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例題 57 中間値の定理
(1) 方程式 cosx=2x は, 0<x<1 の範囲に少なくとも数
****
方程式 xxx-1=0 は,ただ1つの実数解 α をもつことを示
橋
をもつことを示せ
せ また, 1 <a<2であることを示せ.
考え方 中間値の定理を利用する.
(1) f(x)=cosx-2x とおくと,
少なくとも1つの実数解をもつ
I
f(x)=0を満たすxの値が少なくとも1つ存在する
ということである。(初環)
中間値の定理を用いるには,
2
f(x)は0≦x≦1で連続 (0<x<1ではないことに注意)
wwwwwwwwwwwwww
(0) f (1) の値が異符号
wwwwwwwwwwwwwwww
が成り立つことを調べればよい。
010)
4 連続関数 13
X
f'(x) + 0 -
1-3-
y=f(x) のグラフ
1
YA
0
+
f(x) 1
22
22
27
-266
1
3
0
27
-2
x≦1 のとき,増減表より,f(x) <0
また,x>1 のとき, f'(x)>0より, f(x) は x≧1
で単調増加し,
f(1)=1-1-1-1=-2<0
f(2)=2-22-2-1=1>0
したがって,y=f(x) のグラフはx軸と1<x<2
の範囲で1つだけ共有点をもつ。
「そのままで」
よって, 与えられた方程式はただ1つの実数解αをも
ち, 1 <a<2である.
x≦1 では y=f(x)
x軸は共有点をも
たない.
与えられた方程式の
ただ1つの実数解 α
が 1<α<2 である
ことを示すので
mf(1),(2)の符号を
調べる.
田(2) 与えられた方程式はただ1つの実数解をもち、その解は,1<x<2の範囲にあ
・1 <x<2 以外の範囲では実数解をもたない
O
解答
・1<x<2 の範囲で中間値の定理を利用する.
(1) f(x)=cosx-2x とおくと,
f(x) は 0≦x≦1で連続である.
wwwwwwwwwwwwwwwwww
6.40 (2)=1
と
y=cosx,y=2
(0)=cos0-2.0=1>0l=(笑)それぞれ連続な
M
f(1)=cos1-2・1=cos1-2<0 0-5
また,
-1≤cosr≤l
したがって,中間値の定理より,
f(c)=0.0<c<1
M
0=
COS 11 <2
(0)=(x)\mil
Focus
f(x) が a≦x≦b で連続で,f(a) f (b) が異符号
=> >f(c)=0 かつ a<c<b
となるxの値が少なくとも1つ存在
注) 「少なくとも1つ」
f'(x) = 0 とすると,
となるxの値 c が少なくとも1つ存在する
よって、 方程式 COSx=2x は, 0<x<1 の範囲に少
なくとも1つの実数解をもつ.
(2) f(x)=x-xx-1 とおくと,
f(x)はすべての実数xで連続である.
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
また、f'(x)=3x²-2x1
=(3x+1)(x-1)
wwwww
中間値の定理で, 満たす値 c が 「少なくとも
1つ」 存在するという表現をするのは、右の
ように複数存在する場合もあるからである.
+4+0
a
Co
注》 中間値の定理で 「f(x) が a≦x≦b で連続で,f(a) と f(b)が異符号.....
不
というようにいくつも仮定が必要なのは、次のように1つでも欠ければ成り立たない
場合があるからである.
y=ax+a
(i) axb で連続
+
f(a) f(b) が異符号
(ii) a≦x≦b で不連続
f (a) f (b) が異符号
(ii) a≦x≦b で連続
f(a) f(b) が同符号)
はすべての実数
a
X
a
bx
1
f(x)の増減表は次のようになる。
x=-
連続
1
3'
岡山大)
第
