(3) 次の式をみたす実数かは, 無理数であることを示せ。 (20 点)
が2が二22+2=0
ら解答 |
@ 攻略点 |
(3) 有理数かが与えられた式をみたすとする。このとき, 1 以 <論を否定する。
外の公約数をもたない整数7, z を用いて
22
の
と表せる。これを与えられた式に代入すると
(2竹生2=0
カニ
この両辺を が 倍して整理すると
が7十2727十2が十2が三0 ー ……①
2ニー2(z十人士2が) 係数の 2 に注目して.
この石辺は便数なので, が* も個数。 よって。 みる個数であこのようにのるこ
るから, 三24 (んは整数)とおいて①に代入すると まることを利用する。
8だ十8z十4を2十2が=テ0
がニー2(2だ十26字十6だ)
この右辺は偶数なので, が' も偶数。 よって. みも偶数とな
るが, も個数であるから, 7 とみが1以外の公約数をも
たないことに矛盾する。 仮定したことに矛盾し
したがって. ヵ は無理数である。 (証明終) だ