約数となり, aとbが互いに 素であることに矛盾する。 したがって, a +6 と αb は互いに素である。 (別解) a + b と ab の最大公約数をg とおくと a+b=mg... ①, ab = ng ... 2 と表される。ただし,m,nは互いに素な自然数である。 ①より b = mg-a ②に代入すると 互いに素ではない はαの約数となる。 a(mg-a)=ng よって 同様にして b2=(bm-ng ゆえに,g d','の公約数である。 ここで, a b は互いに素より とも互いに素である から g = 1 したがって, 最大公約数が1であるから, a + b と α は互 いに素である。 a² = (am-n)g ★★★ atbab互いにそである ことを証明したい 背理法(例題 52,53) を 用いる。 を素数の公約数とせず, 単に公約数とすると 例 えば = 6 のとき, αが 2の倍数でbが3の倍数 のように, かが α または 6の約数でない場合もあ る。 は素数であるから1で はない。 a + b と abの公約数をg とおいて,g=1 である ことを示す。 a,b は共通な素因数をも たないから とも共 通な素因数をもたない。 7 章 17 1 約数と倍数

整数の性質の問題です。背理法？を利用して解くそうなのですが、よく分かりません。解説お願いします。

例題234 互いに素な自然数の性質 ★★★ 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a +6とbも互いに素である ことを証明せよ。

√xが無理数であることを、背理法により説明した写真の回答の6行目の「②の右辺は有理数であり、等式②はxが無理数であることに矛盾する」という言葉の意味がわかりません 教えてください🙇‍♀️

9. が有理数であると仮定すると, DC m x= n と表される. ①より, m2 (m,nは整数,n≠0)...... ① 2 n² ·② m, nは整数でn=0 であるから,m²,nは整数かつn²=0. よって②の右辺は有理数であり, 等式 ② はxが無理数であることに矛盾する. この矛盾は,√が有理数であると仮定したために生じたものである. したがっては無理数である.

最後の行の「〜のように書ける」がなぜ写真の様に表すことが出来るのかが分からないので教えてください。

√2は無理数であることを証明せよ。 ただし, 自然数 α について、 α2が2の倍数ならば、αは2の倍数であることを用いてもよい。 背理法を用いて証明する。√2は無理数でない,すなわち,√2は有理 数であると仮定して矛盾を導く。 「√2は無理数でない」 すなわち, 「√2は有理数である」 と仮定すると,√2は,1以外に正の公約数をもたない自然数 m, nを用いて, と書ける。 √2 = m n

命題 下線部の式が出る理由がわかりません。

練習 ②61 1 2 1 2 + が無理数であることを用いて、1+1が無理数であることを証明せよ。 Jan が無理数でないと仮定すると,を有理数として 6 £&x£q=d[+ + √ √ = r したがって, =r とおける。 両辺を2乗すると 12/2+1/1/3+1=r √√3 '3 6 よって √3=3r²-2 ① ここで, xは有理数であるから, 3²-2も有理数である。 ゆえに, ① は √3 が無理数であることに矛盾する。 12/12 + [1/16 は無理数である。 √6 Iga Cafe あり無理数でないと仮 d}, {a,c,d.s定しているから有理数 である。 +√3-1²-1²/13 =p² ...... ← 1/2+1/6 は実数で √2 ←√3=(rの式) [有理 数] の形に変形。