「このとき、①と②の定義域はともにx≠-aとなり一致する」というのはなぜ分かるんですか？

基本例題 96 . 6は定数で, ab=1 とする。 関数 y=- a, と一致するための条件を求めよ。 逆関数がもとの関数と一致する条件 (金) 6x+1 x+a 指針2つのxの関数f(x),g(x) が一致する等しい)とは [1] 定義域が一致する 解答 bx+1 b(x+a)+1-ab 1-ab x+a x+a x+ta したがって, ① の値域は ①からy(x+α)=bx+1 y=6であるから x= よって ① の逆関数は [2] 定義域のすべてのxの値に対して f(x)=g(x) が成り立つことである。この問題では,f'(x)=f(x) が定義域で恒等式となる ための必要十分条件を求める。 AGRI y=6 練習 €96 ay+1 y-6 y= afa ゆえに x(y-b)=-ay+1 - (2 (x+2) ( -ax+1 x-b ①と②が一致するための条件は, がxの恒等式となることである。 ③の分母を払って同ら +6 TE 0000 ①の逆関数が,もとの関数 [奈良大] (x+b) 0(150A+ -₂)(x + a)(x-²)(x+b bx+1=ax+1 x+ax-b 基本95 (x)=(1-v=f(x)=f(x)であるとき, 2 f(x) の定義域xキーがニエ x=bに一致するから a=b (必要条件) _=ax+1 f(x) = - このとき, x+a の逆関数はf(x) に一致する (十分条件)。 ( 別解 定義域が一致すること に着目した解法。 bx+1 f(x)= とする。 x+a f(x) の値域はy=6であるか ら,逆関数f'(x) の定義域は (bx+1)(x-b)=(-ax+1)(x+α) (a+b){x2+(a-b)x-1}=0 xについて整理すると これがxの恒等式であるから a+b=0 (すなわち b=-α) このとき、①と②の定義域はともにxキーαとなり一致する。この確認を忘れずに! [S] THE SE 1+1-8-1_20≤(1) [8] 検討 「1対1の関数」という表現について 関数 y=f(x) において、 異なるxの値に対し、異なるyの値が対応しているとき [すなわち x2 ならばf(x)=f(x2)のとき] 関数f(x) は1対1であるという。 f(x) が1対1の関数であるとき, f(x) の逆関数が存在する なお、上の例題の ab≠1という条件は、関数 ① が1対1であるためのものである。もし､ 167 ab=1 とすると y=b (定数関数)となり, ①は1対1の関数ではなくなるから,逆関数は存在し ないことになる。 本/Bat 280x) 8+³x − −−x 3 A+x8 — \ −e (1) a≠0 とする。関数f(x)=2ax-5a²について,-'(x)とf(x)が一致するよ うな定数αの値を求めよ。 DOL (2)関数y=ax+b x+2 ( b2a) のグラフは点 (1,1)を通り,また,この関数の逆関 数はもとの関数と一致する。 定数 α, b の値を求めよ。 [(2) 文化女子大] (p. 172 EX72, 73 章 3 逆関数と合成関数 3章 13

⑶の質問です y=2^x+1のままlog₂を付けると、log₂1=0より x=log₂y となってしまうと思うのですが、何故解答と変わってくるのでしょうか？

56 基本例題 95 逆関数の求め方とそのグラフ 次の関数の逆関数を求めよ。 また, そのグラフをかけ。 3 (1)y=- -+2 (x>0) (2) y=√-2x+4 x 指針▷ 逆関数の求め方 関数y=f(x) の逆関数を求める。 y=f(x) について解く x=g(y) また 解答 3 (1) y= +2(x>0) x ①の値域はy>2 ①をxについて解くと, y>2であるから 求める逆関数は,xとyを入れ替えて グラフは,図 (1) の実線部分。 (2) y=√-2x+4 ①の値域は y≥0 ! ①をxについて解くと, y2=-2x+4から 求める逆関数は, xとyを入れ替えて y=- x²+2(x²0) グラフは,図 (2) の実線部分。 (3) y=2x+1 ① の値域は y>1 ①をxについて解くと, 2=y-1から 求める逆関数は,xとyを入れ替えて グラフは,図 (3) の実線部分。 (1) YA! (2) 2 この形を導く。 (f' の定義域)=(fの値域)(f' の値域)=(f の定義域) Wi-x 20 ...... 2 x ① 2 SO y= 3 X=- 関 y-2 3 x-2 x=- (3)_y=2*+1 p.165 基本事項 ①,2② 2 xとyを交換 y=g(x) ↑ これが求めるもの。 に注意。 こう(笑) HOCS HA 00000 Xx トの値域を調べる。 [ xy=3+2x から 重要 97 まず、与えられた関数 ① 意くことに数①の値域である。 1 2 y² +2 (y-2)x=3 (top) y2であるから,両辺を y-2で割ってよい。また、 逆関数の定義域はもとの関 J (④)はありx≧0 を忘れないように! x=log2(y-110g.2学院大 y=log2(x-1) YA 3 2. W f(x) f-¹(x) 定義域 値域 値域 = 定義域 - 定義域は x> 1 CASTROHO (x) (x) (3) (90 1 34C 0 1 2 3 10 x 10 ULCERO SARTJEDx=y #1 (0.003

計算方法が分かりません。

X (??)) √ 1 ² + 1 dx. ((7) S 4 +1 — tan²x² + C = (8²) H

y=3x+5の逆関数のグラフをかけ。 という問題で、逆関数の求め方は分かったのですが、グラフはy = x/3 - 5/3 のグラフだけをかけばいいんですか?

xとyは入れ換えていいのですか？

<別解 > y=log24xにおいて,xとyを入れ換 えると, x=log24y これより, 4y=2x 2x y = 4 =2x-2 また、問題のグラフにy=log24xのグラフをか き込んで考えてもよい。 (1) 点 の

至急です。なぜ、逆関数ではx＝tanyが成り立つのでしょうか。解説出来る方、お願いします。

= (²+¹) ² 19 139 種々の関数の導関数, 第2次導関数 (0<x< 1/7) y=tan.x で表せ。 [2]x=3t, y=9t+1 のとき, き x=tany すことができる。 d'y d/dy (2) dx² OLUTION CGEART OS (1) 高校数学の範囲では, y = tanx の逆関数は求められないが, y=g(x) のと dy 101 dx dx を利用すると,g(x) をxの式で表 dy 10<x<1のとき dxdx 172/6, J37 であることから, ゆえにg'(x)= dx-9t², 2=91², (2) dt (dx)=- の逆関数を y=g(x) とするとき, g'(x) をxの式 D tanx>0 dy_1 dx cos2y=- == d (dy dt dt dx dx よって, y=g(x) において, x>0,0<y</であり、 80 x=tany が成り立つ。 (x) dx dy d'y dx² dx dx d'y dx2 dy=9 であるから dt 1 cos2y d - d (dx)= a (2) = dx dt 1/ ( 7 ) . dt to dx 1+tany 1+x² をtの式で表せ。 dy dx 2 7/13 - 1²/2=-275 9t² 9t5 (iniai+1200)n-z] を利用。 1 97² = 7/2 2 xd- KO+x+x) | 基本 124,138 f(x)=tanx とすると g ¹(x)=f(x) y=g(x) において x=g(y)=f(y) =tany I ↓ (2) la は d²y | d (12) dx2 ないことに注意する。 dy dx SET dt dx をxで微分。 合成関数の微分。 13 (0) 1 dx dt では 217 5

①y=f(x)=5x+10 ②y=f(x)=1/(2x+3) これらの逆関数の解き方を教えてほしいです。(詳しく) ※変数x,yを置き換えたりしない。

至急です。丸がついている箇所解説できる方お願いします。

7月12日夜B配布演習問題 13 次の関数を微分せよ。 ただし, a, b は定数とする。 (1) y=sin(x+a)cos(x-a) 14 次の関数を微分せよ。 (1)_y=- 1 x+1 (4) _y= x-1 x2+1 15 次の極限値を求めよ。 sin x - sin a sin(x-a) (1) lim x→a (2)y= (5)y=- .sin x 2x x+3 (4) y=x^ (2) _y=√√a²cos²x+b²sin²x x2-x+1 (2) lim- x→a (3)y= 17 逆関数の微分法の公式を用いて,次の関数を微分せよ。 (1) y=x* (2)y=x x 10 (6)y= x²sin a - a²sin x x-a 16 次の関数を微分せよ。 ただし, a b は定数で,a> 0, a≠1 とする。 (1)y=e-2*sin 2x (2)y=10sinx (3)y=logxa (4) y=log (log x) (5) y=loga (sinx) (6) y=log(1–cosx) (7)_y=log₁(x+√√√x² − a²) (8) y=log- x²-b x2+6 18 次の関数を微分せよ。 ただし, (14)ではx0 とする。 (1)y=xs ((2)) y=xe* (3) (5) y=(sin x)* (0<x<π) 1 2 x²-1 x3-4x+1 x-2 y=xlogx 19 次のことが成り立つことを証明せよ。 ただし, a, b は定数とする。 (1)y=x√1+x2のとき (1+x2)y"+xy'=4y (2) y=e-2x(acos2x+bsin2x) のときy"+4y'+8y=0 (6) y=(log x)* (x>1)

この3問を教えてください🙇🏻‍♀️ 途中式もお願いしたいです🤲🏻

XII. 次の関数を微分せよ。 1. 1 arctan r > 2. (arccos x)² + 1, 3. arcsin x + arccos x

273（1）がわかりません。 特に解説の二段目から三段目への式変換がわからないので詳しく教えてください。 早めのご回答よろしくお願いします🙇‍♀️

例題 69 解答 lim ho f(x) が x =α で微分可能のとき, 極限値 f(a+2h)-f(a-3h) h lim ho f(a+2h)-f(a-3h) h (1) lim h→0 273 次の関数を微分せよ。 (1)y=(x-2)(x-3)3 2x2+x-1 √√x *(3), y=- 1 √x²+3 *(6) y=7 B 271 f(x) が x=αで微分可能のとき,次の極限値をf' (a) を用いて表せ。 f(a-2h)-f(a) h f(a+4h)-f(a-h) h 272 次の関数f(x) は, x=0 で連続でありかつ微分可能でないことを示せ。 x=0のとき f(x)=xsin÷, f(0)=0^ (9y=1 1-x 1+x =lim h→0 をf'(a) を用いて表せ。 f'(a) を用いて表せ。 276 次の関数を微分せよ。 (1) y= f(a+2h)-f(a)-{f(a-3h) - f(a)} h x³ (5x+1)2 =lim 2. h→0 f(a+2h)-f(a) ƒ(a−3h)-f(a)} 2h =2f'(a)+3f'(a)=5f'(a) y= *(2) lim h→0 ・+3・ (2) y=(x+2)(x-1)(x-5) x (5) y=(x + 1)² (x+1) (2x-3)2 *(7) y=2x√x²+1 B CLear 275 f(x)がx=α で微分可能のとき, 極限値 lim x-a dy 274 逆関数の微分法の公式を用いて,次の関数について, dx *(2) x=y²-2y (1) (y+2)=x+5 2x *(10) y=√x+√x (11) y=1+x-√1-x x *(8) y=√1²x² (2) y=- - xf(x) -af(a) x-a √1-x² 1+x2 をxの式で表せ。 をf(α) と 第5章 微分法